\(\sqrt(a)=b\), ak \(b^2=a\), kde \(a≥0,b≥0\)
Príklady:
\(\sqrt(49)=7\), pretože \(7^2=49\)
\(\sqrt(0,04)=0,2\), pretože \(0,2^2=0,04\)
Ako extrahovať druhú odmocninu čísla?
Ak chcete extrahovať druhú odmocninu čísla, musíte si položiť otázku: aké číslo na druhú poskytne výraz pod odmocninou?
Napríklad. Extrahujte koreň: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0,001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)
a) Aké číslo na druhú dá \(2500\)?
\(\sqrt(2500)=50\)
b) Aké číslo na druhú dá \(\frac(4)(9)\) ?
\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)
c) Aké číslo na druhú dá \(0,0001\)?
\(\sqrt(0,0001)=0,01\)
d) Aké číslo na druhú dá \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? Ak chcete odpovedať na otázku, musíte ju previesť na nesprávnu.
\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)
Komentujte: Hoci \(-50\), \(-\frac(2)(3)\), \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\), odpovedzte aj na otázky, ale neberú sa do úvahy, pretože druhá odmocnina je vždy kladná.
Hlavná vlastnosť koreňa
Ako viete, v matematike má každá akcia inverznú hodnotu. Sčítanie má odčítanie, násobenie má delenie. Inverzná kvadrátka je odmocnina. Preto sa tieto akcie navzájom kompenzujú:
\((\sqrt(a))^2=a\)
Toto je hlavná vlastnosť koreňa, ktorý sa najčastejšie používa (vrátane OGE)
Príklad . (zadanie od OGE). Nájdite hodnotu výrazu \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)
Riešenie :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)
Príklad . (zadanie od OGE). Nájdite hodnotu výrazu \((\sqrt(85)-1)^2\)
Riešenie:
odpoveď: \(86-2\sqrt(85)\)Samozrejme, pri práci s odmocninami musíte použiť iné.
Príklad
. (zadanie od OGE). Nájdite hodnotu výrazu \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Riešenie:
odpoveď: \(220\)
4 pravidlá, na ktoré ľudia vždy zabúdajú
Koreň nie je vždy extrahovaný
Príklad: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) atď. – extrahovanie odmocniny čísla nie je vždy možné a to je normálne!
Koreň čísla, tiež číslo
\(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) nie je potrebné nijako špeciálne ošetrovať. To sú čísla, ale nie celé čísla, áno, ale nie všetko v našom svete sa meria celými číslami.
Odmocnina sa preberá iba z nezáporných čísel
Preto v učebniciach neuvidíte takéto záznamy \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) atď.
Názov: Nezávislý a testovacie papiere z algebry a geometrie pre 8. ročník.
Príručka obsahuje samostatné a testovacie práce na všetky najdôležitejšie témy kurzu algebry a geometrie 8. ročníka.
Práce pozostávajú zo 6 možností troch úrovní obtiažnosti. Didaktické materiály sú určené na organizovanie diferencovanej samostatnej práce žiakov.
OBSAH
ALGEBRA 4
C-1 Racionálne výrazy. Znižovanie zlomkov 4
C-2 Sčítanie a odčítanie zlomkov 5
K-1 Racionálne zlomky. Sčítanie a odčítanie zlomkov 7
C-3 Násobenie a delenie zlomkov. Zvýšenie zlomku na 10
C-4 Transformácia racionálnych výrazov 12
C-5 Inverzná úmernosť a jej graf 14
K-2 Racionálne zlomky 16
C-6 Aritmetická druhá odmocnina 18
C-7 Rovnica x2 = a. Funkcia y = y[x 20
C-8 Druhá odmocnina súčinu, zlomok, mocnina 22
K-3 Aritmetická druhá odmocnina a jej vlastnosti 24
C-9 Sčítanie a odčítanie násobiteľa v odmocninách 27
C-10 Prevod výrazov obsahujúcich odmocniny 28
K-4 Aplikácia vlastností aritmetickej odmocniny 30
S-11 Neúplné kvadratické rovnice 32
S-12 Vzorec pre korene kvadratickej rovnice 33
C-13 Riešenie úloh pomocou kvadratických rovníc. Vietov teorém 34
K-5 Kvadratické rovnice 36
S-14 Zlomkové racionálne rovnice 38
P-15 Aplikácia zlomkových racionálnych rovníc. Riešenie problémov 39
K-6 Zlomkové racionálne rovnice 40
C-16 Vlastnosti číselných nerovností 43
K-7 Numerické nerovnosti a ich vlastnosti 44
S-17 Lineárne nerovnosti s jednou premennou 47
S-18 Sústavy lineárnych nerovníc 48
K-8 Lineárne nerovnosti a sústavy nerovností s jednou premennou 50
C-19 stupňov so záporným ukazovateľom 52
K-9 stupňov s celkovým skóre 54
K-10 Ročný test 56
GEOMETRIA (podľa Pogorelova) 58
C-1 Vlastnosti a charakteristiky rovnobežníka.“ 58
C-2 Obdĺžnik. Rhombus. Štvorec 60
Rovnobežník K-1 62
C-3 Thalesova veta. Stredná čiara trojuholníka 63
S-4 Lichobežník. Stredová čiara lichobežníka 66
K-2 Lichobežník. Stredové čiary trojuholníka a lichobežníka....68
C-5 Pytagorova veta 70
Veta C-6, opakujte vetu Pytagoras. Kolmé a šikmé 71
C-7 Trojuholníková nerovnosť 73
K-3 Pytagorova veta 74
C-8 Riešenie pravouhlých trojuholníkov 76
C-9 Vlastnosti goniometrických funkcií 78
K-4 Pravý trojuholník (všeobecný test) 80
C-10 Súradnice stredu segmentu. Vzdialenosť medzi bodmi. Kruhová rovnica 82
S-11 Rovnica priamky 84
Kartézske súradnice K-5 86
S-12 Pohyb a jeho vlastnosti. Stredová a osová symetria. Dovŕšiť 88
S-13. Paralelný prenos 90
S-14 Koncept vektora. Rovnosť vektorov 92
C-15 Akcie s vektormi v súradnicovom tvare. Kolineárne vektory 94
S-16 Akcie s vektormi v geometrickom tvare 95
C-17 Bodový súčin 98
K-6 vektory 99
K-7 Ročný test 102
GEOMETRIA (podľa Atanasjana) 104
C-1 Vlastnosti a charakteristiky rovnobežníka 104
C-2 Obdĺžnik. Rhombus. Štvorec 106
K-1 štvoruholníky 108
C-3 Plocha obdĺžnika, štvorec 109
C-4 Plocha rovnobežníka, kosoštvorca, trojuholníka 111
S-5 Lichobežníková oblasť 113
C-6 Pytagorova veta 114
K-2 štvorce. Pytagorova veta 116
C-7 Určenie podobných trojuholníkov. Vlastnosť osi uhla trojuholníka 118
S-8 Znaky podobnosti trojuholníkov 120
K-3 Podobnosť trojuholníkov 122
C-9 Aplikácia podobnosti na riešenie problémov 124
C-10 Vzťahy medzi stranami a uhlami pravouhlého trojuholníka 126
K-4 Aplikácia podobnosti pri riešení problémov. Vzťahy medzi stranami a uhlami pravouhlého trojuholníka 128
C-11 Tangenta ku kružnici 130
C-12 Stredové a vpísané uhly 132
C-13 Veta o súčine úsekov pretínajúcich sa akordov. Pozoruhodné body trojuholníka 134
C-14 Vpísané a opísané kruhy 136
Kruh K-5 137
S-15 Sčítanie a odčítanie vektorov 139
C-16 Násobenie vektora číslom 141
S-17 Stredová čiara lichobežníka 142
K-6 vektory. Aplikácia vektorov na riešenie problémov 144
K-7 Ročný test 146
ODPOVEDE 148
LITERATÚRA 157
PREDSLOV
.
1. Jedna relatívne malá knižka obsahuje kompletný súbor testov (vrátane záverečných testov) pre celý kurz algebry a geometrie pre 8. ročník, čo stačí na zakúpenie jednej sady kníh na triedu.
Testy sú určené na vyučovaciu hodinu, samostatnú prácu - na 20-35 minút, v závislosti od témy. Pre uľahčenie používania knihy názov každej samostatnej a testovacej práce odráža jej tému.
2. Zbierka umožňuje diferencovanú kontrolu vedomostí, keďže úlohy sú rozdelené do troch úrovní zložitosti A, B a C. Úroveň A zodpovedá povinným požiadavkám programu, B - priemerná úroveň zložitosti, úlohy úrovne C sú určené pre študentov, ktorí prejavujú zvýšený záujem o matematiku, a tiež pre využitie v triedach, školách, gymnáziách a lýceách s prehĺbeným štúdiom matematiky. Pre každú úroveň sú k dispozícii 2 ekvivalentné možnosti umiestnené vedľa seba (ako sú zvyčajne napísané na tabuli), takže na lekciu stačí jedna kniha na lavici.
Stiahnite si e-knihu zadarmo vo vhodnom formáte, pozerajte a čítajte:
Stiahnite si knihu Samostatná a testovacia práca z algebry a geometrie pre 8. ročník. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, rýchle a bezplatné stiahnutie.
- Samostatná a testovacia práca na geometrii pre ročník 11. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
- Samostatná a testovacia práca z algebry a geometrie pre ročník 9. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
- Samostatná a testovacia práca v algebre a geometrii, ročník 8, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013
Znova som sa pozrel na znamenie... A poďme!
Začnime niečím jednoduchým:
Len minútu. toto, čo znamená, že to môžeme napísať takto:
Mám to? Tu je ďalší pre vás:
Nie sú korene výsledných čísel presne extrahované? Žiadny problém – tu je niekoľko príkladov:
Čo ak nie sú dvaja, ale viac násobiteľov? Rovnaký! Vzorec na násobenie koreňov funguje s ľubovoľným počtom faktorov:
Teraz úplne sami:
Odpovede: Výborne! Súhlasím, všetko je veľmi jednoduché, hlavnou vecou je poznať tabuľku násobenia!
Rozdelenie koreňov
Vytriedili sme násobenie koreňov, teraz prejdime k vlastnosti delenia.
Dovoľte mi pripomenúť, že všeobecný vzorec vyzerá takto:
Čo znamená, že koreň podielu sa rovná podielu koreňov.
Nuž, pozrime sa na niekoľko príkladov:
To je celá veda. Tu je príklad:
Všetko nie je také hladké ako v prvom príklade, ale ako vidíte, nie je nič zložité.
Čo ak narazíte na tento výraz:
Stačí použiť vzorec v opačnom smere:
A tu je príklad:
Môžete sa stretnúť aj s týmto výrazom:
Všetko je rovnaké, len si tu musíte pamätať, ako preložiť zlomky (ak si nepamätáte, pozrite sa na tému a vráťte sa!). Pamätáš si? Teraz sa poďme rozhodnúť!
Som si istý, že ste sa so všetkým vyrovnali, teraz sa pokúsme pozdvihnúť korene na stupne.
Umocňovanie
Čo sa stane, ak je druhá odmocnina druhá mocnina? Je to jednoduché, zapamätajte si význam druhej odmocniny čísla – ide o číslo, ktorého druhá odmocnina sa rovná.
Ak teda odmocníme číslo, ktorého druhá odmocnina je rovnaká, čo dostaneme?
No, samozrejme,!
Pozrime sa na príklady:
Je to jednoduché, však? Čo ak je koreň iného stupňa? Je to v poriadku!
Postupujte podľa rovnakej logiky a zapamätajte si vlastnosti a možné akcie so stupňami.
Prečítajte si teóriu na tému „“ a všetko vám bude veľmi jasné.
Napríklad tu je výraz:
V tomto príklade je stupeň párny, ale čo ak je nepárny? Opäť použite vlastnosti exponentov a všetko znásobte:
Zdá sa, že všetko je jasné, ale ako extrahovať odmocninu čísla na mocninu? Tu je napríklad toto:
Celkom jednoduché, však? Čo ak je stupeň väčší ako dva? Postupujeme podľa rovnakej logiky pomocou vlastností stupňov:
No, je všetko jasné? Potom vyriešte príklady sami:
A tu sú odpovede:
Zadanie pod znakom koreňa
Čo sme sa nenaučili robiť s koreňmi! Ostáva už len precvičiť si zadávanie čísla pod znakom koreňa!
Je to naozaj jednoduché!
Povedzme, že máme zapísané číslo
Čo s tým môžeme robiť? No, samozrejme, skryte tri pod odmocninou, pamätajte na to, že trojka je druhá odmocnina z!
Prečo to potrebujeme? Áno, len pre rozšírenie našich možností pri riešení príkladov:
Ako sa vám páči táto vlastnosť koreňov? Zjednodušuje to život? Pre mňa je to presne tak! Iba Musíme si uvedomiť, že pod znamienko druhej odmocniny môžeme zadať iba kladné čísla.
Vyriešte tento príklad sami -
Zvládli ste to? Pozrime sa, čo by ste mali dostať:
Výborne! Podarilo sa vám zadať číslo pod koreňovým znakom! Prejdime k niečomu rovnako dôležitému – pozrime sa, ako porovnávať čísla obsahujúce odmocninu!
Porovnanie koreňov
Prečo sa musíme naučiť porovnávať čísla, ktoré obsahujú druhú odmocninu?
Veľmi jednoduché. Často vo veľkých a dlhých výrazoch, s ktorými sa stretávame pri skúške, dostávame iracionálnu odpoveď (pamätáte si, čo to je? Už sme o tom dnes hovorili!)
Prijaté odpovede potrebujeme umiestniť na súradnicovú čiaru, aby sme napríklad určili, ktorý interval je vhodný na riešenie rovnice. A tu nastáva problém: na skúške nie je žiadna kalkulačka a ako si bez nej viete predstaviť, ktoré číslo je väčšie a ktoré menšie? To je všetko!
Určte napríklad, čo je väčšie: alebo?
Nedá sa to povedať hneď. Využime teda vlastnosť rozobratého zadania čísla pod znak koreňa?
Potom pokračujte:
Je zrejmé, že čím väčšie číslo pod znakom koreňa, tým väčší je samotný koreň!
Tie. Ak potom, .
Z toho pevne usudzujeme. A nikto nás nepresvedčí o opaku!
Extrahovanie koreňov z veľkého množstva
Predtým sme zadali násobiteľ pod znakom koreňa, ale ako ho odstrániť? Musíte to len započítať do faktorov a extrahovať to, čo extrahujete!
Bolo možné ísť inou cestou a rozšíriť sa o ďalšie faktory:
Nie je to zlé, však? Ktorýkoľvek z týchto prístupov je správny, rozhodnite sa, ako chcete.
Faktoring je veľmi užitočný pri riešení takýchto neštandardných problémov, ako je tento:
Nebojme sa, ale konajme! Rozložme každý faktor pod koreňom na samostatné faktory:
Teraz to skúste sami (bez kalkulačky! Nebude to na skúške):
Je toto koniec? Nezastavme sa na polceste!
To je všetko, nie je to také strašidelné, však?
Stalo? Výborne, je to tak!
Teraz skúste tento príklad:
Ale príklad je ťažký oriešok, takže nemôžete okamžite prísť na to, ako k nemu pristupovať. Ale, samozrejme, zvládneme to.
No, začnime faktoring? Okamžite si všimnime, že číslo môžete deliť (zapamätajte si znaky deliteľnosti):
Teraz to skúste sami (opäť bez kalkulačky!):
No podarilo sa? Výborne, je to tak!
Poďme si to zhrnúť
- Druhá odmocnina (aritmetická odmocnina) nezáporného čísla je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná.
. - Ak jednoducho vezmeme druhú odmocninu niečoho, vždy dostaneme jeden nezáporný výsledok.
- Vlastnosti aritmetického koreňa:
- Pri porovnávaní druhých odmocnín je potrebné pamätať na to, že čím väčšie číslo pod znamienkom odmocniny, tým väčší je samotný koreň.
Ako je to s druhou odmocninou? Všetko jasné?
Snažili sme sa vám bez okolkov vysvetliť všetko, čo potrebujete vedieť na skúške o druhej odmocnine.
Si na ťahu. Napíšte nám, či je pre vás táto téma náročná alebo nie.
Naučili ste sa niečo nové alebo už bolo všetko jasné?
Napíšte do komentárov a veľa šťastia pri skúškach!
V tomto článku sa pozrieme na to hlavné vlastnosti koreňov. Začnime s vlastnosťami aritmetickej druhej odmocniny, uveďte ich formulácie a poskytnite dôkazy. Potom sa budeme zaoberať vlastnosťami aritmetického koreňa n-tého stupňa.
Navigácia na stránke.
Vlastnosti druhej odmocniny
V tomto odseku sa budeme zaoberať nasledujúcimi základnými vlastnosti aritmetickej druhej odmocniny:
V každej zapísanej rovnosti je možné zameniť ľavú a pravú stranu, napríklad rovnosť možno prepísať ako 
. V tejto „obrátenej“ forme sa vlastnosti aritmetickej druhej odmocniny aplikujú, keď zjednodušujúce výrazy rovnako často ako v „priamej“ forme.
Dôkaz prvých dvoch vlastností je založený na definícii aritmetickej odmocniny a na . A aby ste ospravedlnili poslednú vlastnosť aritmetickej druhej odmocniny, budete si musieť pamätať.
Začnime teda s dôkaz aritmetickej vlastnosti druhej odmocniny súčinu dvoch nezáporných čísel: . Aby sme to dosiahli, podľa definície aritmetickej odmocniny stačí ukázať, že ide o nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná a·b. Poďme na to. Hodnota výrazu je nezáporná ako súčin nezáporných čísel. Vlastnosť mocniny súčinu dvoch čísel nám umožňuje zapísať rovnosť 
, a keďže podľa definície aritmickej druhej odmocniny a , potom .
Podobne je dokázané, že aritmetická druhá odmocnina súčinu k nezáporných faktorov a 1 , a 2 , ..., a k sa rovná súčinu aritmetických odmocnín týchto faktorov. Naozaj,. Z tejto rovnosti vyplýva, že .
Uveďme príklady: a.
Teraz dokážme vlastnosť aritmetickej druhej odmocniny kvocientu: . Vlastnosť kvocientu v prirodzený stupeň nám umožňuje zapísať rovnosť 
, A 
a je tam nezáporné číslo. Toto je dôkaz.
Napríklad a 
.
Je čas to vyriešiť vlastnosť aritmetickej druhej odmocniny druhej mocniny čísla, v tvare rovnosti sa píše ako . Aby ste to dokázali, zvážte dva prípady: pre a≥0 a pre a<0 .
Je zrejmé, že pre a≥0 platí rovnosť. Je tiež ľahké vidieť, že pre a<0
будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 a (-a)2=a2. teda 
, čo bolo potrebné dokázať.
Tu je niekoľko príkladov: 
A 
.
Práve preukázaná vlastnosť druhej odmocniny nám umožňuje zdôvodniť nasledujúci výsledok, kde a je ľubovoľné reálne číslo a m je ľubovoľné . Vlastnosť zvýšenia mocniny na mocninu nám v skutočnosti umožňuje nahradiť mocninu a 2 m výrazom (a m) 2, potom 
.
napr. 
A 
.
Vlastnosti n-tého koreňa
Po prvé, poďme uviesť hlavné vlastnosti n-tých koreňov:
Všetky písomné rovnosti zostávajú v platnosti, ak sa ich ľavá a pravá strana vymení. Často sa používajú aj v tejto podobe, hlavne pri zjednodušovaní a transformácii výrazov.
Dôkaz všetkých oznámených vlastností koreňa je založený na definícii aritmetického koreňa n-tého stupňa, na vlastnostiach stupňa a na definícii modulu čísla. Preukážeme ich v poradí podľa priority.
Začnime dôkazom vlastnosti n-tej odmocniny produktu . Pre nezáporné a a b je hodnota výrazu tiež nezáporná, podobne ako súčin nezáporných čísel. Vlastnosť produktu k prírodnej sile nám umožňuje zapísať rovnosť 
. Podľa definície aritmetického koreňa n-tého stupňa, a teda 
. To dokazuje vlastnosť uvažovaného koreňa.
Táto vlastnosť je dokázaná podobne pre súčin k faktorov: pre nezáporné čísla a 1, a 2, …, a n, 
A .
Tu sú príklady použitia vlastnosti n-tého koreňa produktu: 
A .
Poďme dokázať vlastnosť koreňa kvocientu. Keď a≥0 a b>0 je podmienka splnená a 
.
Ukážme si príklady: 
A 
.
Poďme ďalej. Poďme dokázať vlastnosť n-tej odmocniny čísla na n-tú mocninu. To znamená, že to dokážeme 
pre akékoľvek skutočné a a prirodzené m. Pre a≥0 máme a , čo dokazuje rovnosť , a rovnosť samozrejme. Keď<0
имеем и 
(posledný prechod je platný kvôli vlastnosti stupňa s párnym exponentom), ktorý dokazuje rovnosť , a je pravda, pretože keď hovoríme o koreňoch nepárneho stupňa, akceptovali sme 
pre akékoľvek nezáporné číslo c.
Tu sú príklady použitia analyzovanej koreňovej vlastnosti: a 
.
Prejdeme k dôkazu vlastnosti koreňa koreňa. Vymeňme pravú a ľavú stranu, čiže dokážeme platnosť rovnosti, ktorá bude znamenať platnosť pôvodnej rovnosti. Pre nezáporné číslo a je koreňom tvaru nezáporné číslo. Keď si pripomenieme vlastnosť zvyšovania stupňa k moci a pomocou definície koreňa, môžeme napísať reťazec rovnosti tvaru 
. To dokazuje vlastnosť koreňa uvažovaného koreňa.
Podobným spôsobom sa dokazuje vlastnosť koreňa koreňa koreňa atď. naozaj, 
.
Napríklad, 
A .
Dokážme nasledovné koreňová vlastnosť kontrakcie exponentu. Aby sme to dosiahli, na základe definície odmocniny stačí ukázať, že existuje nezáporné číslo, ktoré sa po umocnení n·m rovná m. Poďme na to. Je jasné, že ak je číslo a nezáporné, potom n-tá odmocnina čísla a je nezáporné číslo. V čom 
, čím sa dokazovanie dopĺňa.
Tu je príklad použitia analyzovanej koreňovej vlastnosti: .
Dokážme nasledujúcu vlastnosť – vlastnosť odmocniny stupňa tvaru 
. Je zrejmé, že keď a≥0, stupeň je nezáporné číslo. Navyše, jeho n-tá mocnina sa rovná a m, skutočne . To dokazuje vlastnosť posudzovaného stupňa.
Napríklad, 
.
Poďme ďalej. Dokážme, že pre všetky kladné čísla a a b, pre ktoré je splnená podmienka a , to znamená a≥b. A to je v rozpore s podmienkou a
Ako príklad uveďme správnu nerovnosť 
.
Nakoniec zostáva dokázať poslednú vlastnosť n-tej odmocniny. Najprv dokážme prvú časť tejto vlastnosti, to znamená, že dokážeme, že pre m>n a 0 Podobne je kontradikciou dokázané, že pre m>n a a>1 je podmienka splnená. Uveďme príklady aplikácie osvedčenej koreňovej vlastnosti v konkrétnych číslach. Napríklad nerovnosti a sú pravdivé.
, to znamená a n ≤ a m . A výsledná nerovnosť pre m>n a 0
Bibliografia.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 8. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre 10. - 11. ročník inštitúcií všeobecného vzdelávania.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl).
