Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http :// www . allbest . ru /
УСТОЙЧИВОСТЬ СИ СТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
1. Основные понятия теории устойчивости
1.1 Исследование устойчивости по уравнениям первого приближения
1.2 Алгебраические критерии устойчивости
1.3 Частотные критерии устойчивости
2. Выделение областей устойчивости
Библиографический список
1. Основ ные понятия теории устойчивости
В процессе функционирования система подвергается различного рода возмущающим воздействиям, которые вызывают отклонения ее от положения равновесия или заданного движения.
Система автоматического управления называется устойчивой, если после прекращения действия возмущений, вызвавших ее отклонение от п о ложения равновесия, она возвращается в это положение равновесия или з а данного движения.
Следовательно, только устойчивая система является работоспосо б ной.
Пусть САУ описывается системой нелинейных стационарных дифференциальных уравнений вида
где yk - переменные состояния системы;
Yk - известные функции, определенные в некоторой фиксированной области G пространства переменных yk при любом t >0.
B этом пространстве уравнения (3.1) определяют компоненты Yk вектора скорости движения некоторой точки М , называемой изображающей точкой . С физической точки зрения уравнения (3.1) следует рассматривать как математическую форму записи тех физических законов, которым подчиняется система автоматического управления. Область G определения функций Yk является той частью пространства состояний, на которую распространяется действие указанных физических законов.
Пусть величины y 10,...., yn 0 обозначают начальные значения переменных состояния. Каждой системе начальных значений соответствует единственное решение
уравнений, определенное для любых Допустим, что среди всех движений нас интересует то, которое описывается заданными функциями времени
В частном случае, когда система стационарна и функции Yk явно не зависят от времени, тогда движения (3.3) являются установившимися. Им отвечают так называемые очевидные решения
служащие корнями уравнений
В дальнейшем будем говорить об устойчивости движения системы, имеющей решение (3.3), рассматривая ее установившееся движение как частный случай. Введем в рассмотрение отклонения от заданного движения
Подставив выражения для yk , полученные из в исходную систему уравнений, получим
,
где
Уравнения записаны относительно отклонений, появившихся в результате каких-либо возмущений и, по терминологии Ляпунова, называются уравн е ниями возмущенного движения .
Формула определяет преобразование переноса начала координат в точку с координатами и поэтому, если решение системы (3.1) сходится к значениям, то решение системы сходится к нулю. Уравнения
называются уравнениями невозмущенного движения.
При t = t 0 переменные х k принимают свои начальные значения xk 0 ,которые называются возмущениями. Каждой заданной системе таких возмущений соответствует единственное решение
Эти решения представляют собой возмущенное движение системы.
Изучим поведение разностей при t > t 0 . Рассмотрим для этого уравнение
которое определяет в n -мерном пространстве квадрат расстояния изображающей точки М от начала координат. Возмущенное движение при t>t0 может протекать следующим образом:
изображающая точка М все более удаляется от начала координат, а величина R неограниченно возрастает (кривая 1 на рис.3.1);
изображающая точка М остается внутри некоторой окрестности начала координат, так что величина R все время имеет ограниченное значение, не превосходящее наперед заданное малое положительное число , т.е. R < (кривая 2 на рис.3.1);
изображающая точка М с течением времени возвращается в начало координат, т.е. (кривая 3 на рис.3.1).
Рис. 3.1. Виды движения изображающей точки
Равновесное состояние xk =0 можно считать устойчивым, если система, получив начальное возмущение, в дальнейшем продолжает оставаться в бл и жайшей окрестности равновесного состояния или возвращается в него. Следует дать конкретное толкование понятию “ближайшая окрестность” и основоположник теории устойчивости А.М. Ляпунов дал следующее определение устойчивости.
Невозмущенное движение называется устойчивым по отношению к величинам xk , если при всяком произвольно заданном положительном чи с ле , как бы мало оно ни было, найдется другое такое положительное число ( ) , при котором для возмущений xk 0 , удовлетворяющих услов и ям
возмущенное движение будет удовлетворять неравенствам
при любом t > t 0. Неравенства ограничивают область допустимых начальных отклонений.
Если при сколь угодно малом >0 невозможно найти ( ) , при котором удовлетворяются неравенства (3.11), то система неустойчива.
Если система устойчива и ее движение таково, что , то эта си с тема асимптотически устойчива.
Отсюда следует, что на рис. 3.1 кривая 1 соответствует неустойчивой системе, кривая 2 - устойчивой системе, а кривая 3-асимптотически устойчивой системе.
А.М. Ляпунов разработал различные методы оценки устойчивости САУ. Прямой, или так называемый второй метод Ляпунова, применим для исследования всех классов систем и основан на использовании специальных функций Ляпунова. Мы уже говорили, что значительное число систем допускают линеаризацию по методу малого отклонения и Ляпунов впервые доказал допустимость суждения об устойчивости в малом, т.е. при малых отклонениях, исходной нелинейной системы по уравнениям первого приближения, полученным в результате линеаризации.
1 . 1 Исследование устойчивости по уравнениям первого приближения
Любое линейное дифференциальное уравнение имеет решение вида
,
где i - корни характеристического уравнения, x т( t ) - частное решение, определяющее требуемое движение системы. Отклонение от заданного движения запишется в виде
Отсюда следует, что если все корни характеристического уравнения отрицательны (имеют отрицательную вещественную часть), то и линейная система асимптотически устойчива. Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, имеющий положительную вещественную часть, то и линейная система неустойчива. Можно ли по корням характеристического уравнения линеаризованной системы оценить устойчивость исходной нелинейной системы при малых отклонениях? А.М. Ляпунов доказал следующие теоремы об устойчивости в малом.
Теорема 1. Если вещественные части k всех корней k j k характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение исходной нелинейной системы асимптотически устойчиво независимо от не учитываемых членов разложения в ряд Тейлора выше первого порядка малости.
Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения найдется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение исходной нелинейной системы неустойчиво независимо от не учитываемых членов разложения в ряд Тейлора выше первого порядка малости.
Критические случаи, когда нельзя судить об устойчивости по уравнениям первого приближения, возникают, если среди всех корней имеется группа корней, вещественная часть которых равна нулю, а остальные имеют отрицательные вещественные части.
Рассмотрим рисунок.
Корни характеристического уравнения, имеющие отрицательные вещественные части расположены в левой полуплоскости и называются устойчивыми корнями (полюсами) системы. Корни с положительными вещественными частями расположены в правой полуплоскости и являются неустойчивыми полюсами системы. С этой точки зрения мнимая ось является границей устойчивости и штрихуется слева.
Представляет интерес часто встречающийся случай, когда характеристический полином системы имеет один нулевой корень, а остальные корни лежат в левой полуплоскости. Это соответствует уравнению системы, в котором равен нулю свободный член an .
Вынеся за скобки оператор s , получим
Так как оператор Лапласа при нулевых начальных условиях является символом дифференцирования, то можно сделать вывод, что последнее уравнение записано относительно скорости регулируемой величины. Характеристическое уравнение
по условию имеет только устойчивые корни и, следовательно, система устойчива относительно скорости регулируемой величины. По отношению к самой регулируемой величине система нейтральна и ее значение после окончания процесса регулирования произвольно и зависит от начальных условий. Такие системы называются нейтрально устойчивыми.
Оценка устойчивости непосредственно по корням характеристического уравнения возможна, но малопригодна в инженерной и научной практике, так как знание численных значений корней не несет информации о путях стабилизации системы, если она неустойчива или имеет малые запасы устойчивости. Поэтому для целей анализа устойчивости разработаны специальные критерии, позволяющие исследовать вопросы устойчивости без определения корней характеристического уравнения.
1.2 Алгеб раические критерии устойчивости
Необходимое условие устойчивости.
Характеристическое уравнение системы после определения его корней может быть представлено в виде
Если система устойчива и все ее корни имеют отрицательные вещественные части, то после раскрытия скобок в последнем выражении получим характеристическое уравнение системы
,
в котором все коэффициенты а i , i =1,2,... n , будут строго больше нуля.
Для устойчивости системы необходимо, но недостаточно, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнения были строго больше н у ля.
Понятие недостаточности означает, что если какой-либо коэффициент характеристического уравнения системы меньше нуля или равен нулю, то система неустойчива, но положительность всех коэффициентов еще не означает, что система устойчива. Нужны дополнительные исследования.
Критерий устойчивости Гурвица.
Для оценки устойчивости по этому критерию необходимо из коэффициентов характеристического уравнения составить определитель Гурвица по следующим правилам:
по главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения от а1 до а n в порядке возрастания индексов;
столбцы определителя заполняются коэффициентами от главной диагонали вниз по убывающим, а вверх- по возрастающим индексам;
места коэффициентов, индексы которых больше n или меньше нуля заполняются нулями.
Для примера составим определитель Гурвица, для системы 5-го порядка. Характеристическое уравнение системы имеет вид
где все коэффициенты строго больше нуля. Получим
.
Для того, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части и система была устойчивой необход и мо и достаточно, чтобы все коэффициенты и все диагональные определит е ли определителя Гурвица были строго больше нуля.
Для устойчивости системы 5-го порядка необходимо выполнение условий
а k >0, k =0,1,2,...5;
2 =а1а2 - а0а3>0;
3=а3 2 - а12а4>0;
4 =а4 3 -а2а5 2 + а0а5(а1а4 - а0а5)>0;
5 =а5 4>0.
Так как при выполнении необходимого условия устойчивости всегда а n >0, то об устойчивости системы можно судить по определителям до n -1 включительно. Доказано, что если n -1=0, то система находится на колебательной границе устойчивости, т.е. имеет пару чисто мнимых корней. Из условия n -1=0 можно определить критические значения параметров системы, при которых она выходит на границу устойчивости.
Пример. Исследовать устойчивость системы стабилизации угла тангажа самолета и определить критическое значение передаточного числа автопилота по углу тангажа. Система задана структурной схемой.
На схеме обозначено:
k - передаточное число (коэффициент передачи) автопилота по углу тангажа;
передаточная функция рулевого привода;
передаточная функция самолета по угловой скорости тангажа z ;
k z - передаточное число автопилота по угловой скорости тангажа.
Для передаточной функции разомкнутой системы можно записать
где
Передаточная функция замкнутой системы примет вид
где
Составим определитель Гурвица
Оценим устойчивость системы для следующих значений параметров:
.
При этих значениях для коэффициентов характеристического уравнения получим
Следовательно, все коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы положительны и
Условия устойчивости выполнены и система при избранных параметрах устойчива.
Определим критическое значение передаточного числа по углу тангажа, для чего приравняем третий диагональный определитель нулю и сделаем преобразования.
В последнем выражении только d 3 и d 4 являются функциями коэффициента k и подставив их в него, получим квадратное уравнение относительно этого коэффициента
Решив это уравнение, получим критическое значение передаточного числа по углу тангажа
Система устойчива, если k <16.56.
Критерий устойчивости Рауса.
Критерий Рауса требует несколько меньшего объема вычислений, чем критерий Гурвица и более удобен для программирования на ЭВМ. Для суждения об устойчивости системы по этому критерию необходимо составить таблицу Рауса.
Таблица Рауса
Элементы каждой строки для i >2 вычисляются по формуле
Для того, чтобы корни характеристического уравнения лежали в л е вой полуплоскости и система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были строго полож и тельны.
1.3 Частотные критерии устойчивости
Принцип аргумента.
Частотные критерии устойчивости используются в графоаналитическом виде и отличаются большой наглядностью при проведении расчетов. В основе всех частотных методов лежит принцип аргумента.
Рассмотрим характеристическое уравнение системы
Если i , i =1,2,... n - корни этого уравнения, то
Каждому корню на комплексной плоскости соответствует определенная точка, и геометрически на этой плоскости каждый корень можно изобразить в виде вектора с модулем i , проведенного из начала координат (рис.3.4). Сделаем замену s = j и получим
В соответствием с правилом вычитания векторов получим, что конец каждого элементарного вектора ( j - i ) находиться на мнимой оси.
Аргумент вектора D ( j ) равен сумме аргументов элементарных векторов
Направление вращения вектора ( j - i ) против часовой стрелки при изменении частоты от - до + принято считать положительным, а по часовой стрелке- отрицательным. Предположим, что характеристическое уравнение имеет m корней в правой полуплоскости и n - m корней в левой полуплоскости. При изменении частоты от - до + каждый вектор ( j - i ), начало которого лежит в левой полуплоскости повернется на угол + , а каждый вектор, начало которого лежит в правой полуплоскости - на угол - . Изменение аргумента вектора D ( j ) при этом будет
Это выражение и определяет принцип аргумента.
Изменение аргумента вектора D ( j ) при изменении частоты от - до + равно разности между числом ( n - m ) корней уравнения D ( s )=0 , лежащих в левой полуплоскости, и числом m корней этого уравнения, лежащих в правой пол у плоскости, умноженной на .
Критерий устойчивости Михайлова.
Из (3.14) следует, что если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, т.е. m =0 , то
Отсюда следует первая формулировка критерия Михайлова.
Система автоматического управления устойчива, если при возрастании частоты от - до + изменение аргумента вектора D ( j ) будет равно n , где n - порядок характеристического уравнения.
Вектор D ( j ) можно представить в виде
Вещественная составляющая этого выражения является четной функцией, а мнимая - нечетной функцией частоты, т.е. U (- )= U ( ); V (- )= - V ( ) и D (- j )= U ( ) - jV ( ).
Отсюда следует, что кривая Михайлова симметрична относительно вещественной оси и при ее построении можно ограничиться диапазоном частот от 0 до + . Изменение аргумента вектора D ( j ) при этом уменьшится в два раза и формулировка критерия Михайлова будет следующей.
Система автоматического управления устойчива, если при возрастании частоты от 0 до + вектор D ( j ) повернется на угол n /2 или, что то же самое, если кривая Михайлова при том же изменении частоты, начиная с полож и тельной вещественной полуоси, обходит последовательно в положительном н а правлении n квадрантов и заканчивается в n -ом квадранте (рис.3.5).
Если хотя бы один квадрант пропущен (рис.3.6), то система неусто й чива.
Наблюдая за поведением кривой Михайлова для устойчивой САУ, можно заметить, что при ее прохождении через n квадрантов корни уравнений U ( )=0 и V ( )=0 чередуются между собой, т.е. между двумя корнями уравнения V ( )=0 лежит один корень уравнения U ( )=0.
Система автоматического управления устойчива, если корни уравнений V ( )=0 и U ( )=0 вещественные и перемежаются между собой.
Система может находиться на границе устойчивости и этому соответствуют два случая:
характеристическое уравнение системы имеет один нулевой корень, что будет при а n = 0 ; кривая Михайлова при этом выходит из начала координат;
2)характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней j k и D ( j k )= U ( k )+ jV ( k )=0, что может быть только если одновременно U ( k )=0 и V ( k )=0; это означает, что кривая Михайлова проходит через начало координат.
Рис. 3.5. Кривые Михайлова для Рис. 3.6. Кривая Михайлова для устойчивых САУ неустойчивой САУ
Используя критерий Михайлова, можно определить критические значения параметров системы, при которых она находиться на границе устойчивости, в частности критический коэффициент усиления. Для этого нужно решить систему уравнений
Пример. Используя критерий Михайлова, оценить устойчивость системы стабилизации угла тангажа самолета и определить критическое значение передаточного числа k .
Характеристическое уравнение замкнутой системы было получено выше и имеет вид
Сделаем замену s = j и выделим вещественную и мнимую части
Построенная при заданных ранее параметрах системы кривая Михайлова имеет вид, показанный на рис.3.7.
Кривая начинается на вещественной положительной полуоси, проходит последовательно 4 квадранта и заканчивается в 4-м квадранте. Следовательно, при данных параметрах исследуемая система устойчива.
Рис. 3.7. Кривая Михайлова для системы стабилизации угла тангажа
Для определения критического значения передаточного числа по углу тангажа составим систему уравнений
Из второго уравнения системы определяем частоту и подставив выражение для нее в первое уравнение, после преобразований получим квадратное уравнение относительно искомого значения передаточного числа
Полученное уравнение абсолютно идентично полученному при решении задачи по критерию Гурвица и результат таким же
Построение кривой Михайлова для систем высокого порядка может быть связано с громоздкими вычислениями и графическими построениями. В этих случаях может быть более просто оценить устойчивость по корням уравнений U ( )=0 и V ( )=0. Определим корни этих уравнений и расположим их на числовой оси корни уравнения U ()=0
Критерий устойчивости Найквиста.
Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкн у той системы по виду АФЧХ разомкнутой системы.
Пусть передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы имеют вид:
где D ( s )- характеристический полином замкнутой системы. Перейдя к частотным представлениям, получим
Вектор N ( j ) называется вектором Найквиста. Очевидно, что числитель и знаменатель этого вектора имеют один и тот же порядок n . При использовании критерия Найквиста следует различать два случая.
1). Разомкнутая система устойчива и ее характеристическое уравнение A ( s )=0 имеет все корни в левой полуплоскости. Тогда при изменении частоты от 0 до
Изменение аргумента вектора D ( j ) в общем случае равно
где m - число корней уравнения D ( s )=0, лежащих в правой полуплоскости. устойчивость частотный замкнутый неизменность
Изменение аргумента вектора Найквиста будет
Если замкнутая система устойчива, то m =0 и
Так как при , W ( j ) 0, то N ( j ) 1. Рассмотрим рисунок 3.8а, на котором показана кривая Найквиста, которую описывает вектор Найквиста при изменении частоты от 0 до. Нетрудно убедиться, что вектор Найквиста опишет угол, равный нулю только в случае, если его годограф не охватывает начало координат. Перенесем начало координат в точку с координатами (1, j 0) (рис.3.9б). Можно убедиться, что изменение аргумента вектора Найквиста будет равно нулю если АФЧХ W ( j ) разомкнутой системы не охватывает критическую точку с координатами (-1, j 0).
Рис. 3.9. К определению критерия Найквиста
Критерий Найквиста для рассматриваемого случая формулируется следующим образом.
Система автоматического управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если АФЧХ W ( j ) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охзватывает критическую точку с координатами (-1, j 0).
Особенности возникают, если разомкнутая система нейтрально-устойчива, т.е.
где полином A 1( s ) имеет все корни в левой полуплоскости. При =0 АФЧХ разомкнутой системы W ( j )= и проследить поведение кривой АФЧХ в окрестности этой точки невозможно. При изменении частоты от - до + наблюдается движение корней вдоль мнимой оси снизу вверх и при =0 происходит бесконечный разрыв. При этом движении обойдем нулевой корень (рис.3.10) по полуокружности бесконечно малого радиуса так, чтобы этот корень остался слева, т.е. искусственно отнесем его к левой полуплоскости.
Рис. 3.10. Годограф Найквиста для нейтрально- устойчивой САУ
При движении по этой полуокружности в положительном направлении независимая переменная изменяется по закону
где фаза ( ) изменяется от - / 2 до + / 2. Подставив это выражение в передаточную функцию вместо множителя s в знаменателе, получим
где R при 0 , а фаза ( ) изменяется от + / 2 до - / 2. Следовательно, в окрестности нулевого корня годограф W ( j ) представляет собой часть окружности бесконечно большого радиуса, движение по которой происходит при увеличении частоты в отрицательном направлении.
Для оценки устойчивости замкнутой системы, если разомкнутая система нейтрально устойчива, необходимо АФЧХ W ( j ) разомкнутой си с темы дополнить дугой бесконечно большого радиуса, начиная с меньших частот, в отрицательном направлении и для полученной замкнутой кривой воспользоваться критерием Найквиста для систем, устойчивых в разом к нутом состоянии.
2).Разомкнутая система неустойчива. В этом случае
где р- число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости. Если замкнутая система устойчива, т.е. m =0 , то
т.е. АФЧХ разомкнутой системы охватывает критическую точку (-1,j0) в положительном направлении ровно p / 2 раз.
Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если АФЧХ W ( j с ) разомкнутой системы при и з менении частоты от 0 до охватывает критическую точку (-1, j 0) в полож и тельном направлении ровно р/2 раз, где р- число правых полюсов разомкнутой си с темы.
Определение числа охватов критической точки- непростая задача, особенно в случае систем высокого порядка. Поэтому в практических приложениях нашла применение другая формулировка критерия Найквиста для рассматриваемого случая.
Переход годографа W ( j ) через отрезок вещественной полуоси (- ,-1), т.е. левее критической точки при увеличении частоты сверху вниз считается положительным, а снизу вверх- отрицательным.
Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если разность между числом положительных и о т рицательных переходов АФЧХ разомкнутой системы равна р/2.
где число положительных переходов, число отрицательных переходов.
Например, передаточная функция ракеты-носителя “Авангард” имеет два неустойчивых полюса и ее АФЧХ показана на рис. 3.11.
Рис. 3.11. АФЧХ ракеты “Авангард”
Очевидно, что для данной ракеты, как объекта управления,
а и Замкнутая система будет устойчивой.
Запасы устойчивости.
Устойчивость замкнутой САУ зависит от расположения годографа АФЧХ разомкнутой системы относительно критической точки. Чем ближе эта кривая проходит от критической точки, тем ближе замкнутая САУ к границе устойчивости. Для устойчивых систем удаление АФЧХ разомкнутой системы от критической точки принято оценивать запасами устойчивости по фазе и по модулю.
Допустим, что АФЧХ некоторой разомкнутой системы имеет вид, показанный на рис. 3.12.
Рис. 3.12. АФЧХ разомкнутой системы
Угол , образуемый прямой, проходящей через точку пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса, что соответствует частоте среза системы, и отрицательной вещественной полуосью называется запасом усто й чивости системы по фазе.
(3.24)
Запасом устойчивост и по модулю называется величина
(3.25)
где А( )- значение АФЧХ при частоте = , при которой она пересекает вещественную ось.
Для всех систем должны выполняться требования:
Так как АФЧХ графически строится в определенном масштабе, то для вычисления запаса устойчивости по модулю можно просто измерить длины отрезков, соответствующих единице и ОВ, и разделить результат первого измерения на второй. Если увеличивать коэффициент усиления системы, то точка В будет смещаться влево и при ОВ=-1 коэффициент усиления примет критическое значение. Поэтому запас устойчивости по модулю можно определить и по формуле
Пример. Используя критерий Найквиста оценить устойчивость замкнутой системы стабилизации угла тангажа и определить ее запасы устойчивости.
Передаточная функция разомкнутой системы была получена ранее и имеет вид
Численные значения коэффициентов заданы или вычислены ранее. Сделаем замену s = j :
После преобразований получим
Изменяя частоту от 0 до построим кривую АФЧХ - рис. 3.13. Проведя дугу окружности единичного радиуса, определим, что запас устойчивост по фазе =1100 . Для рассматриваемого примера получим, что h =3.3.
Рис. 3.13. АФЧХ системы стабилизации угла тангажа
Полученные запасы устойчивости удовлетворяют выше указанным требованиям.
Оценка устойчивости по ЛЧХ
АФЧХ разомкнутой системы подразделяются на два типа:
АФЧХ первого рода, все точки, пересечения которых с вещественной осью расположены справа от критической точки (кривая 1, рис. 3.14);
АФЧХ второго рода, точки, пересечения которых с вещественной осью расположены как справа, так и слева от критической точки (кривая 2, рис. 3.14).
В системах первого рода увеличение коэффициента усиления ведет к сдвигу ветви кривой влево и приближению ее к критической точке. Запасы устойчивости при этом уменьшаются и при k = k кр система попадает на границу устойчивости. Уменьшение коэффициента усиления стабилизирует систему. В системах 2-го рода переход системы на границу устойчивости может происходить как при увеличении коэффициента усиления, так и при его уменьшении. Из критерия Найквиста следует, что замкнутая система, имеющая в разомкнутом состоянии АФЧХ 1-го рода устойчива, если всем точкам АФЧХ, вплоть до точки пересечения ее с окружностью единичного радиуса ( = с) , соответствуют значения фазы ( ) , большие, чем - , т.е. должно выполняться неравенство с< . Этому определению легко дать интерпретацию на языке ЛЧХ.
Для того чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ первого рода, была устойчивой и в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы при всех частотах, при которых ЛАХ п о ложительна, значения фазовой характеристики были больше, чем - , т.е. с< .
По ЛЧХ легко определяются и запасы устойчивости, причем запас устойчивости по усилению в логарифмическом масштабе должен удовлетворять условию Н >6дб , что соответствует значениям h >2.
Для того, чтобы САУ неустойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ 2-го рода, была устойчивой в замкнутом состоянии, нео б ходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и о т рицательных переходов фазовой характеристикой через линию - была равна р/2, где р - число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости, при всех частотах когда L ( )>0.
Необходимо подчеркнуть, что показанные способы оценки устойчивости по ЛЧХ и определения запасов устойчивости справедливы при таком расположении оси ординат относительно фазовой характеристики, когда с началом координат совмещена точка ( )=-1800.
По ЛЧХ можно определить и критический коэффициент усиления. Для этого необходимо сместить ЛАХ вдоль линий сопряжения параллельно самой себе так, чтобы выполнить условие с = и вычислить коэффициент усиления для вновь полученной ЛАХ.
Определение критического коэффициента усиления для статической и астатической систем иллюстрируется рис. 3.17 а и 3.17б.
Пример. Построить ЛЧХ системы стабилизации угла тангажа и оценить ее устойчивость. Определить запасы устойчивости и рассчитать критическое значение передаточного числа по углу тангажа.
Передаточную функцию разомкнутой системы можно привести к виду
Корни характеристического уравнения разомкнутой системы имеют значения:
Следовательно, После преобразований получим
Определим частоты сопряжения и разобьем сетку координат.
Построим ЛАХ системы, учитывая, что коэффициент усиления разомкнутой системы равен Так как относительный показатель затухания мал, то необходимо полученную ЛАХ уточнить в окрестности частоты сопряжения 03. Это можно сделать как по специальным графикам, так и расчетным путем по известной амплитудной частотной характеристике. АЧХ данной системы определяется выражением
Подставив несколько значений частоты в окрестности частоты сопряжения 03, получим значения АЧХ, рассчитаем значения ЛЧХ и построим уточняющую кривую. Фазовая частотная характеристика строится как сумма фазовых характеристик типовых звеньев, входящих в состав передаточной функции
где
Из графиков ЛЧХ следует, что с< и, следовательно, замкнутая система устойчива. Запас устойчивости по фазе =1080 . Для систем, в которые входят колебательные звенья с малым относительным коэффициентом затухания, запас устойчивости по модулю определяется в точке резонанса и в данном случае он равен 10дб, что соответствует значению h=3.16. Полученные значения запасов устойчивости незначительно отличаются от значений рассчитанных в соответствии с критериями Гурвица и Михайлова. В исследуемом случае критический коэффициент усиления определяется при касании L (р) оси частот. Перенесем ЛАХ параллельно самой себе так, чтобы в точке = р она касалась оси частот и продлим первую асимптоту до пересечения с осью частот. В этой точке k = =7.244, что соответствует значению (k )кр=16.74.
2. Выделение областей устойчивости
Среди физических параметров, характеризующих САУ, всегда имеется несколько, легко поддающихся изменению и использующихся для определенной настройки системы. При конструировании системы весьма важно знать диапазоны значений изменяемых параметров, допустимые с точки зрения сохранения устойчивости САУ. Об этих диапазонах можно судить, если в пространстве изменяемых параметров построить область устойчивости, т.е. выделить область значений параметров, при которых система сохраняет устойчивость.
Область устойчивости в теории автоматического управления принято называть D - областью, а представление области параметров в виде областей устойчивости и неустойчивости называют D - разбиением.
Построение области устойчивости по алгебраическим критериям
Допустим, что коэффициенты характеристического уравнения
зависят от двух изменяемых параметров и . Для построения области устойчивости прежде всего нужно, в соответствии с необходимым условием устойчивости, выделить область изменяемых параметров при нахождении в которой, коэффициенты характеристического уравнения положительны. Это можно сделать, решив систему уравнений
Для построения границы положительности коэффициентов а i необходимо из решений уравнений (3.26) выбрать те, которые обеспечивают положительность всех коэффициентов. Из всех границ положительности только две одновременно могут быть и границами устойчивости. Такими являются границы, уравнениями которых являются
Доказано, что если d 0 и dn приблизятся к нулю, то характеристическое уравнение будет иметь два действительных корня
При дальнейшем уменьшении коэффициенты d 0 и dn перейдут через ноль, станут отрицательными, а корни (3.28) окажутся положительными. Так как вещественные корни определяют апериодические составляющие решения дифференциального уравнения, то границы (3.27) называют апериодическими границами устойчивости. На самих границах устойчивости корни (3.28) равны соответственно и 0. Стороны кривых, di ( , )=0, примыкающие к области положительности соответствующих коэффициентов, штрихуются в сторону положительности. Может случиться так, что какой либо из коэффициентов, d 0 или dn не зависит от изменяемых параметров. Это означает отсутствие соответствующей апериодической границы устойчивости.
Колебательной границей устойчивости называется кривая в плоскости изменяемых параметров, при переходе через которую пара комплексно - сопряженных корней изменяет знак своей вещественной части на обратный. Доказано, что колебательная граница устойчивости определяется выражением
(3.29)
В этом выражении n-1 - (n-1) - й определитель Гурвица. Колебательная граница устойчивости штрихуется в сторону положительности n-1.
Пример. Построить область устойчивости в плоскости параметров k и k z системы стабилизации угла тангажа.
Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
Исследуем неравенства d 2>0, d 3>0, d 4>0 . Из первого неравенства следует, что для положительности коэффициента d 2 необходимо, чтобы выполнялось условие
Неравенство d 4>0 определяет, что для положительности этого коэффициента необходимо, чтобы k >0 . Для выполнения неравенства d 3>0 требуется, чтобы
При любых значениях передаточного числа по углу больших нуля, правая часть последнего выражения по модулю будет больше единицы. Таким образом, границами положительности коэффициентов будут
От изменяемых параметров зависит коэффициент dn = d 4 и не зависит коэффициент d 0. Поэтому уравнение k =0 одновременно является и апериодической границей устойчивости.
Составив определитель Гурвица, для его n-1 минора получим
Подставим в это выражение значения коэффициентов d 2, d 3, d 4, как функций параметров k и k , после преобразований получим квадратное уравнение, определяющее передаточное число по угловой скорости как функцию от передаточного числа по углу тангажа
По этому выражению строится колебательная граница устойчивости. График деления области исследуемых параметров на области устойчивости и неустойчивости показан на рис. 3.19.
Граница колебательной неустойчивости штрихуется в сторону положительности n-1- го определителя Гурвица, а прямая k z =0 в сторону положительности этого коэффициента. Для проверки полученных результатов выберем какие - либо значения параметров внутри заштрихованной области, например k =5, k z =0.6, вычислим значения коэффициентов характеристического уравнения и оценим устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица. Получим, что при выбранных значениях передаточных чисел система устойчива. Это означает, что и вся область, внутрь которой обращены штрихи, является областью устойчивости.
D - разбиение в плоскости одного параметра
Пусть нас интересует влияние какого - либо одного параметра на устойчивость САУ и этот параметр входит в характеристическое уравнение линейно, так что это уравнение можно представить в виде
Сделав замену s = j , получим
Задавая значения частоты от - до +, можно построить кривую ( ) , отображающую мнимую ось плоскости корней на плоскость . Эта граница D - разбиения симметрична относительно вещественной оси. Поэтому вычисления можно вести в диапазоне частот от 0 до +, а затем дополнить полученную кривую ее зеркальным отображением на диапазон частот от - до нуля. При движении по мнимой оси от - до + на плоскости корней область устойчивости остается слева.
Поэтому при движении по кривой D - разбиения в сторону увеличения частоты ее штрихуют слева. Область, внутрь которой обращены штрихи, является предполагаемой областью устойчивости. Для окончательного решения, необходимо взять какое - либо вещественное значение параметра в исследуемой области и воспользоваться каким - либо критерием устойчивости. Если при избранном значении параметра система устойчива, то рассматриваемая область является областью устойчивости.
Пример. Построить область устойчивости системы стабилизации угла тангажа в плоскости передаточного числа k .
Характеристическое уравнение исследуемой системы можно записать в виде
В полученных выражения сделаем замену s = j и получим
В этих выражениях
Так как необходимым условием устойчивости рассматриваемой системы является k >0, то мнимая ось также является границей устойчивости и штрихуется в сторону положительности k . Значение этого коэффициента, равное 5, находится внутри заштрихованной области и мы знаем, что при этом значении система устойчива. Значит и весь отрезок вещественной оси, расположенный внутри заштрихованной области, дает значения передаточного числа по углу, при которых система устойчива. Можно показать, что окончание этого отрезка находиться в точке, равной критическому значению коэффициента k =16.56.
D - разбиение в плоскости двух параметров
Пусть коэффициенты характеристического уравнения линейно зависят от двух параметров и так, что его можно записать в виде
После замены s = j получим
Так как равенство нулю всего преобразованного характеристического уравнения может выполняться только, если одновременно равны нулю его вещественная и мнимая части, то получим систему уравнений относительно изменяемых параметров
Разрешив систему (3.33) относительно и , получим
Задавая значения частоты от - до +, определим совокупность точек на плоскости - , образующих кривую D - разбиения. Функции ( ) и ( ) являются четными, и поэтому, при изменении частоты в указанных выше пределах, кривая D - разбиения пробегается дважды. При построении кривой D - разбиения в плоскости двух параметров необходимо руководствоваться следующими правилами :
1) если в системе (3.33) первое уравнение получено из вещественных частей, а второе - из мнимых частей функций P ( j ), Q ( j ) и S ( j ) и если параметр по написанию стоит первым, а - вторым, то система координат должна быть правой, т.е. ось является осью абсцисс с отсчетом положительных значений вправо, а ось - осью ординат с отсчетом положительных значений вверх;
2)двигаясь по кривой D - разбиения при изменении частоты в сторону увеличения, ее штрихуют слева, если ( )>0, и справа, если ( )<0 ; в результате кривая штрихуется дважды с одной стороны, так как на концах кривой при =0 и = знак главного определителя ( ) изменяется.
Может быть случай, когда при = * 0, одновременно ( *)= = ( *)= ( *)=0. Тогда система (3.33) становится линейно - зависимой и ее уравнения отличаются друг от друга только на постоянный множитель. В этом случае эта система сводится к одному уравнению, определяющему на плоскости - прямую линию, которая называется особой прямой. Если особая прямая пересекает кривую D - разбиения в точке = * и в этой точке определитель ( ) меняет знак, то эта прямая также является границей устойчивости и в указанной точке изменяется направление штриховки кривой и особой прямой. Если при = * изменение знака главного определителя не происходит, то штриховка на особую прямую не наносится. Если свободный член характеристического уравнения dn = dn ( , ) , то это соответствует существованию особой прямой для =0 и ее уравнение будет
...Подобные документы
Оценка устойчивости системы автоматического регулирования по критериям устойчивости Найквиста, Михайлова, Гурвица (Рауса-Гурвица). Составление матрицы главного определителя для определения устойчивости системы. Листинг программы и анализ результатов.
лабораторная работа , добавлен 06.06.2016
Частотные показатели качества системы автоматического управления в переходном режиме. Полный анализ устойчивости и качества управления для разомкнутой и замкнутой систем с помощью критериев Гурвица и Найквиста, программных продуктов Matlab, MatCad.
курсовая работа , добавлен 18.06.2011
Устойчивость как свойство системы возвращаться в исходное состояние после вывода ее из состояния равновесия. Характер решения при различных значениях корней уравнения. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица, Найквиста, Михайлова, определение его областей.
реферат , добавлен 15.08.2009
Рассмотрение основ передаточной функции замкнутой системы. Анализ устойчивости системы автоматического управления. Описание нахождения характеристического уравнения системы в замкнутом состоянии. Алгебраические критерии устойчивости Гурвица и Михайлова.
контрольная работа , добавлен 28.04.2014
Системы автоматического регулирования (САР), их виды и элементарные звенья. Алгебраические и графические критерии устойчивости систем. Частотные характеристики динамических звеньев и САР. Оценка качества регулирования, коррекция автоматических систем.
курсовая работа , добавлен 16.02.2013
Передаточная функция разомкнутой системы. Анализ устойчивости системы автоматического управления. Амплитудно-фазовая частотная характеристика системы. Критерий устойчивости Гурвица. Анализ переходного процесса при подаче ступенчатого воздействия.
курсовая работа , добавлен 18.10.2012
Алгебраические и частотные критерии устойчивости. Порядок характеристического комплекса. Годографы частотной передаточной функции разомкнутой системы. Определение устойчивости с помощью ЛАЧХ разомкнутой системы. Абсолютно и условно устойчивые системы.
реферат , добавлен 21.01.2009
Анализ исходной системы автоматического управления, определение передаточной функции и коэффициентов. Анализ устойчивости исходной системы с помощью критериев Рауса, Найквиста. Синтез корректирующих устройств и анализ синтезированных систем управления.
курсовая работа , добавлен 19.04.2011
Поиск передаточных функций разомкнутой и замкнутой систем, замкнутой системы по ошибке и возмущению. Точность отработки входных воздействий. Устойчивость по критерию Гурвица. Выбор регулятора и уточнение его параметров. Значения динамических показателей.
контрольная работа , добавлен 04.03.2014
Проведение анализа замкнутой системы на устойчивость. Определение передаточной функции разомкнутой системы и амплитудно-фазовой частотной характеристики системы автоматического управления. Применение для анализа критериев Гурвица, Михайлова и Найквиста.
7.1. Понятие устойчивости САУ
Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой динамических свойств САР. Устойчивость САР связана с характером её поведения после прекращения внешнего воздействия, которое может быть оценено решением дифференциального уравнения, описывающего работу системы. Общая теория устойчивости разработана А.М. Ляпуновым. Линейная система называется устойчивой, если ее выходная координата остается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных воздействиях. Устойчивость линейной системы определяется ее характеристиками и не зависит от действующих воздействий.
В общем случае решение уравнения имеет вид: y(t)= y B (t) + y n (t)
где y B (t) - решение однородного уравнения (переходная или свободная составляющая); y n (t) - установившееся значение регулируемой величины (вынужденная составляющая) - решение уравнения с правой частью. Устойчивость работы системы определяется переходной составляющей. Если переходная составляющая процесса управления после прекращения внешнего воздействия стремится к нулю, то такая система является устойчивой. Другими словами устойчивость системы - это есть затухание ее переходных процессов.
Если свободная составляющая стремится к конечному значению или имеет вид гармонических колебаний с постоянной амплитудой, то система считается нейтральной. В том случае, если свободная составляющая неограниченно возрастает или имеет вид гармонических колебаний с возрастающей амплитудой, то система считается неустойчивой.
Оценка устойчивости производится на основе результатов исследования свободной составляющей, которая представляет собой решение однородного дифференциального уравнения (характеристического уравнения): D(p) = a 0 p n + a 1 p n-1 + ... + a n = 0 (4.1)
Переходная составляющая решения уравнения в общем виде y ni (t) = A i e α i t * sin(β i t + φ i)
, где α i ± jβ i - корни характеристического уравнения; A i ,Φ i - постоянные.
При этом переходная составляющая с ростом времени стремится к нулю, если вещественные части корней α i отрицательны, в противном случае амплитуда колебаний переходной составляющей возрастает (рис.4.1).
Рис.4.1. Графики переходных составляющих
Пара мнимых корней (α i =0) характеристического уравнения позволяет получить переходную составляющую в виде автоколебаний с постоянной амплитудой:
Полученные корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде точек на комплексной плоскости (рис.4.2.).
Рис.4.2. Расположение корней САУ на комплексной плоскости корней
Для устойчивых систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси комплексной плоскости корней. Если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных сопряженных корней находится справа от мнимый оси, то система является неустойчивой. Если имеется нулевой корень или пара чисто мнимых корней, то система считается нейтральной (находящейся на границе устойчивости и неустойчивости). Таким образом, мнимая ось комплексной плоскости является границей устойчивости.
С целью упрощения анализа устойчивости систем разработаны ряд специальных методов, которые получили название критерии устойчивости. Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические (критерий Гурвица ) и частотные (критерии Михайлова и Найквиста ). Алгебраические критерии являются аналитическими, а частотные - графоаналитическими. Критерии устойчивости позволяют также оценить влияние параметров системы на устойчивость.
Алгебраический критерий Гурвица находит широкое применение при анализе САР. Первоначально, из коэффициентов уравнения (4.1) составляется матрица главного определителя:
По диагонали матрицы от верхнего левого угла записываются по порядку все коэффициенты уравнения (4.1.), начиная с а1. Затем каждый столбец матрицы дополняется таким образом, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз - уменьшались.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при а0>0 все угловые определители (миноры) были также положительными, т.е.
и т.д.
Последний определитель Гурвица, как видно из приведенной выше матрицы, равен Δ n =a n *Δ n-1 . Поэтому его положительность сводится при Δ n-1 >0 к условию a n >0. Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов ai. Если определитель Δ n =0, то система находится на границе устойчивости. Из условия Δ n-1 =0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости, например, критический коэффициент усиления разомкнутой САУ К кр.
Критерий Михайлова предполагает построение годографа на комплексной плоскости. Для построения годографа из характеристического уравнения замкнутой системы (4.1) путем подстановки p=jω получают аналитическое выражение вектора M(jω):
M(jω)=a 0 (jω) n +a 1 (jω) n-1 +...+a n (4.2)
Уравнение (4.2) является комплексным и может быть представлено в виде:
Построение годографа производится по уравнению вектора M(jω) при изменении часты от 0 до + . Оценка устойчивости системы осуществляется по углу поворота годографа при изменении частоты 0<ω< , т.е. по приращению Δ аргумента M(jω)
, (4.3)
где m - число правых корней характеристического полинома; n - порядок характеристического уравнения системы.
Тогда для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента годографа M(jω) при изменении от 0 до + равнялось n , так как m=0 для обеспечения устойчивости системы.
Критерий Михайлова формулируется так: система устойчива, если годограф Михайлова M(jω) при изменении от 0 до + , начинаясь на положительной части действительной оси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов и в n-м квадранте уходил в .
Если годограф начинается в нулевой точке комплексной плоскости или проходит через эту точку при определенной частоте, то система считается нейтральной. В этом случае P(ω) = 0 и Q(ω) = 0.
Из этих уравнений можно определить значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости (критические значения). На рис.4.3 приведены годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых САУ.
Рис.4.3. Годографы Михайлова
Имеется вторая формулировка критерия Михайлова: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни уравнений P(ω) = 0 и Q(ω) = 0 перемежались (чередовались), т.е. годограф последовательно пересекал оси комплексной плоскости. Этой формулировкой удобно пользоваться для исследования устойчивости систем до пятого порядка включительно. По уравнению (4.3) можно определить количество правых корней в неустойчивых системах.
| 7.4. Частотный критерий устойчивости Найквиста |
Критерий Найквиста - частотный критерий, позволяющий по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы оценить устойчивость работы замкнутой системы. АФЧХ может быть получена экспериментально или аналитически. Аналитическое построение АФЧХ производится обычными методами. Критерий Найквиста формулируется по разному в зависимости от того, устойчива разомкнутая система или нет.
Если разомкнутая система устойчивая, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охватывала точку с координатами -I, j0. Если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами -I, j0, то система будет нейтральной. На рис.4.4 представлены АФЧХ разомкнутых статических систем. Критерий Найквиста позволяет наглядно проследить влияние изменения параметров передаточной функции на устойчивость системы.
Рис.4.4. АФЧХ разомкнутых САУ
АФЧХ астатической системы, начинаясь на вещественной положительной полуоси, при ω->0 дугой бесконечно большого радиуса перемещается на угол, равный -ν , где ν - порядок астатизма. На рис.4.5 изображена АФЧХ устойчивой в замкнутом состоянии астатической системы первого порядка.
Рис.4.5. АФЧХ астатической САУ первого порядка
Если разомкнутая система неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку с координатами (-1, j0) и при изменении частоты от 0 до оборачивалась вокруг нее против часовой стрелки m раз, где m - число правых полюсов разомкнутой системы.
Существуют два класса САУ: абсолютно устойчивые и условно устойчивые. В первом классе систем только увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы может привести к потере устойчивости, а условно устойчивая система может стать неустойчивой как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления.
Для абсолютно устойчивых систем вводится понятие запаса устойчивости по амплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе. Запасы устойчивости определяют на частоте среза ω ср, на которой A(ω ср)=1.
Запас устойчивости по амплитуде задается некоторой величиной 1/а (рис.4.6), которая показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления разомкнутой системы, чтобы САУ оказалась на границе устойчивости.
Рис.4.6. АФЧХ абсолютно устойчивой системы
Запас устойчивости по фазе задается некоторым углом φ (рис.4.6). В хорошо демпфированных системах запас устойчивости по амплитуде составляет примерно 6-20 дБ, что составляет 2÷10 в линейном масштабе, а запас по фазе от 30 до 60°.
Наиболее удобно для исследования устойчивости использовать построенные л.а.х. и л.ф.х., располагая их друг под другом так, чтобы оси ординат совмещались и выбирая одинаковые масштабы оси абсцисс (рис.4.7).
Рис.4.7. ЛЧХ абсолютно устойчивой системы
По ЛЧХ разомкнутой системы можно определить запасы устойчивости: запас по фазе φ зап отсчитывается по л.ф.х. на частоте среза ω ср и равен φ зап =π - φ(ω ср), а запас по амплитуде L зап соответствует значению л.а.х. на частоте, при которой л.ф.х. равна -π (рис.4.7). Если φ(ω ср)=-&pi, то система находится на границе устойчивости. Критический коэффициент усиления разомкнутой системы K кр определяется из выражения 20*lg(K кр)=20*lg(K раз) + L зап.
Критерием Найквиста удобно пользоваться для исследования устойчивости систем с запаздыванием. В этом случае строятся ЛЧХ разомкнутой САУ с запаздыванием W τ (jω) = W(jω) * e -jωτ . Логарифмическая частотная характеристика не изменяется, а л.ф.х. сдвигается вниз на величину -ω i τ, где ω i - значение частоты в конкретной точке. Критическое значение времени чистого запаздывания τ кр, при котором САУ будет на границе устойчивости, находится по формуле: .
Чтобы спроектировать систему с заданными показателями качества, строят запретную область вокруг точки с координатами (-1, j0), в которую не должна заходить АФЧХ разомкнутой системы, как показано на рис.4.8.
7.5. Логарифмический частотный критерий.
Логарифмический критерий – это частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой САУ по виду логарифмической характеристики разомкнутой системы. Этот критерий основан на однозначной связи ЛФЧХ и АФЧХ систем автоматического управления. При этом рассматриваются САУ, базирующиеся на использовании устойчивых разомкнутых систем. Кроме того, рассматриваются системы с астатизмом не выше второго порядка.
Как следует из критерия устойчивости Найквиста в устойчивых САУ фазовый сдвиг может достигать значения только при модулях комплексной передаточной функции, меньшем чем единица. Это позволяет легко определить устойчивость по виду ЛАЧХ и ЛФЧХ.
Формулировка критерия : для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы в диапазоне частот, где ЛАЧХ разомкнутой системы больше нуля число переходов фазовой характеристики прямой снизу верх превышало на число переходов сверху вниз, где а – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.
В частном случае для устойчивой разомкнутой системы (а=0) необходимым и достаточным условием замкнутой системы является необходимость выполнения следующего условия. В диапазоне частот, где , фазовая частотная характеристика не должна пересекать прямой , или пересекать ее одинаковое число раз снизу вверх и сверху вниз.
Рис. 6. ЛФЧХ устойчивой и неустойчивой САУ
Критическим значением коэффициента преобразования называется такое его значение, при котором АФЧХ проходит через точку (-1, j0) и система находится на границе устойчивости.
Запасом по модулю называется величина в децибеллах, на которую нужно изменить коэффициент преобразования САУ, чтобы привести ее к границе устойчивости.
,
где - частота, при которой фазовая характеристика равна .
Запасом устойчивости по фазе называется угол, на который нужно повернуть амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы, чтобы замкнутая САУ оказалась на границе устойчивости.
,
где – значение ФЧХ на частоте среза системы, для которой выполняется условие .
Устойчивость системы автоматического управления
Устойчивость
системы автоматического управления, способность системы автоматического управления
(САУ) нормально функционировать и противостоять различным неизбежным возмущениям (воздействиям). Состояние САУ называется устойчивым, если отклонение от него остаётся сколь угодно малым при любых достаточно малых изменениях входных сигналов. У. САУ разного типа определяется различными методами. Точная и строгая теория У. систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, создана А. М. Ляпуновым
в 1892.
═ Все состояния линейной САУ либо устойчивы, либо неустойчивы, поэтому можно говорить об У. системы в целом. Для У. стационарной линейной СЛУ, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, необходимо и достаточно, чтобы все корни соответствующего характеристического уравнения имели отрицательные действительные части (тогда САУ асимптотически устойчива). Существуют различные критерии (условия), позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения, не решая это уравнение √ непосредственно по его коэффициентам. При исследовании У. САУ, описываемых дифференциальными уравнениями невысокого порядка (до 4-го), пользуются критериями Рауса и Гурвица (Э. Раус, англ. механик; А. Гурвиц, нем. математик). Однако этими критериями пользоваться во многих случаях (например, в случае САУ, описываемых уравнениями высокого порядка) практически невозможно из-за необходимости проведения громоздких расчётов; кроме того, само нахождение характеристических уравнений сложных САУ сопряжено с трудоёмкими математическими выкладками. Между тем частотные характеристики любых сколь угодно сложных СЛУ легко находятся посредством простых графических и алгебраических операций. Поэтому при исследовании и проектировании линейных стационарных САУ обычно применяют частотные критерии Найквиста и Михайлова (Х.
Найквист, амер. физик; А. В. Михайлов, сов. учёный в области автоматического управления). Особенно прост и удобен в практическом применении критерий Найквиста. Совокупность значений параметров САУ, при которых система устойчива, называется областью У. Близость САУ к границе области У. оценивается запасами У. по фазе и по амплитуде, которые определяют по амплитудно-фазовым характеристикам разомкнутой САУ. Современная теория линейных САУ даёт методы исследования У. систем с сосредоточенными и с распределёнными параметрами, непрерывных и дискретных (импульсных), стационарных и нестационарных.
═ Проблема У. нелинейных САУ имеет ряд существенных особенностей в сравнении с линейными. В зависимости от характера нелинейности в системе одни состояния могут быть устойчивыми, другие √ неустойчивыми. В теории У. нелинейных систем говорят об У. данного состояния, а не системы как таковой. У. какого-либо состояния нелинейной САУ может сохраняться, если действующие возмущения достаточно малы, и нарушаться при больших возмущениях. Поэтому вводятся понятия У. в малом, большом и целом. Важное значение имеет понятие абсолютной У., т. е. У. САУ при произвольном ограниченном начальном возмущении и любой нелинейности системы (из определённого класса нелинейностей). Исследование У. нелинейных САУ оказывается довольно сложным даже при использовании ЭВМ. Для нахождения достаточных условий У. часто применяют метод функций Ляпунова. Достаточные частотные критерии абсолютной У. предложены рум. математиком В. М. Поповым и др. Наряду с точными методами исследования У. применяются приближённые методы, основанные на использовании описывающих функций, например методы гармонической или статистической линеаризации
.
═
Устойчивость САУ при воздействии на неё случайных возмущений и помех изучается теорией У. стохастических систем.
═ Современная вычислительная техника позволяет решать многие проблемы У. линейных и нелинейных САУ различных классов как путём использования известных алгоритмов
,
так и на основе новых специфических алгоритмов, рассчитанных на возможности современных ЭВМ и вычислительных систем.
═ Лит.:
Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, Собр. соч., т. 2, М. √ Л., 1956; Воронов А. А., Основы теории автоматического управления, т, 2, М. √ Л., 1966; Наумов Б. Н., Теория нелинейных автоматических систем. Частотные методы, М., 1972; Основы автоматического управления, под ред. В. С. Пугачева, 3 изд., М., 1974.
═ В. С. Пугачев, И. Н. Синицын.
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Смотреть что такое "Устойчивость системы автоматического управления" в других словарях:
Содержание 1 История 2 Основные понятия 3 Функциональн … Википедия
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ - научное направление, изучающее принцип построения системы автоматического управления (САУ). Т. а. у. составляет одну из частей общей теории управления. Цель Т. а. у. построение работоспособных и точных САУ. Простейшая и наиболее распространенная… … Энциклопедический словарь по психологии и педагогике
Совокупность устройств, автоматически обеспечивающих выполнение с требуемой точностью выбранных программ управления газотурбинным двигателем летательного аппарата на установившихся и переходных режимах его работы. С. а. у. ГТД выполняет следующие … Энциклопедия техники
Энциклопедия «Авиация»
система автоматического управления ГТД - система автоматического управления ГТД совокупность устройств, автоматически обеспечивающих выполнение с требуемой точностью выбранных программ управления газотурбинным двигателем летательного аппарата на установившихся и переходных… … Энциклопедия «Авиация»
I Устойчивость решений дифференциальных уравнений, понятие качественной теории дифференциальных уравнений, разрабатывающееся особенно в связи с вопросами устойчивости движения (См. Устойчивость движения) в механике; имеет также важное… …
Устойчивость способность системы сохранять текущее состояние при наличии внешних воздействий. В макроэкономике устойчивость обозначает долгосрочное равновесие между эксплуатацией ресурсов и развитием человеческого общества. В метеорологии… … Википедия
См. Устойчивость системы автоматического управления … Большая советская энциклопедия
Структура управления систематизированный (строго определенный) набор средств сбора сведений о подконтрольном объекте и средств воздействия на его поведение с целью достижения определённых целей. Объектом системы управления могут быть как… … Википедия
Летательного аппарата способность летательного аппарата (в том числе летательного аппарата с системой улучшения устойчивости и управляемости) восстанавливать без вмешательства лётчика исходный режим продольного движения после прекращения действия … Энциклопедия техники
Книги
- Теория автоматического управления в примерах и задачах с решениями в MATLAB. Учебное пособие , Гайдук Анатолий Романович, Пьявченко Тамила Алексеевна, Беляев Виктор Егорович. В пособии приведены методики решения всех типов рассматриваемых примеров и задач, а также задачи для самостоятельного решения по дисциплине "Теория автоматического управления" . Материал…
- Теория автоматического управления в примерах и задачах с решениями в MATLAB. Учебное пособие. Гриф УМО вузов России , Гайдук Анатолий Романович, Пьявченко Тамила Алексеевна, Беляев Виктор Егорович. В пособии приведены методики решения всех типов рассматриваемых примеров и задач, а также задачи для самостоятельного решения по дисциплине`Теория автоматического управления`. Материал…
Постановка задачи
Получение простого, наглядного и общедоступного инструмента для решения задач расчёта устойчивости систем автоматического управления, что является обязательным условием работоспособности любого промышленного робота и манипулятора.Теория просто и кратко
Анализ устойчивости системы по методу Михайлова сводится к построению характеристического многочлена замкнутой системы (знаменатель передаточной функции), комплексной частотной функции (характеристического вектора):Где и – соответственно вещественная и мнимая части знаменателя передаточной функции, по виду которой можно судить об устойчивости системы.
Замкнутая САУ устойчива, если комплексная частотная функция , начинаясь на
стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n – порядок характеристического уравнения системы, т. е.
(2)
Рисунок 1. Амплитудно-фазовые характеристики (годографы) критерия Михайлова: а) – устойчивой системы; б) – неустойчивой системы (1, 2) и системы на границе устойчивости (3)
САУ электроприводом манипулятора промышленного робота (МПР)
Рисунок 2 – Структурная схема САУ электроприводом МПР
Передаточная функция данной САУ имеет следующее выражение :
(3)
где kу – коэффициент усиления усилителя, kм – коэффициент пропорциональности частоты вращения двигателя величине напряжения на якоре, Tу – электромагнитная постоянная времени усилителя, Tм – электромеханическая постоянная времени двигателя с учётом инерции нагрузки (по своим динамическим характеристикам двигатель представляет собой передаточную функцию последовательно соединённых инерционного и интегрирующего звеньев), kдс – коэффициент пропорциональности между входной и выходной величинами датчика скорости, K – коэффициент усиления главной цепи: .
Численные значения в выражение передаточной функции следующие:
K = 100 град / (В∙с); kдс = 0,01 В / (град∙с); Tу = 0,01 с; Tм = 0,1с.
Заменив s на :
(4)
Решение на Python
Здесь следует отметить, что подобные задачи на Python ещё никто не решал, во всяком случае я не нашёл. Это было связано с ограниченными возможностями работы с комплексными числами. С появлением SymPy можно сделать следующее:From sympy import *
T1,T2,w =symbols("T1 T2 w",real=True)
z=factor ((T1*w*I+1)*(T2*w*I+1)*w*I+1)
print ("Характеристический многочлен замкнутой системы -\n%s"%z)
Где I мнимая единица, w- круговая частота, T1= Tу = 0.01 ,T2= Tм = 0.1
Получим развёрнутое выражение для многочлена:
Характеристический многочлен замкнутой системы –
Сразу видим, что многочлен третьей степени. Теперь получим мнимую и действительную части в символьном отображении:
Zr=re(z)
zm=im(z)
print("Действительная часть Re= %s"%zr)
print("Мнимая часть Im= %s"%zm)
Получим:
Действительная часть Re= -T1*w**2 - T2*w**2 + 1
Мнимая часть Im= -T1*T2*w**3 + w
Сразу видим вторую степень действительной части и третью мнимой. Подготовим данные для построения годографа Михайлова. Введём численные значения для T1 и T2, и будем менять частоту от 0 до 100 с шагом 0.1 и построим график:
From numpy import arange
import matplotlib.pyplot as plt
x=
y=
plt.plot(x, y)
plt.grid(True)
plt.show()
Из графика не видно, то годограф начинается на действительной положительной оси. Нужно изменить масштабы осей. Приведу полный листинг программы:
From sympy import *
from numpy import arange
import matplotlib.pyplot as plt
T1,T2,w =symbols("T1 T2 w",real=True)
z=factor((T1*w*I+1)*(T2*w*I+1)*w*I+1)
print("Характеристический многочлен замкнутой системы -\n%s"%z)
zr=re(z)
zm=im(z)
print("Действительная часть Re= %s"%zr)
print("Мнимая часть Im= %s"%zm)
x=
y=
plt.axis([-150.0, 10.0, -15.0, 15.0])
plt.plot(x, y)
plt.grid(True)
plt.show()
Получим:
-I*T1*T2*w**3 - T1*w**2 - T2*w**2 + I*w + 1
Действительная часть Re= -T1*w**2 - T2*w**2 + 1
Мнимая часть Im= -T1*T2*w**3 + w
Теперь уже видно, что годограф начинается на действительной положительной оси. САУ устойчива, n=3, годограф совпадает с приведённым на первом рисунке.
Дополнительно убедится в том, что годограф начинается на действительной оси можно дополнив программу следующим кодом для w=0:
Print("Начальная точка М(%s,%s)"%(zr.subs({T1:0.01,T2:0.1,w:0}),zm.subs({T1:0.01,T2:0.1,w:0})))
Получим:
Начальная точка М(1,0)
САУ сварочного робота
Наконечник сварочного узла (НСУ) подводится к различным местам кузова автомобиля, быстро и точно совершает необходимые действия. Требуется определить устойчивость по критерию Михайлова САУ позиционированием НСУ.
Рисунок 3. Структурная схема САУ позиционированием НСУ
Характеристическое уравнение данной САУ будет иметь вид :
Где K – варьируемый коэффициент усиления системы, a – определённая положительная константа. Численные значения: K = 40; a = 0,525.
Решение на Python
rom sympy import * from numpy import arange import matplotlib.pyplot as plt w =symbols(" w",real=True) z=w**4-I*6*w**3-11*w**2+I*46*w+21 print("Характеристический многочлен замкнутой системы -\n%s"%z) zr=re(z) zm=im(z) print("Начальная точка М(%s,%s)"%(zr.subs({w:0}),zm.subs({w:0}))) print("Действительная часть Re= %s"%zr) print("Мнимая часть Im= %s"%zm) x= y= plt.axis([-10.0, 10.0, -50.0, 50.0]) plt.plot(x, y) plt.grid(True) plt.show()Получим:
Характеристический многочлен замкнутой системы - w**4 - 6*I*w**3 - 11*w**2 + 46*I*w + 21
Начальная точка М(21,0)
Действительная часть Re= w**4 - 11*w**2 + 21
Мнимая часть Im= -6*w**3 + 46*w
Построенный годограф Михайлова, начинаясь на вещественной положительной оси (М (21,0)), огибает в положительном направлении начало координат, проходя последовательно четыре квадранта, что соответствует порядку характеристического уравнения. Значит, данная САУ позиционированием НСУ – устойчива.
Выводы
При помощи модуля SymPy Python получен простой и наглядный инструмент для решения задач расчёта устойчивости систем автоматического управления, что является обязательным условием работоспособности любого промышленного робота и манипулятора.Ссылки
- Дорф Р. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 832 с.
- Юревич Е.И. Основы робототехники 2-е издание / Е.И. Юревич. – С-Пб.: БХВ-Петербург, 2005. – 416 с.
Понятие об устойчивости
Понятие устойчивости системы управления связано со способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.
Устойчивость - это свойство системы возвращаться в исходное или близкое к нему установившееся состояние после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.
Из данного определения следует, что устойчивость связана с характером переходных процессов и состоянием системы после окончания переходного процесса, т.е. является основной динамической характеристикой системы. Поэтому анализ устойчивости САУ является основной проблемой в теории автоматического управления.
В зависимости от характера переходного процесса различают три основных случая поведения системы после приложения возмущающего воздействия:
1) система не может восстановить равновесного состояния, значение управляемой переменной все больше отклоняется от заданного (рисунок 6.1, а); такой процесс называется расходящимся, а система – неустойчивой;
2) система возвращается к равновесному состоянию, значение управляемой переменной отличается от заданного на величину статической погрешности системы; такой переходной процесс будет сходящимся, а система - устойчивой (рисунок 6.1, б);
3) система характеризуется установившимся периодическим движением; такой процесс называется незатухающим колебательным, а система будет находится на границе асимптотической устойчивости (рисунок 6.1, в).
Рисунок 6.1 Поведение системы после приложения возмущающего воздействия
Рассмотрим, от чего зависит устойчивость системы и чем она определяется. Пусть динамика линейной системы описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:
Решение такого линейного неоднородного уравнения в общем случае из двух составляющих:
, (6.2)
y уст (t) - частное решение неоднородного уравнения (6.1) с правой частью, описывающее вынужденный режим системы, устанавливающийся по окончании переходного процесса; такие режимы нами были рассмотрены в предыдущем параграфе;
y п (t) - общее решение однородного уравнения , которое описывает переходный процесс в системе, вызванный данным возмущением.
Очевидно, что система будет устойчива, если переходные процессы y п (t) , вызванные любыми возмущениями, будут затухающими, т.е. с течением времени y п (t) будет стремиться к нулю (рисунок 6.1, б).
Решение y п (t) однородного дифференциального уравнения имеет вид:
, (6.3)
C i - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями и возмущениями;
l i - корни характеристического уравнения:
Таким образом, переходный процесс y п (t) представляет собой сумму составляющих, число которых определяется числом корней l i характеристического уравнения (6.4).
В общем случае корни характеристического уравнения являются комплексными, образуя пары сопряженных корней:
где a i может быть как положительной, так и отрицательной величиной, причем корень вещественный, если b j =0 и мнимый, если a i =0 .
Каждая пара таких корней определяет составляющую переходного процесса, равную:
и определяются через и .
Нетрудно увидеть, что эта составляющая представляет собой синусоиду: с затухающими колебаниями, если a i <0 ; с расходящимися колебаниями, если a i >0 ; с незатухающими синусоидальными колебаниями при a i =0 .
Таким образом, условием затухания данной составляющей переходного процесса является отрицательность действительной части корня характеристического уравнения системы.
Если b=0 , то процесс определяется только вещественной частью корня a и является апериодическим. В общем случае, переходный процесс в системе состоит из колебательной и апериодической составляющих. Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, он даст расходящуюся составляющую переходного процесса и система будет неустойчива. Отсюда следует, что общим условием затухания всех составляющих, а значит и всего переходного процесса в целом, является отрицательность действительной части всех корней характеристического уравнения системы, т.е. всех полюсов (нулей знаменателя) передаточной функции системы.
Наиболее наглядно вышеизложенное можно проиллюстрировать, если изобразить корни характеристического уравнения на комплексной плоскости (рисунок 6.2). В этом случае найденное выше условие устойчивости можно сформулировать так: условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения системы, т.е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости, или, говоря короче, все корни должны быть «левыми». Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости.
Рисунок 6.2 Изображение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости
Итак, на первый взгляд задача исследования устойчивости не представляет затруднений, так как достаточно определить расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Однако определение корней характеристического уравнения, имеющего порядок выше третьего, сопряжено со значительными трудностями, в связи с чем и возникает проблема исследования устойчивости систем, динамические процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка.
Частичное решение этой проблемы найдено косвенным путем. Разработан ряд признаков, по которым можно судить о знаках действительных частей корней характеристического уравнения системы и тем самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. При этом обычно встречаются две постановки задачи исследования устойчивости системы:
1)заданы все параметры системы и необходимо определить, устойчива ли система при этих значениях параметров;
2)необходимо определить значения некоторых параметров (при заданных остальных), при которых система устойчива.
Математическая формулировка условий, которым должны удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения или какие-либо функции этих коэффициентов, чтобы система была устойчивой, называется критерием устойчивости.
