Vlastnosti mocnín s prirodzenými číslami. Vlastnosti stupňov, formulácie, dôkazy, príklady. Základné vlastnosti mocnín s iracionálnymi exponentmi

Technologická mapa tréningu

7. ročník Hodina č.38

Téma: Stupeň s prirodzeným ukazovateľom

1. Zabezpečovať opakovanie, zovšeobecňovanie a systematizáciu vedomostí k téme, upevňovať a zdokonaľovať zručnosti jednoduchých transformácií výrazov obsahujúcich stupne s prirodzeným exponentom, vytvárať podmienky na sledovanie asimilácie vedomostí a zručností;

2. Podporovať formovanie zručností na uplatňovanie techník zovšeobecňovania, porovnávania, zdôrazňovania hlavnej veci, podporovať záujem o prenos vedomostí do novej situácie, rozvoj matematických horizontov, reči, pozornosti a pamäti, rozvoj vzdelávacej a kognitívnej činnosti;

3. Podporovať záujem o matematiku, aktivitu, organizáciu, rozvíjať schopnosti vzájomnej a sebakontroly svojich činností, vytvárať pozitívnu motiváciu k učeniu a kultúru komunikácie.

Základné pojmy lekcie

Stupeň, základ stupňa, exponent, vlastnosti stupňa, súčin stupňa, delenie stupňov, zvyšovanie stupňa na mocninu.

Plánovaný výsledok

Naučia sa pracovať s pojmom Stupeň, chápať význam zápisu čísla ako stupňa a vykonávať jednoduché transformácie výrazov obsahujúcich stupne s prirodzeným exponentom.

Budú mať možnosť naučiť sa vykonávať transformácie celočíselných výrazov obsahujúcich stupeň s prirodzeným exponentom

Predmetové zručnosti, UUD

Osobné UUD:

schopnosť sebahodnotenia na základe kritéria úspešnosti vo vzdelávacích aktivitách.

Kognitívne UUD:

schopnosť orientovať sa vo svojom systéme vedomostí a zručností: s pomocou učiteľa rozlíšiť nové veci od toho, čo je už známe; nájsť odpovede na otázky pomocou informácií získaných v triede.

Zovšeobecňovanie a systematizácia vzdelávacieho materiálu, pracujúceho so symbolickým zápisom stupňov, substitúcií, reprodukovaním z pamäte informácií potrebných na riešenie vzdelávacieho problému

Predmet UUD:

Použite mocninné vlastnosti na transformáciu výrazov obsahujúcich exponenty s prirodzenými exponentmi

Regulačné UUD:

Schopnosť určiť a sformulovať cieľ na vyučovacej hodine s pomocou učiteľa; hodnotiť svoju prácu v triede. Cvičte pri plnení úloh vzájomnú kontrolu a sebakontrolu

KomunikatívneUUD:
Byť schopný vyjadriť svoje myšlienky ústne a písomne, počúvať a rozumieť reči druhých

Metasubjektové spojenia

Fyzika, astronómia, medicína, každodenný život

Typ lekcie

Opakovanie, zovšeobecňovanie a aplikácia vedomostí a zručností.

Formy práce a metódy práce

Predná, parná miestnosť, individuálna. Výkladová - názorná, slovná, problémová situácia, workshop, vzájomné overovanie, kontrola

Podpora zdrojov

Súčasti učebných materiálov Makaryčeva Učebnica, projektor, plátno, počítač, prezentácia, úlohy pre žiakov, hárky sebahodnotenia

Technológie používané na školenia

Technológia sémantického čítania, problémové učenie, individuálny a diferencovaný prístup, IKT

Naladiť žiakov na prácu, mobilizovať pozornosť

Dobré popoludnie chlapci. Dobré popoludnie, milí kolegovia! Vítam všetkých na dnešnej otvorenej hodine. Chlapci, chcel by som vám zaželať, aby ste na hodine pracovali plodne, starostlivo zvážte odpovede na položené otázky, nájdite si čas, nevyrušujte, rešpektujte spolužiakov a ich odpovede. Tiež vám všetkým prajem, aby ste mali len dobré známky. Veľa šťastia!

Dostaňte sa do obchodného rytmu lekcie

Kontrolujú dostupnosť všetkého potrebného pre prácu na lekcii a úhľadnosť usporiadania predmetov. Schopnosť zorganizovať sa a pripraviť sa na prácu.

2.Aktualizácia základných vedomostí a zadanie témy vyučovacej hodiny

3. Ústna práca

Chlapci, každý z vás má na stole výsledkové listiny.Budú použité na hodnotenie vašej práce na hodine.Dnes v triede máte možnosť získať nie jednu, ale dve známky: za prácu v triede a za samostatnú prácu.
Vaše správne, úplné odpovede budú tiež ohodnotené „+“, ale v inom stĺpci dám aj túto známku.

Na obrazovke vidíte hádanky, v ktorých sú zašifrované kľúčové slová dnešnej lekcie. Vyriešte ich. (Snímka 1)

stupňa

opakovanie

zovšeobecňovanie

Chlapci, hádanky ste uhádli správne. Tieto slová sú: stupeň, opakovanie a zovšeobecnenie. Teraz pomocou uhádnutých slov - tipov sformulujte tému dnešnej lekcie.

Správny. Otvorte si zošity a zapíšte si číslo a tému lekcie „Opakovanie a zovšeobecnenie na tému „Vlastnosti diplomu s prirodzeným exponentom“ (Snímka 2)

Tému hodiny sme si určili, ale čo si myslíte, že budeme počas hodiny robiť, aké ciele si stanovíme? (Snímka 3)

Zopakovať a zovšeobecniť naše vedomosti o tejto téme, vyplniť existujúce medzery a pripraviť sa na štúdium ďalšej témy „Monomiály“.

Chlapci, vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom sa pomerne často používajú pri hľadaní hodnôt výrazov a pri transformácii výrazov. Rýchlosť výpočtov a transformácií spojených s vlastnosťami stupňa s prirodzeným exponentom je diktovaná zavedením Jednotnej štátnej skúšky.

Dnes si teda zopakujeme a zhrnieme vaše vedomosti a zručnosti na túto tému. Ústne musíte vyriešiť množstvo problémov a zapamätať si slovné zoskupenie vlastností a definície stupňa s prirodzeným exponentom.

Epigraf na lekciu slová veľkého ruského vedca M. V. Lomonosova „Nech sa niekto pokúsi vymazať tituly z matematiky a uvidí, že bez nich sa ďaleko nedostanete“

(Snímka 4)

Myslíte si, že vedec má pravdu?

Prečo potrebujeme tituly?

Kde sú široko používané? (vo fyzike, astronómii, medicíne)

Je to tak, teraz si zopakujme, čo je titul?

Ako sa volajú anv diplome?

Aké činnosti môžete robiť s titulmi? (Snímky 5 – 11)

Teraz si to zhrňme. Na stole máte hárky papiera s úlohami. .

1. Vľavo sú začiatky definícií, vpravo sú konce definícií. Spojte správne tvrdenia čiarami (Snímka 12)

Spojte zodpovedajúce časti definície čiarami.

a) Pri násobení mocnín s rovnakými základmi...

1) základ titulu

b) Pri delení mocnín s rovnakými základmi....

2) Exponent

c) Volá sa číslo a

3) súčin n faktorov, z ktorých každý sa rovná a.

d) Keď zvýšiš moc na moc...

4)… základ zostáva rovnaký, ale ukazovatele sa sčítavajú.

e) Voláme mocninu čísla a s prirodzeným exponentom n väčším ako 1

5)… základ zostáva rovnaký, ale ukazovatele sa znásobia.

e)číslonvolal

6) Podľa stupňa

a)Výraz a nvolal

7)…základ zostáva rovnaký, ale ukazovatele sa odpočítajú.

2. Teraz si vymeňte papiere so susedom, zhodnoťte jeho prácu a dajte mu známku. Zapíšte si toto hodnotenie do výsledkovej listiny.

Teraz skontrolujeme, či ste úlohu dokončili správne.

Riešia hádanky, definujú slová – indície.

Uskutočňujú sa pokusy stanoviť tému hodiny.

Zapíšte si dátum a tému lekcie do zošita.

Odpovedať na otázky

Pracujú vo dvojiciach. Prečítajú si úlohu a zapamätajú si.

Spojte časti definícií

Vymieňajú si zošity.

Vzájomne kontrolujú výsledky a dávajú známky svojmu kolegovi.

4. Telovýchovná minúta

Ruky zdvihnuté a potriasané -

toto sú stromy v lese,

Paže ohnuté, ruky potrasené -

Vietor trhá listy.

Zamávajme rukami do strán, hladko -

Vtáky takto lietajú na juh

Potichu im ukážeme, ako sedia -

Takto zložené ruky!

Vykonávajte akcie paralelne s učiteľom

5. Prenos získaných vedomostí, ich primárna aplikácia v nových alebo zmenených podmienkach, s cieľom rozvoja zručností.

1. Ponúkam Vám nasledujúcu prácu: na stoloch máte karty. Potrebujete splniť úlohy, t.j. napíšte odpoveď v tvare mocniny so základom c a dozviete sa meno a priezvisko veľkého francúzskeho matematika, ktorý zaviedol v súčasnosti všeobecne akceptované označenie mocnin.(Snímka 14)

S 8 : S 6

(S 4 ) 3 S

(S 4 ) 3

S 4 S 5 S 0

S 5 S 3 : S 6

S 16 : S 8

S 14 S 8

10.

(S 3 ) 5

Odpoveď: René Descartes.

Príbeh o biografii René Descartesa (Snímky 15 – 17)

Chlapci, teraz dokončíme ďalšiu úlohu.

2. O určiť, ktoré odpovede sú správne a ktoré nepravdivé. (Snímka 18 – 19)

Priraďte 1 pravdivej odpovedi a 0 falošnej odpovedi.

Po prijatí usporiadanej sady jednotiek a núl zistíte správnu odpoveď a určíte meno a priezvisko prvej ruskej ženy - matematičky.

A) X 2 X 3 =x 5

b)s 3 s 5 s 8 = s 16

V) X 7 : X 4 = x 28

G) (c+ d) 8 : ( c+ d) 7 = c+ d

d) (X 5 ) 6 = X 30

Vyberte si jej meno zo štyroch mien známych žien, z ktorých každé má zodpovedajúcu sadu jednotiek a núl:

Ada Augusta Lovelace – 11001

Sophie Germain - 10101

Ekaterina Dashkova - 11101

Sofia Kovalevskaya - 11011

Z biografie Sofie Kovalevskej (Snímka 20)

Splňte úlohu, určte priezvisko a meno francúzskeho matematika

Počúvajte a pozerajte sa na snímky

Zaznamenajú sa správne a nesprávne odpovede, zapíše sa výsledný kód, ktorý sa používa na určenie mena prvej ruskej ženy - matematičky.

6. Monitorovanie a hodnotenie vedomostí Samostatné plnenie úloh žiakmi pod dohľadom učiteľa.

Teraz musíte urobiť test. Pred vami sú karty s úlohami rôznych farieb. Farba zodpovedá stupňu obtiažnosti úlohy (pri „3“, pri „4“, pri „5“) Vyberte si sami úlohu, pre ktorú stupeň splníte a pustite sa do práce. (Snímka 21)

Na "3"

1. Vyjadrite produkt ako silu:

A) ; b) ;

V) ; G) .

2. Nasleduj tieto kroky:

( m 3 ) 7 ; ( k 4 ) 5 ; (2 2 ) 3; (3 2 ) 5 ; ( m 3 ) 2 ; ( a X ) r

Na "4"

1. Prezentujte produkt ako napájanie.

a) x 5 X 8 ; boo 2 pri 9 ; o 2 6 · 2 4 ; G)m 2 m 5 m 4 ;

d)X 6 ∙ X 3 ∙ X 7 ; e) (-7) 3 ∙ (–7) 2 ∙ (–7) 9 .

2. Prezentujte kvocient ako mocninu:

A)X 8 : X 4 ; b) (–0,5) 10 : (–0,5) 8 ;

c) x 5 : X 3 ; d) pri 10 : y 10 ; D 2 6 : 2 4 ; e) ;

na "5"

1. Postupujte podľa týchto krokov:

a) a 4 · A · A 3 a b) (7 X ) 2 c) str · R 2 · R 0

d) s · s 3 · s d) t · T 4 · ( T 2 ) 2 · T 0

e) (2 3 ) 7 : (2 5 ) 3 a) -X 3 · (– X ) 4

h) (R 2 ) 4 : R 5 a) (3 4 ) 2 · (3 2 ) 3 : 3 11

2. Zjednodušte:

A) X 3 ( X 2 ) 5 c) ( a 2 ) 3 · ( a 4 ) 2

b) ( a 3) 2 · a 5 g) ( X 2 ) 5 · ( X 5 )

Samostatná práca

Robiť úlohy v zošitoch

7. Zhrnutie lekcie

Zhrnutie informácií získaných počas lekcie.Kontrola práce, známkovanie. Identifikácia ťažkostí, ktoré sa vyskytli v lekcii

8. Reflexia

Čo sa stalo s pojmom titul vXVIIstoročia, vy a ja sa môžeme predpovedať. Ak to chcete urobiť, skúste odpovedať na otázku: možno číslo zvýšiť na zápornú mocninu alebo zlomok? Ale to je predmetom nášho budúceho štúdia.

Známky lekcie

Chlapci, chcem ukončiť našu lekciu nasledujúcim podobenstvom.

Podobenstvo. Išiel mudrc a stretli ho traja ľudia, ktorí pod horúcim slnkom niesli vozíky s kameňmi na stavbu. Mudrc sa zastavil a každému položil otázku. Spýtal sa prvého: "Čo si robil celý deň?" A on s úškrnom odpovedal, že celý deň nosil tie prekliate kamene. Mudrc sa opýtal druhého: "Čo si robil celý deň?" a on odpovedal: "A svoju prácu som robil svedomito." A tretí sa usmial a jeho tvár sa rozžiarila radosťou a potešením: "A zúčastnil som sa na stavbe chrámu!"

Chlapci, odpovedzte mi, čo ste dnes robili v triede? Stačí to urobiť na hárku sebahodnotenia. Zakrúžkujte vyhlásenie v každom stĺpci, ktoré sa vás týka.

V sebahodnotiacom hárku musíte podčiarknuť frázy, ktoré charakterizujú prácu študenta na hodine v troch oblastiach.

Naša lekcia sa skončila. Ďakujem všetkým za prácu v triede!

Odpovedať na otázky

Vyhodnoťte ich prácu v triede.

Označte na karte frázy, ktoré charakterizujú ich prácu na hodine.

algebra 7. trieda

učiteľ matematiky

pobočka MBOUTSOSH č.1

v obci Poletaevo Zueva I.P.

Poletaevo 2016

Predmet: « Vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom»

CIEĽ

Zopakovanie, zovšeobecnenie a systematizácia preberanej látky na tému „Vlastnosti titulu s prirodzeným exponentom“.
Testovanie vedomostí žiakov na túto tému.
Aplikácia získaných vedomostí pri plnení rôznych úloh.

ÚLOHY

predmet :

zopakovať, zhrnúť a systematizovať poznatky k danej téme; vytvárať podmienky na kontrolu (vzájomnú kontrolu) asimilácie vedomostí a zručností;pokračovať v budovaní motivácie študentov k štúdiu predmetu;

meta-predmet:

rozvíjať operačný štýl myslenia; podporovať získavanie komunikačných zručností študentov pri spoločnej práci; aktivovať ich tvorivé myslenie; Ppokračovať v rozvíjaní určitých kompetencií žiakov, ktoré prispejú k ich efektívnej socializácii;sebavzdelávanie a sebavzdelávacie zručnosti.

osobné:

kultivovať kultúru, podporovať formovanie osobných vlastností zameraných na priateľský, tolerantný postoj k sebe, ľuďom, životu; pestovať iniciatívu a samostatnosť v činnostiach; viesť k pochopeniu potreby študovanej témy pre úspešnú prípravu na štátnu záverečnú certifikáciu.

TYP LEKCIE

lekcia zovšeobecňovania a systematizácie ZUN.

Vybavenie: počítač, projektor,premietacie plátno,tabuľka, písomky.

softvér: OS Windows 7: MS Office 2007 (povinná žiadosť - Power Point).

Prípravná fáza:

prezentácia „Vlastnosti titulu s prirodzeným exponentom“;

Pracovný list;

výsledkový list.

Štruktúra

Organizovanie času. Stanovenie cieľov a cieľov lekcie - 3 minúty.

Aktualizácia, systematizácia základných vedomostí - 8 minút.

Praktická časť – 28 minút.

Zovšeobecnenie, výstup -3 minúty.

Domáca úloha - 1 minúta.

Odraz - 2 minúty.

Nápad na lekciu

Preverenie vedomostí žiakov na túto tému zaujímavou a efektívnou formou.

Organizácia lekcie Vyučovacia hodina sa vyučuje v 7. ročníku. Deti pracujú vo dvojiciach, samostatne, učiteľ pôsobí ako konzultant-pozorovateľ.

Počas vyučovania

Čas na organizáciu:

Ahojte chalani! Dnes tu máme nezvyčajnú lekciu hry. Každý z vás má skvelú príležitosť dokázať sa a ukázať svoje znalosti. Možno počas lekcie objavíte skryté schopnosti, ktoré sa vám budú v budúcnosti hodiť.

Každý z vás má na stole hárok so známkami a karty na plnenie úloh na nich. Vezmite si skúšobný hárok do rúk, potrebujete ho, aby ste si počas hodiny sami vyhodnotili svoje vedomosti. Podpíš to.

Takže vás pozývam na lekciu!

Chlapci, pozrite sa na obrazovku a počúvajte báseň.

Snímka č.1

Vynásobte a rozdeľte

Zvýšiť stupeň na stupeň...

Tieto vlastnosti sú nám známe

A už nie sú nové.

Päť jednoduchých pravidiel

Všetci v triede už odpovedali

Ale ak ste zabudli na vlastnosti,

Zvážte, že ste nevyriešili príklad!

A žiť bez problémov v škole

Dám vám pár praktických rád:

Nechcete zabudnúť na pravidlo?

Len si to skúste zapamätať!

Odpovedať na otázku:

1) Aké akcie sa spomínajú?

2) O čom si myslíš, že sa dnes budeme baviť v triede?

Takže téma našej lekcie:

"Vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom" (Snímka 3).

Stanovenie cieľov a cieľov lekcie

V lekcii zopakujeme, zovšeobecníme a systematizujeme materiál preštudovaný na tému „Vlastnosti titulu s prirodzeným exponentom“

Pozrime sa, ako ste sa naučili násobiť a deliť právomoci s rovnakými základmi, ako aj zvyšovať právomoci na mocniny

Aktualizácia základných vedomostí. Systematizácia teoretického materiálu.

1) Ústna práca

Pracujme ústne

1) Formulujte vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom.

2) Doplňte prázdne miesta: (Snímka 4)

1)5 12 : 5 5 =5 7 2) 5 7 ∙ 5 17 = 5 24 3) 5 24 : 125= 5 21 4)(5 0 ) 2 ∙5 24 =5 24

5)5 12 ∙ 5 12 = (5 8 ) 3 6)(3 12 ) 2 = 3 24 7) 13 0 ∙ 13 64 = 13 64

3) Akú hodnotu má výraz:(Snímka 5-9)

a m ∙ a n; (am+n) am: an(am-n); (a m) n; a 1; a 0.

2) Kontrola teoretickej časti (Karta č. 1)

Teraz vezmite do rúk kartu číslo 1 avyplň prázdne miesta

1) Ak je exponentom párne číslo, potom hodnota stupňa je vždy _______________

2) Ak je exponent nepárne číslo, potom sa hodnota stupňa zhoduje so znamienkom ____.

3) Súčin síl a n · a k = a n + k
Pri násobení mocnín s rovnakými základmi musí základ ____________ a exponenty ________.

4) Čiastočné stupne a n : a k = a n - k
Pri delení mocnín s rovnakými základmi musí byť základ _____ a od exponentu dividendy _____________________________.

5) Zvýšenie sily na moc ( a n ) k = a nk
Pri zvýšení mocniny na mocninu musí byť základ _______ a exponenty sú _____.

Kontrola odpovedí. (Snímky 10-13)

Hlavná časť

3) Teraz otvorte zošity, zapíšte si číslo 28.01.14, skvelá práca

Hra "klapka" » (Snímka 14)

Úlohy v zošitoch plňte sami

Postupujte podľa týchto krokov: a)X11 ∙x∙x2 b)X14 : X5 c) (a4 ) 3 d) (-Pre)2 .

Porovnajte hodnotu výrazu s nulou: a)(- 5)7 , b) (-6)18 ,

o 4)11 . ( -4) 8 G)(- 5) 18 ∙ (- 5) 6 , d)-(- 4)8 .

Vypočítajte hodnotu výrazu:

a)-1∙ 3 2, b)(-1 ∙ 3) 2 c)1∙(-3) 2, d) - (2 ∙ 3) 2, e)1 2 ∙ (-3) 2

Skontrolujeme, ak nie je odpoveď správna, raz zatlieskame.

Vypočítajte počet bodov a zapíšte ich do výsledkovej listiny.

4) Teraz urobme nejaké očné cvičenia, uvoľníme napätie a ideme ďalej. Pozorne sledujeme pohyb predmetov

Začať! (Snímka 15, 16, 17, 18).

5) Teraz prejdime k ďalšiemu typu práce. (Karta 2)

Odpoveď napíšte ako mocninu so základom S a spoznáte meno a priezvisko veľkého francúzskeho matematika, ktorý ako prvý zaviedol pojem mocniny čísla.

Uhádnite meno vedca matematika.

1.	S 5 ∙C 3	6.	S 7 : S 5
2.	S 8 : S 6	7.	(S 4 ) 3 ∙C
3,	(S 4 ) 3	8.	S 4 ∙ S 5 ∙ C 0
4.	S 5 ∙C 3 : S 6	9.	S 16 : S 8
5.	S 14 ∙ C 8	10.	(S 3 ) 5

O odpoveď: RENEE XSTES

S 8

S 5

S 1

S 40

S 13

S 12

S 9

S 15

S 2

S 22

Teraz si vypočujme odkaz študenta o „René Descartes“

René Descartes sa narodil 21. marca 1596 v malom mestečku La Gaye v Touraine. Descartesovci patrili k nízkej byrokratickej šľachte. Rene prežil svoje detstvo v Touraine. V roku 1612 Descartes ukončil školu. Strávil tam osem a pol roka. Descartes nenašiel okamžite svoje miesto v živote. Rodený šľachtic, ktorý vyštudoval vysokú školu v La Flèche, sa bezhlavo vrhá do spoločenského života v Paríži, potom všetko zanechá, aby sa mohol venovať vede. Descartes dal matematike osobitné miesto vo svojom systéme, jej princípy ustanovovania pravdy považoval za vzor pre iné vedy. Značnou Descartovou zásluhou bolo zavedenie pohodlných zápisov, ktoré sa zachovali dodnes: latinské písmená x, y, z pre neznáme; a, b, c - pre koeficienty, pre stupne. Descartove záujmy sa neobmedzujú len na matematiku, ale zahŕňajú mechaniku, optiku a biológiu. V roku 1649 sa Descartes po dlhom váhaní presťahoval do Švédska. Toto rozhodnutie sa mu stalo zdravotne osudným. O šesť mesiacov neskôr Descartes zomrel na zápal pľúc.

6) Práca v rade:

1. Vyriešte rovnicu

A) x 4 ∙ (x 5) 2 / x 20: x 8 = 49

B) (t7∙t17): (t0∙t21)= -125

2.Vypočítajte hodnotu výrazu:

(5-x) 2 -2x 3 +3x 2 -4x+x-x 0

a) pri x=-1

b) pri x=2 nezávisle

7) Zoberte kartu č. 3 a urobte test

Možnosť 1

Možnosť 2.

1. Vykonajte 2 rozdelenie výkonu 17 : 2 5

2 12

2 45

2. Napíšte to ako mocninu (x+y)(x+y)=

x 2 + y 2

(x+y) 2

2(x+y)

3. Vymeňte * stupňa tak, že rovnosť a 5 · * = 15

a 3

(a 7) 5?

a) a 12

b) a 5

c) a 35

3 = 8 15

8 12

6. Nájdite hodnotu zlomku

1. Vykonajte rozdelenie právomocí 9 9 : 9 7

9 16

9 63

2. Napíšte to ako mocninu (x-y)(x-y)=…

x 2 - y 2

(x-y) 2

2 (x-y)

3. Vymeňte * stupňa tak, aby platila rovnosť b 9 · * = b 18

b 17

b 1 1

4. Akú hodnotu má výraz(so 6) 4?

a) od 10

b) od 6

c) od 24

5. Z navrhovaných možností vyberte tú, ktorá môže nahradiť * v rovnosti (*) 3 = 5 24

5 21

6. Nájdite hodnotu zlomku

Skontrolujte si navzájom svoju prácu a ohodnoťte svojich spolubojovníkov na známkovom hárku.


1 možnosť	A	b	b	s	b	3
Možnosť 2	A	b	s	s	A	4

Doplnkové úlohy pre silných študentov

Každá úloha sa hodnotí samostatne.

Nájdite význam výrazu:

8) Teraz sa pozrime na efektivitu našej lekcie ( Snímka 19)

Ak to chcete urobiť, pri plnení úlohy prečiarknite písmená zodpovedajúce odpovediam.

AOWSTLKRICHGNMO

Zjednodušte výraz:

1.	С 4 ∙С 3	5.	(S 2 ) 3 ∙ S 5
2.	(C5) 3	6.	S 6 ∙ S 5 : S 10
3.	Od 11: Od 6	7.	(S 4 ) 3 ∙C 2
4.	С 5 ∙С 5 : С

Šifra: A - C 7 IN- Od 15 G - S A - Od 30 TO - Od 9 M - Od 14 N - Od 13 O - Od 12 R - Od 11 S - C 5 T - Od 8 H - C 3

Aké slovo si vymyslel? ODPOVEĎ: VÝBORNE! (Snímka 20)

Zhrnutie, hodnotenie, známkovanie (Snímka 21)

Zhrňme si našu lekciu, ako úspešne sme zopakovali, zovšeobecnili a systematizovali poznatky na tému „Vlastnosti titulu s prirodzeným exponentom“

Zoberieme testovacie hárky a vypočítame celkový počet bodov a zapíšeme ich do záverečnej známky

Stand up, ktorý dosiahol 29-32 bodov: výborný

25-28 bodov: hodnotenie - dobré

20-24 bodov: hodnotenie - uspokojivé

Ešte raz skontrolujem správnosť plnenia úloh na kartičkách a porovnám vaše výsledky s bodmi uvedenými na výsledkovej listine. Známky dám do denníka

A pre aktívnu prácu v hodnotiacej lekcii:

Chlapci, poprosím vás, aby ste zhodnotili svoje aktivity na hodine. Označte na hárku nálady.

Záznamový hárok
Priezvisko meno		stupeň
1.Teoretická časť
2. Hra "Clapperboard"
3. Test
4. "Šifra"
Dodatočná časť



Konečná známka:
Emocionálne hodnotenie	O mne	O lekcii
Spokojný
Nespokojný

Domáca úloha (Snímka 22)

Vytvorte krížovku s kľúčové slovo STUPEŇ V ďalšej lekcii sa pozrieme na najzaujímavejšie diela.

№ 567

Zoznam použitých zdrojov

Učebnica "Algebra 7. ročník."
Báseň. http://yandex.ru/yandsearch
NIE. Ščurková. Kultúra modernej lekcie. M.: Ruská pedagogická agentúra, 1997.
A.V. Petrov. Metodické a metodologické základy osobný rozvoj počítačové vzdelávanie. Volgograd. "Zmena", 2001.
A.S. Belkin. Situácia úspechu. Ako ho vytvoriť. M.: „Osvietenie“, 1991.
Informatika a vzdelávanie č.3. Operačný štýl myslenia, 2003

Už sme hovorili o tom, čo je mocnina čísla. Má určité vlastnosti, ktoré sú užitočné pri riešení problémov: v tomto článku ich a všetky možné exponenty analyzujeme. Na príkladoch si tiež názorne ukážeme, ako sa dajú dokázať a správne aplikovať v praxi.

Pripomeňme si skôr formulovaný pojem stupňa s prirodzeným exponentom: ide o súčin n-tého počtu faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Budeme si tiež musieť zapamätať, ako správne násobiť reálne čísla. To všetko nám pomôže sformulovať nasledujúce vlastnosti pre stupeň s prirodzeným exponentom:

Definícia 1

1. Hlavná vlastnosť stupňa: a m · a n = a m + n

Možno zovšeobecniť na: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Vlastnosť kvocientu pre stupne s rovnakými základmi: a m: a n = a m − n

3. Vlastnosť stupňa produktu: (a · b) n = a n · b n

Rovnosť možno rozšíriť na: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Vlastnosť kvocientu k prirodzenému stupňu: (a: b) n = a n: b n

5. Zvýšte výkon na mocninu: (a m) n = a m n ,

Možno zovšeobecniť na: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Porovnajte stupeň s nulou:

ak a > 0, potom pre ľubovoľné prirodzené číslo n bude a n väčšie ako nula;
s rovným 0 sa a n bude tiež rovnať nule;
v a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
v a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Rovnosť a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Nerovnosť a m > a n bude pravdivá za predpokladu, že m a n sú prirodzené čísla, m je väčšie ako n a a je väčšie ako nula a nie menšie ako jedna.

V dôsledku toho sme dostali niekoľko rovností; ak sú splnené všetky vyššie uvedené podmienky, budú totožné. Pre každú z rovnosti, napríklad pre hlavnú vlastnosť, môžete zameniť pravú a ľavú stranu: a m · a n = a m + n - to isté ako a m + n = a m · a n. V tejto forme sa často používa na zjednodušenie výrazov.

1. Začnime základnou vlastnosťou stupňa: rovnosť a m · a n = a m + n bude platiť pre akékoľvek prirodzené m a n a skutočné a. Ako toto tvrdenie dokázať?

Základná definícia mocnín s prirodzenými exponentmi nám umožní transformovať rovnosť na súčin faktorov. Dostaneme takýto záznam:

Toto sa dá skrátiť na (zapamätajte si základné vlastnosti násobenia). Vo výsledku sme dostali mocninu čísla a s prirodzeným exponentom m + n. Teda a m + n, čo znamená, že hlavná vlastnosť stupňa bola dokázaná.

Poďme to vyriešiť konkrétny príklad, čo potvrdzuje.

Príklad 1

Takže máme dve mocniny so základom 2. Ich prirodzené ukazovatele sú 2 a 3. Máme rovnosť: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Vypočítajme hodnoty, aby sme skontrolovali platnosť tejto rovnosti.

Vykonajte potrebné matematické operácie: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 a 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Výsledkom je: 2 2 · 2 3 = 2 5. Nehnuteľnosť bola preukázaná.

Vďaka vlastnostiam násobenia môžeme vlastnosť zovšeobecniť tak, že ju sformulujeme vo forme troch alebo viacerých mocnín, v ktorých sú exponenty prirodzené čísla a základy sú rovnaké. Ak počet prirodzených čísel n 1, n 2 atď. označíme písmenom k, dostaneme správnu rovnosť:

a n 1 · a n 2 · ... · a n k = a n 1 + n 2 + ... + n k .

Príklad 2

2. Ďalej musíme dokázať nasledujúcu vlastnosť, ktorá sa nazýva kvocientová vlastnosť a je vlastná mocninám s rovnakými základmi: toto je rovnosť a m: a n = a m − n, ktorá platí pre ľubovoľné prirodzené ma n (a m je väčšie ako n)) a akékoľvek nenulové skutočné a .

Na začiatok si ujasnime, čo presne znamenajú podmienky, ktoré sú uvedené vo formulácii. Ak vezmeme a rovná sa nule, skončíme delením nulou, čo nemôžeme urobiť (napokon, 0 n = 0). Podmienka, že číslo m musí byť väčšie ako n, je nevyhnutná, aby sme zostali v medziach prirodzených exponentov: odčítaním n od m dostaneme prirodzené číslo. Ak podmienka nie je splnená, skončíme so záporným číslom alebo nulou a opäť pôjdeme nad rámec štúdia stupňov s prirodzenými exponentmi.

Teraz môžeme prejsť k dôkazu. Z toho, čo sme predtým študovali, si pripomeňme základné vlastnosti zlomkov a formulujme rovnosť takto:

a m − n · a n = a (m − n) + n = a m

Z toho môžeme odvodiť: a m − n · a n = a m

Pripomeňme si súvislosť medzi delením a násobením. Z neho vyplýva, že a m − n je podiel mocnín a m a a n . Toto je dôkaz druhej vlastnosti stupňa.

Príklad 3

Pre prehľadnosť dosaďte do exponentov konkrétne čísla a označme základ stupňa ako π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Ďalej budeme analyzovať vlastnosť mocniny súčinu: (a · b) n = a n · b n pre ľubovoľné reálne a a b a prirodzené n.

Podľa základnej definície mocniny s prirodzeným exponentom môžeme rovnosť preformulovať takto:

Pripomínajúc si vlastnosti násobenia, píšeme: . To znamená to isté ako a n · b n .

Príklad 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Ak máme tri a viac faktorov, tak táto vlastnosť platí aj pre tento prípad. Zavedme označenie k pre počet faktorov a napíšme:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · ... · a k n

Príklad 5

S konkrétnymi číslami dostaneme nasledujúcu správnu rovnosť: (2 · (- 2 , 3) · a) 7 = 2 7 · (- 2, 3) 7 · a

4. Potom sa pokúsime dokázať vlastnosť kvocientu: (a: b) n = a n: b n pre ľubovoľné reálne a a b, ak b sa nerovná 0 a n je prirodzené číslo.

Aby ste to dokázali, môžete použiť predchádzajúcu vlastnosť stupňov. Ak (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n , a (a: b) n · b n = a n , potom z toho vyplýva, že (a: b) n je podiel delenia a n podľa b n.

Príklad 6

Vypočítajme príklad: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0, 5) 3

Príklad 7

Začnime hneď príkladom: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Teraz sformulujme reťazec rovnosti, ktorý nám dokáže, že rovnosť je správna:

Ak máme v príklade stupne stupňov, potom táto vlastnosť platí aj pre nich. Ak máme nejaké prirodzené čísla p, q, r, s, potom to bude pravda:

a p q y s = a p q y s

Príklad 8

Pridajme niektoré špecifiká: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Ďalšou vlastnosťou mocnín s prirodzeným exponentom, ktorú potrebujeme dokázať, je vlastnosť porovnávania.

Najprv porovnajme stupeň s nulou. Prečo je a n > 0 za predpokladu, že a je väčšie ako 0?

Ak vynásobíme jedno kladné číslo druhým, dostaneme aj kladné číslo. Keď poznáme túto skutočnosť, môžeme povedať, že nezávisí od počtu faktorov - výsledkom vynásobenia ľubovoľného počtu kladných čísel je kladné číslo. Aký je stupeň, ak nie výsledok násobenia čísel? Potom to bude platiť pre akúkoľvek mocninu a n s kladným základom a prirodzeným exponentom.

Príklad 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 a 34 9 13 51 > 0

Je tiež zrejmé, že mocnina so základom rovným nule je sama osebe nula. Bez ohľadu na to, na akú silu zvýšime nulu, zostane nula.

Príklad 10

03 = 0 a 0,62 = 0

Ak je základom stupňa záporné číslo, potom je dôkaz o niečo komplikovanejší, pretože pojem párny/nepárny exponent sa stáva dôležitým. Zoberme si najprv prípad, keď je exponent párny, a označme ho 2 · m, kde m je prirodzené číslo.

Pripomeňme si, ako správne vynásobiť záporné čísla: súčin a · a sa rovná súčinu modulov, a preto to bude kladné číslo. Potom a stupeň a 2 m sú tiež pozitívne.

Príklad 11

Napríklad (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 a - 2 9 6 > 0

Čo ak je exponent so záporným základom nepárne číslo? Označme to 2 · m − 1 .

Potom

Všetky súčiny a · a sú podľa vlastností násobenia kladné a ich súčin tiež. Ak ho však vynásobíme jediným zostávajúcim číslom a, konečný výsledok bude záporný.

Potom dostaneme: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Ako to dokázať?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Príklad 12

Napríklad sú pravdivé nasledujúce nerovnosti: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Musíme len dokázať poslednú vlastnosť: ak máme dve mocniny, ktorých základy sú rovnaké a kladné a ktorých exponenty sú prirodzené čísla, potom tá, ktorej exponent je menší, je väčšia; a z dvoch mocnín s prirodzenými exponentmi a rovnakými základňami väčšími ako jedna je tá, ktorej exponent je väčší, väčšia.

Dokážme tieto tvrdenia.

Najprv sa musíme uistiť, že m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Zo zátvoriek vyberme a n, po ktorom bude náš rozdiel mať tvar a n · (a m − n − 1) . Jeho výsledok bude záporný (pretože výsledok vynásobenia kladného čísla záporným číslom je záporný). Koniec koncov, podľa počiatočných podmienok m − n > 0 je a m − n − 1 záporné a prvý faktor je kladný, ako každá prírodná mocnosť s kladnou bázou.

Ukázalo sa, že a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Zostáva dokázať druhú časť vyššie formulovaného tvrdenia: a m > a platí pre m > n a a > 1. Označme rozdiel a zo zátvoriek dáme a n: (a m − n − 1) Mocnina a n pre väčšie ako jedna dáva kladný výsledok; a samotný rozdiel sa tiež ukáže ako kladný v dôsledku počiatočných podmienok a pre a > 1 je stupeň a m − n väčší ako jedna. Ukazuje sa, že a m − a n > 0 a a m > a n , čo sme potrebovali dokázať.

Príklad 13

Príklad s konkrétnymi číslami: 3 7 > 3 2

Základné vlastnosti stupňov s celočíselnými exponentmi

Pre mocniny s kladnými celočíselnými exponentmi budú vlastnosti podobné, pretože kladné celé čísla sú prirodzené čísla, čo znamená, že všetky vyššie dokázané rovnosti platia aj pre ne. Sú vhodné aj pre prípady, keď sú exponenty záporné alebo rovné nule (za predpokladu, že samotný základ stupňa je nenulový).

Vlastnosti mocnin sú teda rovnaké pre všetky bázy a a b (za predpokladu, že tieto čísla sú reálne a nerovnajú sa 0) a pre všetky exponenty m a n (za predpokladu, že ide o celé čísla). Napíšme ich stručne vo forme vzorcov:

Definícia 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m n

6. a nb − n je predmetom kladného celého čísla n, kladné aab, a< b

7:00< a n , при условии целых m и n , m >n a 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Ak je základ stupňa nula, potom položky a m a a n majú zmysel iba v prípade prirodzeného a kladného m a n. Výsledkom je, že vyššie uvedené formulácie sú vhodné aj pre prípady s mocnosťou s nulovým základom, ak sú splnené všetky ostatné podmienky.

Dôkaz o týchto vlastnostiach v v tomto prípade nie zložité. Budeme si musieť zapamätať, čo je stupeň s prirodzeným a celočíselným exponentom, ako aj vlastnosti operácií s reálnymi číslami.

Pozrime sa na vlastnosť power-to-power a dokážme, že platí pre kladné aj záporné celé čísla. Začnime dôkazom rovnosti (a p) q = a p · q, (a − p) q = a (− p) · q, (a p) − q = a p · (− q) a (a − p) − q = a (− p) · (− q)

Podmienky: p = 0 alebo prirodzené číslo; q – podobné.

Ak sú hodnoty p a q väčšie ako 0, potom dostaneme (a p) q = a p · q. Podobnú rovnosť sme už dokázali. Ak p = 0, potom:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Preto (a 0) q = a 0 q

Pre q = 0 je všetko úplne rovnaké:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Výsledok: (a p) 0 = a p · 0 .

Ak sú oba ukazovatele nula, potom (a 0) 0 = 1 0 = 1 a a 0 · 0 = a 0 = 1, čo znamená (a 0) 0 = a 0 · 0.

Pripomeňme si vlastnosť kvocientov do vyššie dokázanej miery a napíšme:

1 a p q = 1 q a p q

Ak 1 p = 1 1 … 1 = 1 a a p q = a p q, potom 1 q a p q = 1 a p q

Tento zápis môžeme transformovať na základe základných pravidiel násobenia na a (− p) · q.

Tiež: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

A (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Zostávajúce vlastnosti stupňa sa dajú dokázať podobným spôsobom transformáciou existujúcich nerovností. Nebudeme sa tým podrobne zaoberať, poukážeme len na zložité body.

Dôkaz predposlednej vlastnosti: pripomeňte si, že a − n > b − n platí pre všetky záporné celočíselné hodnoty n a akékoľvek kladné hodnoty a a b, za predpokladu, že a je menšie ako b.

Potom možno nerovnosť transformovať takto:

1 a n > 1 b n

Napíšme pravú a ľavú stranu ako rozdiel a vykonajte potrebné transformácie:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Pripomeňme, že v podmienke a je menšie ako b, potom podľa definície stupňa s prirodzeným exponentom: - a n 0 .

a n · b n je nakoniec kladné číslo, pretože jeho faktory sú kladné. Výsledkom je zlomok b n - a n a n · b n, ktorý v konečnom dôsledku tiež dáva pozitívny výsledok. Preto 1 a n > 1 b n, odkiaľ a − n > b − n , čo sme potrebovali dokázať.

Posledná vlastnosť mocnin s celočíselnými exponentmi sa dokazuje podobne ako vlastnosť mocnin s prirodzenými exponentmi.

Základné vlastnosti mocnín s racionálnymi exponentmi

V predchádzajúcich článkoch sme sa pozreli na to, čo je to stupeň s racionálnym (zlomkovým) exponentom. Ich vlastnosti sú rovnaké ako u stupňov s celočíselnými exponentmi. Zapíšme si:

Definícia 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 pre a > 0, a ak m 1 n 1 > 0 a m 2 n 2 > 0, potom pre a ≥ 0 (vlastnosť produktu stupňa s rovnakými základmi).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, ak a > 0 (vlastnosť kvocientu).

3. a · b m n = a m n · b m n pre a > 0 a b > 0, a ak m 1 n 1 > 0 a m 2 n 2 > 0, potom pre a ≥ 0 a (alebo) b ≥ 0 (vlastnosť produktu v zlomkový stupeň).

4. a: b m n = a m n: b m n pre a > 0 a b > 0, a ak m n > 0, potom pre a ≥ 0 a b > 0 (vlastnosť kvocientu k zlomkovej mocnine).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 pre a > 0, a ak m 1 n 1 > 0 a m 2 n 2 > 0, potom pre a ≥ 0 (vlastnosť stupňa v stupňoch).

6.a str0; ak p< 0 - a p >b p (vlastnosť porovnávania mocnín s rovnakými racionálnymi exponentmi).

7.a str< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q pri 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Aby sme dokázali tieto ustanovenia, musíme si zapamätať, čo je stupeň so zlomkovým exponentom, aké sú vlastnosti aritmetického koreňa n-tého stupňa a aké sú vlastnosti stupňa s celočíselnými exponentmi. Pozrime sa na každú nehnuteľnosť.

Podľa toho, aký je stupeň so zlomkovým exponentom, dostaneme:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 a a m 2 n 2 = a m 2 n 2, teda a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Vlastnosti koreňa nám umožnia odvodiť rovnosti:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Z toho dostaneme: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Poďme sa transformovať:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Exponent môže byť napísaný ako:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Toto je dôkaz. Druhá vlastnosť sa dokazuje úplne rovnakým spôsobom. Napíšme reťazec rovnosti:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 - m 2 n 2

Dôkazy o zostávajúcej rovnosti:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n; (a: b) mn = (a: b) mn = am: bmn = = amn: bmn = amn: bmn; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = m = a m 1 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Ďalšia vlastnosť: dokážme, že pre všetky hodnoty a a b väčšie ako 0, ak a je menšie ako b, bude splnené a pb p

Reprezentujme racionálne číslo p ako m n. V tomto prípade m je celé číslo, n je prirodzené číslo. Potom podmienky p< 0 и p >0 sa rozšíri na m< 0 и m >0 Pre m > 0 a a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Využívame vlastnosť koreňov a výstup: a m n< b m n

Berúc do úvahy kladné hodnoty a a b, prepíšeme nerovnosť ako a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Rovnakým spôsobom pre m< 0 имеем a a m >b m , dostaneme a m n > b m n , čo znamená a m n > b m n a a p > b p .

Zostáva nám predložiť doklad o poslednej nehnuteľnosti. Dokážme, že pre racionálne čísla p a q platí p > q pri 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 bude pravdivé a p > a q .

Racionálne čísla p a q možno zredukovať na spoločného menovateľa a získať zlomky m 1 n a m 2 n

Tu m 1 a m 2 sú celé čísla a n je prirodzené číslo. Ak p > q, potom m 1 > m 2 (berúc do úvahy pravidlo pre porovnávanie zlomkov). Potom o 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – nerovnosť a 1 m > a 2 m.

Môžu byť prepísané takto:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Potom môžete vykonávať transformácie a skončiť s:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Aby sme to zhrnuli: pre p > q a 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Základné vlastnosti mocnín s iracionálnymi exponentmi

Do takej miery je možné rozšíriť všetky vlastnosti opísané vyššie, ktoré má stupeň s racionálnymi exponentmi. Vyplýva to už z jeho samotnej definície, ktorú sme uviedli v jednom z predchádzajúcich článkov. Stručne sformulujme tieto vlastnosti (podmienky: a > 0, b > 0, exponenty p a q sú iracionálne čísla):

Definícia 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6.a strb p

7.a str< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, potom a p > a q.

Teda všetky mocniny, ktorých exponenty p a q sú reálne čísla, za predpokladu a > 0, majú rovnaké vlastnosti.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Téma lekcie: Stupeň s prirodzeným indikátorom

Typ lekcie: lekcia zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí

Typ lekcie: kombinované

Formy práce: individuálne, frontálne, práca vo dvojiciach

Vybavenie: počítač, mediálny produkt (prezentácia v programeMicrosoftKanceláriaPower Point 2007); kartičky s úlohami na samostatnú prácu

Ciele lekcie:

Vzdelávacie : rozvíjanie schopnosti systematizovať a zovšeobecňovať poznatky o stupňoch s prirodzeným exponentom, upevňovať a zdokonaľovať zručnosti jednoduchých transformácií výrazov obsahujúcich stupne s prirodzeným exponentom.

- vývoj: prispieť k formovaniu zručností aplikovať techniky zovšeobecňovania, porovnávania, zvýraznenia hlavnej veci, rozvoja matematických obzorov, myslenia, reči, pozornosti a pamäti.

- vzdelávacie: podporovať záujem o matematiku, aktivitu, organizáciu, formovať pozitívny motív k učeniu, rozvíjať zručnosti vo vzdelávacích a kognitívnych aktivitách

Vysvetľujúca poznámka.

Táto hodina sa vyučuje v triede všeobecného vzdelávania s priemernou úrovňou matematickej prípravy. Hlavným cieľom lekcie je rozvíjať schopnosť systematizovať a zovšeobecňovať vedomosti o stupni s prirodzeným ukazovateľom, ktorý sa realizuje v procese vykonávania rôznych cvičení.

Vývojový charakter sa prejavuje vo výbere cvikov. Používanie multimediálneho produktu vám umožňuje ušetriť čas, urobiť materiál vizuálnejším a ukázať príklady riešení rôzne druhy práce, ktorá zbavuje deti únavy.

Štruktúra lekcie:

Organizovanie času.
Nahlásenie témy, stanovenie cieľov lekcie.
Ústna práca.
Systematizácia podporných vedomostí.
Prvky technológií šetriacich zdravie.
Vykonanie testovacej úlohy
Zhrnutie lekcie.
Domáca úloha.

Počas tried:

ja.Organizovanie času

Učiteľ: Dobrý deň, chlapci! Som rád, že vás môžem dnes privítať na našej lekcii. Posaď sa. Dúfam, že v dnešnej lekcii nás čaká úspech aj radosť. A my ako tím ukážeme svoj talent.

Venujte pozornosť počas lekcie. Premýšľajte, pýtajte sa, navrhujte – pretože po ceste k pravde pôjdeme spolu.

Otvorte si zošity a zapíšte si číslo, skvelá práca

II. Komunikácia témy, stanovenie cieľov hodiny

1) Téma lekcie. Epigraf lekcie.(Snímka 2, 3)

„Nech sa niekto pokúsi vymazať z matematiky

stupňa a uvidí, že bez nich sa ďaleko nedostanete“ M.V. Lomonosov

2) Stanovenie cieľov lekcie.

Učiteľ: Takže počas hodiny budeme opakovať, zovšeobecňovať a systematizovať látku, ktorú sme študovali. Vašou úlohou je ukázať svoje znalosti o vlastnostiach stupňov s prirodzeným exponentom a schopnosť ich aplikovať pri plnení rôznych úloh.