தேற்றம் பித்தகோரியன் தேற்றம் உருவாக்கத்திற்கு எதிரானது. பாடம் "தேற்றம், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் தலைகீழ்." தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றம்

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

பொது கல்வி:

• மாணவர்களின் தத்துவார்த்த அறிவை சரிபார்க்கவும் (செங்கோண முக்கோணத்தின் பண்புகள், பித்தகோரியன் தேற்றம்), சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் அவற்றைப் பயன்படுத்துவதற்கான திறன்;
• ஒரு சிக்கல் சூழ்நிலையை உருவாக்கி, மாணவர்களை தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் "கண்டுபிடிப்பு" க்கு கொண்டு வாருங்கள்.

வளரும்:

• நடைமுறையில் தத்துவார்த்த அறிவைப் பயன்படுத்துவதற்கான திறன்களின் வளர்ச்சி;
• அவதானிப்புகளின் போது முடிவுகளை உருவாக்கும் திறனை மேம்படுத்துதல்;
• நினைவகம், கவனம், கவனிப்பு ஆகியவற்றின் வளர்ச்சி:
• கண்டுபிடிப்புகளிலிருந்து உணர்ச்சித் திருப்தியின் மூலம் கற்றல் உந்துதலின் வளர்ச்சி, கணிதக் கருத்துகளின் வளர்ச்சியின் வரலாற்றின் கூறுகளை அறிமுகப்படுத்துதல்.

கல்வி:

• பித்தகோரஸின் வாழ்க்கையைப் படிப்பதன் மூலம் பாடத்தில் நிலையான ஆர்வத்தை வளர்ப்பது;
• சக மதிப்பாய்வின் மூலம் வகுப்புத் தோழர்களின் அறிவின் பரஸ்பர உதவி மற்றும் புறநிலை மதிப்பீடு ஆகியவற்றை வளர்ப்பது.

பாடம் வடிவம்: வகுப்பு-பாடம்.

பாட திட்டம்:

• ஏற்பாடு நேரம்.
• வீட்டுப்பாடத்தை சரிபார்க்கிறது. அறிவு மேம்படுத்தல்.
• பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நடைமுறைச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது.
• புது தலைப்பு.
• அறிவின் முதன்மை ஒருங்கிணைப்பு.
• வீட்டு பாடம்.
• பாடம் முடிவுகள்.
• சுயாதீனமான வேலை (பித்தகோரஸின் பழமொழிகளை யூகித்து தனிப்பட்ட அட்டைகளின் படி).

வகுப்புகளின் போது.

ஏற்பாடு நேரம்.

வீட்டுப்பாடத்தை சரிபார்க்கிறது. அறிவு மேம்படுத்தல்.

ஆசிரியர்:நீங்கள் வீட்டில் என்ன பணி செய்தீர்கள்?

மாணவர்கள்:ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களும் கொடுக்கப்பட்டால், மூன்றாவது பக்கத்தைக் கண்டுபிடி, பதில்களை அட்டவணை வடிவில் அமைக்கவும். ஒரு ரோம்பஸ் மற்றும் ஒரு செவ்வகத்தின் பண்புகளை மீண்டும் செய்யவும். நிலை என்று அழைக்கப்படுவதையும் தேற்றத்தின் முடிவு என்ன என்பதையும் மீண்டும் செய்யவும். பித்தகோரஸின் வாழ்க்கை மற்றும் பணி பற்றிய அறிக்கைகளைத் தயாரிக்கவும். 12 முடிச்சுகள் கட்டப்பட்ட ஒரு கயிற்றைக் கொண்டு வாருங்கள்.

ஆசிரியர்:அட்டவணையின்படி வீட்டுப்பாடத்திற்கான பதில்களைச் சரிபார்க்கவும்

(தரவு கருப்பு நிறத்தில் உள்ளது, பதில்கள் சிவப்பு நிறத்தில் உள்ளன).

ஆசிரியர்: அறிக்கைகள் பலகையில் எழுதப்பட்டுள்ளன. தொடர்புடைய கேள்வி எண்ணுக்கு எதிரே உள்ள காகிதத் தாள்களில் நீங்கள் அவர்களுடன் உடன்பட்டால், "+", நீங்கள் ஒப்புக்கொள்ளவில்லை என்றால், "-" என்று வைக்கவும்.

அறிக்கைகள் பலகையில் எழுதப்பட்டுள்ளன.

1. ஹைப்போடென்யூஸ் காலை விட பெரியது.
2. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180 0 ஆகும்.
3. கால்கள் கொண்ட வலது முக்கோணத்தின் பகுதி அமற்றும் உள்ளேசூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது S=ab/2.
4. பித்தகோரியன் தேற்றம் அனைத்து ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்களுக்கும் பொருந்தும்.
5. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், கோணம் 30 0 க்கு எதிரே உள்ள கால் ஹைப்போடென்யூஸின் பாதிக்கு சமம்.
6. கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஹைப்போடென்யூஸின் சதுரத்திற்கு சமம்.
7. காலின் சதுரம் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் இரண்டாவது காலின் சதுரங்களின் வேறுபாட்டிற்கு சமம்.
8. ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கமானது மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

படைப்புகள் சக மதிப்பாய்வு மூலம் சரிபார்க்கப்படுகின்றன. சர்ச்சைக்குரிய அறிக்கைகள் விவாதிக்கப்படுகின்றன.

தத்துவார்த்த கேள்விகளுக்கான திறவுகோல்.

மாணவர்கள் பின்வரும் அமைப்பின்படி ஒருவருக்கொருவர் மதிப்பிடுகிறார்கள்:

8 சரியான பதில்கள் "5";
6-7 சரியான பதில்கள் "4";
4-5 சரியான பதில்கள் "3";
4 க்கும் குறைவான சரியான பதில்கள் "2".

ஆசிரியர்:கடைசி பாடத்தில் எதைப் பற்றி பேசினோம்?

மாணவர்:பித்தகோரஸ் மற்றும் அவரது தேற்றம் பற்றி.

ஆசிரியர்:பித்தகோரியன் தேற்றத்தை உருவாக்கவும். (பல மாணவர்கள் சொற்களைப் படிக்கிறார்கள், இந்த நேரத்தில் 2-3 மாணவர்கள் கரும்பலகையில் அதை நிரூபிக்கிறார்கள், 6 மாணவர்கள் தாள்களில் முதல் மேசைகளில்).

கார்டுகளில் உள்ள காந்தப் பலகையில் கணித சூத்திரங்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன. பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பொருளைப் பிரதிபலிக்கும்வற்றைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் அ மற்றும் உள்ளே - வடிகுழாய்கள், உடன் - ஹைப்போடென்யூஸ்.

1) c 2 \u003d a 2 + b 2	2) c \u003d a + b	3) a 2 \u003d 2 முதல் 2 வரை
4) c 2 \u003d a 2 - in 2	5) 2 \u003d c 2 - a 2 இல்	6) a 2 \u003d c 2 + in 2

கரும்பலகையிலும் களத்திலும் தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் மாணவர்கள் தயாராக இல்லாத நிலையில், பித்தகோரஸின் வாழ்க்கை மற்றும் பணி குறித்த அறிக்கைகளைத் தயாரித்தவர்களுக்குத் தரப்படுகிறது.

வயலில் பணிபுரியும் பள்ளி மாணவர்கள் துண்டுப் பிரசுரங்களைக் கொடுத்து, கரும்பலகையில் வேலை செய்தவர்களின் சான்றுகளைக் கேட்கிறார்கள்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நடைமுறைச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது.

ஆசிரியர்:படித்த தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நடைமுறைப் பணிகளை உங்களுக்கு வழங்குகிறேன். முதலில் காடு, புயலுக்குப் பிறகு, கிராமப்புறங்களுக்குச் செல்வோம்.

பணி 1. புயலுக்குப் பிறகு, தளிர் உடைந்தது. மீதமுள்ள பகுதியின் உயரம் 4.2 மீ. அடித்தளத்திலிருந்து விழுந்த உச்சி வரையிலான தூரம் 5.6 மீ. புயலுக்கு முன் தளிர் உயரத்தைக் கண்டறியவும்.

பணி 2. வீட்டின் உயரம் 4.4 மீ. வீட்டைச் சுற்றியுள்ள புல்வெளியின் அகலம் 1.4 மீ. புல்வெளியில் மிதிக்காமல் வீட்டின் கூரையை அடையும் வகையில் ஏணியை எவ்வளவு நீளமாக உருவாக்க வேண்டும்?

புது தலைப்பு.

ஆசிரியர்:(இசை நாடகங்கள்)கண்களை மூடு, சில நிமிடங்களுக்கு நாம் வரலாற்றில் மூழ்குவோம். நாங்கள் உங்களுடன் இருக்கிறோம் பழங்கால எகிப்து. இங்கே கப்பல் கட்டும் தளங்களில் எகிப்தியர்கள் தங்கள் புகழ்பெற்ற கப்பல்களை உருவாக்குகிறார்கள். ஆனால் நில அளவையாளர்கள், அவர்கள் நிலத்தை அளவிடுகிறார்கள், அதன் எல்லைகள் நைல் நதியின் வெள்ளத்திற்குப் பிறகு கழுவப்பட்டன. பில்டர்கள் பிரமாண்டமான பிரமிடுகளை உருவாக்குகிறார்கள், அவை அவற்றின் மகத்துவத்தால் இன்னும் நம்மை ஆச்சரியப்படுத்துகின்றன. இந்த அனைத்து நடவடிக்கைகளிலும், எகிப்தியர்கள் சரியான கோணங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டியிருந்தது. ஒருவருக்கொருவர் ஒரே தூரத்தில் 12 முடிச்சுகள் கட்டப்பட்ட கயிற்றைப் பயன்படுத்தி அவற்றை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பது அவர்களுக்குத் தெரியும். பழங்கால எகிப்தியர்களைப் போல வாதிட்டு, உங்கள் கயிறுகளின் உதவியுடன் வலது கோண முக்கோணங்களை உருவாக்க முயற்சிக்கவும். (இந்த சிக்கலை தீர்க்க, தோழர்களே 4 பேர் கொண்ட குழுக்களாக வேலை செய்கிறார்கள். சிறிது நேரம் கழித்து, கரும்பலகையில் உள்ள டேப்லெட்டில் ஒரு முக்கோணத்தின் கட்டுமானத்தை யாரோ காட்டுகிறார்கள்).

இதன் விளைவாக வரும் முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் 3, 4 மற்றும் 5 ஆகும். இந்த முடிச்சுகளுக்கு இடையில் நீங்கள் இன்னும் ஒரு முடிச்சைப் போட்டால், அதன் பக்கங்கள் 6, 8 மற்றும் 10 ஆக மாறும். ஒவ்வொன்றும் இரண்டு என்றால் - 9, 12 மற்றும் 15. இந்த முக்கோணங்கள் அனைத்தும் செவ்வகமாக இருப்பதால். .

5 2 \u003d 3 2 + 4 2, 10 2 \u003d 6 2 + 8 2, 15 2 \u003d 9 2 + 12 2, முதலியன.

செங்கோண முக்கோணமாக இருக்க முக்கோணத்திற்கு என்ன சொத்து இருக்க வேண்டும்? (மாணவர்கள் தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றத்தை உருவாக்க முயற்சி செய்கிறார்கள், இறுதியாக, யாரோ வெற்றி பெறுகிறார்கள்).

இந்த தேற்றம் பித்தகோரியன் தேற்றத்திலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகிறது?

மாணவர்:நிபந்தனையும் முடிவும் தலைகீழாக உள்ளது.

ஆசிரியர்:வீட்டில், அத்தகைய கோட்பாடுகள் என்ன அழைக்கப்படுகின்றன என்பதை நீங்கள் மீண்டும் சொன்னீர்கள். எனவே நாம் இப்போது என்ன செய்கிறோம்?

மாணவர்: தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றத்துடன்.

ஆசிரியர்: பாடத்தின் தலைப்பை உங்கள் நோட்புக்கில் எழுதுங்கள். பக்கம் 127 இல் உங்கள் பாடப்புத்தகங்களைத் திறந்து, இந்த அறிக்கையை மீண்டும் படித்து, உங்கள் நோட்புக்கில் எழுதி, ஆதாரத்தை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்.

(பாடப்புத்தகத்துடன் பல நிமிடங்கள் சுயாதீனமான வேலைக்குப் பிறகு, விரும்பினால், கரும்பலகையில் ஒருவர் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை அளிக்கிறார்).

1. 3, 4 மற்றும் 5 பக்கங்களைக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பெயர் என்ன? ஏன்?
2. எந்த முக்கோணங்கள் பித்தகோரியன் முக்கோணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன?
3. உங்கள் வீட்டுப்பாடத்தில் நீங்கள் எந்த முக்கோணங்களுடன் பணிபுரிந்தீர்கள்? மற்றும் ஒரு பைன் மரம் மற்றும் ஒரு ஏணி பிரச்சனைகளில்?

அறிவின் முதன்மை ஒருங்கிணைப்பு

.

இந்த தேற்றம் முக்கோணங்கள் சரியான முக்கோணங்களா என்பதைக் கண்டறிய வேண்டிய சிக்கல்களைத் தீர்க்க உதவுகிறது.

பணிகள்:

1) ஒரு முக்கோணம் அதன் பக்கங்கள் சமமாக இருந்தால் அது வலது கோணத்தில் உள்ளதா என்பதைக் கண்டறியவும்:

a) 12.37 மற்றும் 35; b) 21, 29 மற்றும் 24.

2) 6, 8 மற்றும் 10 செமீ பக்கங்களைக் கொண்ட முக்கோணத்தின் உயரங்களைக் கணக்கிடுங்கள்.

வீட்டு பாடம்

.

பக்கம் 127: தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றம். எண். 498 (a, b, c) எண். 497.

பாடம் முடிவுகள்.

பாடத்தில் நீங்கள் புதிதாக என்ன கற்றுக்கொண்டீர்கள்?

எகிப்தியர்கள் தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்தினர்?

இது என்ன பணிகளுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது?

நீங்கள் என்ன முக்கோணங்களை சந்தித்தீர்கள்?

நீங்கள் எதை நினைவில் வைத்திருக்கிறீர்கள் மற்றும் மிகவும் விரும்புகிறீர்கள்?

சுயாதீனமான வேலை (தனிப்பட்ட அட்டைகளில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது).

ஆசிரியர்:வீட்டில், நீங்கள் ஒரு ரோம்பஸ் மற்றும் ஒரு செவ்வகத்தின் பண்புகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்தீர்கள். அவற்றை பட்டியலிடுங்கள் (வகுப்புடன் ஒரு உரையாடல் உள்ளது). கடந்த பாடத்தில், பித்தகோரஸ் ஒரு பல்துறை நபர் என்ற உண்மையைப் பற்றி பேசினோம். அவர் மருத்துவம், இசை மற்றும் வானியல் ஆகியவற்றில் ஈடுபட்டார், மேலும் ஒரு தடகள வீரராகவும் ஒலிம்பிக் போட்டிகளில் பங்கேற்றார். பித்தகோரஸ் ஒரு தத்துவஞானியும் கூட. அவருடைய பல பழமொழிகள் இன்றும் நமக்குப் பொருத்தமானவை. இப்போது நீங்கள் உங்கள் சொந்த வேலையைச் செய்வீர்கள். ஒவ்வொரு பணிக்கும், பல பதில்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, அதற்கு அடுத்ததாக பித்தகோரியன் பழமொழிகளின் துண்டுகள் எழுதப்பட்டுள்ளன. உங்கள் பணி அனைத்து பணிகளையும் தீர்க்க வேண்டும், பெறப்பட்ட துண்டுகளிலிருந்து ஒரு அறிக்கையை உருவாக்கி அதை எழுதுங்கள்.

பித்தகோரியன் தேற்றம் கூறுகிறது:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஹைபோடென்யூஸின் சதுரத்திற்கு சமம்:

a 2 + b 2 = c 2,

• அமற்றும் பி- கால்கள் சரியான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.
• உடன்முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் ஆகும்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் சூத்திரங்கள்

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்

வலது முக்கோணத்தின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

S = \frac(1)(2)ab

தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிட, பகுதி சூத்திரம்:

• ப- அரை சுற்றளவு. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• ஆர்பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும். ஒரு செவ்வகத்திற்கு r=\frac(1)(2)(a+b-c).

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவிற்கு இரண்டு சூத்திரங்களின் வலது பக்கங்களையும் சமன் செய்கிறோம்:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \இடது((a+b)^(2) -c^(2) \வலது)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றம்:

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால், முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும். அதாவது, எந்த மூன்று மடங்கு நேர்மறை எண்களுக்கும் a, bமற்றும் c, அதை போல

a 2 + b 2 = c 2,

கால்களுடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது அமற்றும் பிமற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் c.

பித்தகோரியன் தேற்றம்- யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளில் ஒன்று, செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கிடையேயான உறவை நிறுவுகிறது. விஞ்ஞானி கணிதவியலாளரும் தத்துவஞானியுமான பித்தகோரஸால் நிரூபிக்கப்பட்டது.

தேற்றத்தின் பொருள்மற்ற தேற்றங்களை நிரூபிக்கவும் சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும் இது பயன்படுத்தப்படலாம்.

கூடுதல் பொருள்:

தலைப்புகளின் பரிசீலனை பள்ளி பாடத்திட்டம்வீடியோ பாடங்களின் உதவியுடன், பொருளைப் படிக்கவும் ஒருங்கிணைக்கவும் ஒரு வசதியான வழி. முக்கிய கோட்பாட்டுப் புள்ளிகளில் மாணவர்களின் கவனத்தைச் செலுத்தவும், முக்கியமான விவரங்களைத் தவறவிடாமல் இருக்கவும் வீடியோ உதவுகிறது. தேவைப்பட்டால், மாணவர்கள் எப்போதும் வீடியோ பாடத்தை மீண்டும் கேட்கலாம் அல்லது சில தலைப்புகளுக்குத் திரும்பலாம்.

8 ஆம் வகுப்புக்கான இந்த வீடியோ டுடோரியல் மாணவர்களுக்கு வடிவவியலில் புதிய தலைப்பைக் கற்றுக்கொள்ள உதவும்.

முந்தைய தலைப்பில், பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் படித்து அதன் ஆதாரத்தை பகுப்பாய்வு செய்தோம்.

தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு தேற்றமும் உள்ளது. அதை இன்னும் விரிவாகக் கருதுவோம்.

தேற்றம். ஒரு முக்கோணம் சமத்துவத்தைப் பூர்த்தி செய்தால் அது செங்கோணமாக இருக்கும்: முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் மதிப்பானது சதுரப்படுத்தப்பட்ட மற்ற இரு பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

ஆதாரம். நமக்கு ஒரு முக்கோணம் ABC கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதில் AB 2 = CA 2 + CB 2 என்பது உண்மை. சி கோணம் 90 டிகிரி என்பதை நாம் நிரூபிக்க வேண்டும். A 1 B 1 C 1 முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள், இதில் கோணம் C 1 90 டிகிரி, பக்க C 1 A 1 CA க்கு சமம் மற்றும் பக்க B 1 C 1 BC க்கு சமம்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 முக்கோணத்தில் பக்கங்களின் விகிதத்தை எழுதுகிறோம். வெளிப்பாட்டை சம பக்கங்களுடன் மாற்றுவதன் மூலம், நாம் A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 ஐப் பெறுகிறோம்.

AB 2 = CA 2 + CB 2 என்று தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளிலிருந்து நாம் அறிவோம். பிறகு A 1 B 1 2 = AB 2 என்று எழுதலாம், இது A 1 B 1 = AB என்பதைக் குறிக்கிறது.

ABC மற்றும் A 1 B 1 C 1 முக்கோணங்களில் மூன்று பக்கங்களும் சமமாக இருப்பதைக் கண்டறிந்துள்ளோம்: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. எனவே இந்த முக்கோணங்கள் சமமாக உள்ளன. முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து, கோணம் C கோணம் C 1 க்கு சமம் மற்றும் அதன்படி, 90 டிகிரிக்கு சமம். முக்கோணம் ABC ஒரு செங்கோண முக்கோணம் என்றும் அதன் கோணம் C 90 டிகிரி என்றும் தீர்மானித்துள்ளோம். இந்த தேற்றத்தை நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம்.

பின்னர் ஆசிரியர் ஒரு உதாரணம் தருகிறார். நமக்கு ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதன் பக்கங்களின் பரிமாணங்கள் அறியப்படுகின்றன: 5, 4 மற்றும் 3 அலகுகள். 5 2 = 3 2 + 4 2: அறிக்கை சரியாக இருந்தால், கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும்.

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளில், முக்கோணங்களும் அவற்றின் பக்கங்கள் சமமாக இருந்தால் அவை செங்கோணமாக இருக்கும்:

5, 12, 13 அலகுகள்; சமத்துவம் 13 2 = 5 2 + 12 2 உண்மை;

8, 15, 17 அலகுகள்; சமன்பாடு 17 2 = 8 2 + 15 2 உண்மை;

7, 24, 25 அலகுகள்; சமன்பாடு 25 2 = 7 2 + 24 2 உண்மை.

பித்தகோரியன் முக்கோணத்தின் கருத்து அறியப்படுகிறது. இது ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும், அதன் பக்க மதிப்புகள் முழு எண்களாகும். பித்தகோரியன் முக்கோணத்தின் கால்கள் a மற்றும் c மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் b ஆகியவற்றால் குறிக்கப்பட்டால், இந்த முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் மதிப்புகளை பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி எழுதலாம்:

b \u003d k x (m 2 - n 2)

c \u003d k x (m 2 + n 2)

m, n, k ஆகியவை எங்கே முழு எண்கள், மற்றும் m இன் மதிப்பு n இன் மதிப்பை விட அதிகமாக உள்ளது.

ஒரு சுவாரஸ்யமான உண்மை: 5, 4 மற்றும் 3 பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணம் எகிப்திய முக்கோணம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, அத்தகைய முக்கோணம் பண்டைய எகிப்தில் அறியப்பட்டது.

இந்த வீடியோ டுடோரியலில், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் உரையாடலான தேற்றத்தைப் பற்றி அறிந்தோம். ஆதாரத்தை விரிவாகக் கவனியுங்கள். எந்த முக்கோணங்கள் பித்தகோரியன் முக்கோணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்பதையும் மாணவர்கள் அறிந்து கொண்டனர்.

இந்த வீடியோ பாடத்தின் உதவியுடன் மாணவர்கள் தாங்களாகவே "தேற்றம், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் தலைகீழ்" என்ற தலைப்பை எளிதில் அறிந்துகொள்ளலாம்.

வான் டெர் வேர்டனின் கூற்றுப்படி, பொது வடிவத்தில் உள்ள விகிதம் ஏற்கனவே பாபிலோனில் கிமு 18 ஆம் நூற்றாண்டில் அறியப்பட்டிருக்கலாம். இ.

தோராயமாக 400 கி.மு. e., ப்ரோக்லஸின் படி, இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலை இணைத்து பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு முறையை பிளேட்டோ வழங்கினார். சுமார் 300 கி.மு. இ. யூக்ளிட்டின் "கூறுகளில்" பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பழமையான அச்சு ஆதாரம் தோன்றியது.

வார்த்தையாடல்

முக்கிய உருவாக்கத்தில் இயற்கணித செயல்பாடுகள் உள்ளன - ஒரு வலது முக்கோணத்தில், கால்களின் நீளம் சமமாக இருக்கும் a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a)மற்றும் b (\ displaystyle b), மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளம் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி), உறவு நிறைவேறியது:

.

ஒரு சமமான வடிவியல் உருவாக்கம் சாத்தியமாகும், இது பகுதி-உருவம் என்ற கருத்தை நாடுகிறது: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். இந்த வடிவத்தில், தேற்றம் யூக்ளிடின் பிரின்சிபியாவில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றம்- எந்த முக்கோணத்தின் செவ்வகத்தன்மை பற்றிய அறிக்கை, அதன் பக்கங்களின் நீளம் உறவால் தொடர்புடையது a 2 + b 2 = c 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​a^(2)+b^(2)=c^(2)). இதன் விளைவாக, எந்த மூன்று மடங்கு நேர்மறை எண்களுக்கும் a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a), b (\ displaystyle b)மற்றும் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி), அதை போல a 2 + b 2 = c 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​a^(2)+b^(2)=c^(2)), கால்களுடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a)மற்றும் b (\ displaystyle b)மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி).

ஆதாரம்

AT அறிவியல் இலக்கியம்பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் குறைந்தது 400 சான்றுகள் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளன, இது வடிவவியலுக்கான அதன் அடிப்படை முக்கியத்துவம் மற்றும் முடிவுகளின் அடிப்படை ஆகியவற்றால் விளக்கப்படுகிறது. ஆதாரங்களின் முக்கிய திசைகள்: தனிமங்களின் முக்கோண விகிதங்களின் இயற்கணித பயன்பாடு (எடுத்துக்காட்டாக, பிரபலமான ஒற்றுமை முறை), பகுதி முறை, பல்வேறு கவர்ச்சியான சான்றுகள் உள்ளன (எடுத்துக்காட்டாக, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துதல்).

ஒத்த முக்கோணங்கள் மூலம்

யூக்ளிட்டின் கிளாசிக்கல் ஆதாரம், செவ்வகங்களுக்கு இடையே உள்ள பகுதிகளின் சமத்துவத்தை நிறுவுவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது, இது ஹைபோடென்யூஸுக்கு மேலே உள்ள சதுரத்தை வலது கோணத்தில் இருந்து கால்களுக்கு மேலே உள்ள சதுரங்களுடன் உயரத்துடன் பிரிக்கிறது.

நிரூபணத்திற்குப் பயன்படுத்தப்படும் கட்டுமானம் பின்வருமாறு: செங்கோணத்துடன் கூடிய செங்கோண முக்கோணத்திற்கு சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி), கால்களுக்கு மேல் சதுரங்கள் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸின் மேல் சதுரங்கள் A B I K (\displaystyle ABIK)உயரம் கட்டப்பட்டு வருகிறது சி எச் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சிஎச்)அதைத் தொடரும் கற்றை கள் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல்கள்), ஹைப்போடென்ஸுக்கு மேலே உள்ள சதுரத்தை இரண்டு செவ்வகங்களாகப் பிரித்தல் மற்றும் . ஆதாரம் செவ்வகத்தின் பகுதிகளின் சமத்துவத்தை நிறுவுவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது ஏ எச் ஜே கே (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ஏஎச்ஜேகே)காலின் மேல் ஒரு சதுரத்துடன் ஏ சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ஏசி); இரண்டாவது செவ்வகத்தின் பகுதிகளின் சமத்துவம், இது ஹைப்போடென்ஸுக்கு மேலே ஒரு சதுரம், மற்றும் மற்ற காலுக்கு மேலே உள்ள செவ்வகம் இதே வழியில் நிறுவப்பட்டது.

ஒரு செவ்வகத்தின் பகுதிகளின் சமத்துவம் ஏ எச் ஜே கே (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ஏஎச்ஜேகே)மற்றும் A C E D (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ACED)முக்கோணங்களின் ஒற்றுமை மூலம் நிறுவப்பட்டது △ ஏ சி கே (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\ முக்கோணம் ஏசிகே)மற்றும் △ A B D (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\ முக்கோணம் ABD), ஒவ்வொன்றின் பரப்பளவு சதுரங்களின் பாதி பகுதிக்கு சமம் ஏ எச் ஜே கே (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ஏஎச்ஜேகே)மற்றும் A C E D (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ACED)முறையே, பின்வரும் சொத்து தொடர்பாக: ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஒரு செவ்வகத்தின் பாதிப் பகுதிக்கு சமம், புள்ளிவிவரங்கள் பொதுவான பக்கத்தைக் கொண்டிருந்தால், முக்கோணத்தின் உயரம் பொதுவான பக்கத்தின் மறுபுறம் செவ்வகம். முக்கோணங்களின் ஒற்றுமை இரண்டு பக்கங்களின் சமத்துவம் (சதுரங்களின் பக்கங்கள்) மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் (சரியான கோணம் மற்றும் ஒரு கோணம் ஆகியவற்றால் ஆனது A (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A).

எனவே, ஹைப்போடென்ஸுக்கு மேலே உள்ள சதுரத்தின் பரப்பளவு செவ்வகங்களால் ஆனது என்பதை ஆதாரம் நிறுவுகிறது. ஏ எச் ஜே கே (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ஏஎச்ஜேகே)மற்றும் BH J I (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​BHJI), கால்களுக்கு மேலே உள்ள சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

லியோனார்டோ டா வின்சியின் சான்று

பகுதி முறை லியோனார்டோ டா வின்சி கண்டுபிடித்த ஆதாரத்தையும் உள்ளடக்கியது. ஒரு செங்கோண முக்கோணம் இருக்கட்டும் △ ஏ பி சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\ முக்கோணம் ஏபிசி)வலது கோணம் சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி)மற்றும் சதுரங்கள் A C E D (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ACED), B C F G (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​BCFG)மற்றும் A B H J (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ABHJ)(படம் பார்க்கவும்). பக்கத்தில் இந்த ஆதாரத்தில் எச் ஜே (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​எச்ஜே)பிந்தையது, ஒரு முக்கோணம் வெளிப்புறமாக, ஒத்ததாக கட்டப்பட்டுள்ளது △ ஏ பி சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\ முக்கோணம் ஏபிசி), மேலும், ஹைப்போடென்ஸுடன் தொடர்புடையது மற்றும் அதன் உயரத்துடன் தொடர்புடையது (அதாவது, J I = B C (\displaystyle JI=BC)மற்றும் H I = A C (\displaystyle HI=AC)) நேராக சி ஐ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சிஐ)முக்கோணங்கள் என்பதால், ஹைப்போடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தை இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரிக்கிறது △ ஏ பி சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\ முக்கோணம் ஏபிசி)மற்றும் △ J H I (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\முக்கோணம் JHI)கட்டுமானத்தில் சமம். ஆதாரம் நாற்கரங்களின் ஒற்றுமையை நிறுவுகிறது C A J I (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​CAJI)மற்றும் டி ஏ பி ஜி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​டிஏபிஜி), ஒவ்வொன்றின் பரப்பளவு, ஒருபுறம், கால்களில் உள்ள சதுரங்களின் பாதி பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, மறுபுறம், பாதி பகுதிக்கு சமம் ஹைபோடென்யூஸில் உள்ள சதுரம் மற்றும் அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு. மொத்தத்தில், கால்களுக்கு மேல் உள்ள சதுரங்களின் பகுதிகளின் பாதி தொகை, ஹைபோடென்யூஸின் மேல் சதுரத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம், இது பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வடிவியல் உருவாக்கத்திற்கு சமம்.

எல்லையற்ற முறை மூலம் ஆதாரம்

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி பல சான்றுகள் உள்ளன. குறிப்பாக, ஹார்டி எல்லையற்ற கால் அதிகரிப்புகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு ஆதாரத்துடன் வரவு வைக்கப்படுகிறார் a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a)மற்றும் b (\ displaystyle b)மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி), மற்றும் அசல் செவ்வகத்துடன் ஒற்றுமையைப் பாதுகாத்தல், அதாவது, பின்வரும் வேறுபட்ட உறவுகளை நிறைவேற்றுவதை உறுதி செய்தல்:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

மாறிகளைப் பிரிக்கும் முறையால், அவற்றிலிருந்து வேறுபட்ட சமன்பாடு பெறப்படுகிறது c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), யாருடைய ஒருங்கிணைப்பு உறவைக் கொடுக்கிறது c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). ஆரம்ப நிபந்தனைகளின் பயன்பாடு a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)ஒரு மாறிலியை 0 என வரையறுக்கிறது, இதன் விளைவாக தேற்றம் வலியுறுத்தப்படுகிறது.

இறுதிச் சூத்திரத்தில் இருபடி சார்பு என்பது முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் மற்றும் அதிகரிப்புகளுக்கு இடையே உள்ள நேரியல் விகிதாச்சாரத்தின் காரணமாக தோன்றுகிறது, அதே நேரத்தில் கூட்டுத்தொகை வெவ்வேறு கால்களின் அதிகரிப்பின் சுயாதீன பங்களிப்புகளின் காரணமாகும்.

மாறுபாடுகள் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல்கள்

மூன்று பக்கங்களிலும் ஒரே மாதிரியான வடிவியல் வடிவங்கள்

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் முக்கியமான வடிவியல் பொதுமைப்படுத்தல் "ஆரம்பம்" இல் யூக்லிட் வழங்கியது, பக்கங்களில் உள்ள சதுரங்களின் பகுதிகளிலிருந்து தன்னிச்சையான ஒத்த வடிவியல் உருவங்களின் பகுதிகளுக்கு நகரும்: கால்களில் கட்டப்பட்ட அத்தகைய உருவங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை அவற்றைப் போன்ற ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமாக, ஹைப்போடென்யூஸில் கட்டப்பட்டுள்ளது.

இந்த பொதுமைப்படுத்தலின் முக்கிய யோசனை என்னவென்றால், அத்தகைய வடிவியல் உருவத்தின் பரப்பளவு அதன் எந்த நேரியல் பரிமாணங்களின் சதுரத்திற்கும், குறிப்பாக, எந்த பக்கத்தின் நீளத்தின் சதுரத்திற்கும் விகிதாசாரமாகும். எனவே, பகுதிகளுடன் ஒத்த புள்ளிவிவரங்களுக்கு A (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A), பி (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​பி)மற்றும் சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி)நீளம் கொண்ட கால்களில் கட்டப்பட்டது a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a)மற்றும் b (\ displaystyle b)மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி)அதன்படி, ஒரு தொடர்பு உள்ளது:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி a 2 + b 2 = c 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​a^(2)+b^(2)=c^(2)), பின்னர் அது முடிந்தது.

கூடுதலாக, பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தாமல் நிரூபிக்க முடிந்தால், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் உள்ள மூன்று ஒத்த வடிவியல் உருவங்களின் பகுதிகளுக்கு, தொடர்பு A + B = C (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A+B=C), பின்னர் யூக்ளிட்டின் பொதுமைப்படுத்தலின் மறுபக்கத்தைப் பயன்படுத்தி, பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தைப் பெறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஹைபோடென்யூஸில் இருந்தால், பகுதியுடன் ஆரம்ப முக்கோணத்திற்கு ஒத்ததாக ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குகிறோம் சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி), மற்றும் கால்களில் - பகுதிகளுடன் இரண்டு ஒத்த வலது கோண முக்கோணங்கள் A (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A)மற்றும் பி (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​பி), ஆரம்ப முக்கோணத்தை அதன் உயரத்தால் வகுப்பதன் விளைவாக கால்களில் உள்ள முக்கோணங்கள் உருவாகின்றன, அதாவது முக்கோணங்களின் இரண்டு சிறிய பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை மூன்றாவது பகுதிக்கு சமம். A + B = C (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​A+B=C)மேலும், ஒத்த புள்ளிவிவரங்களுக்கான உறவைப் பயன்படுத்தி, பித்தகோரியன் தேற்றம் பெறப்பட்டது.

கொசைன் தேற்றம்

பித்தகோரியன் தேற்றம் என்பது ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தில் உள்ள பக்கங்களின் நீளம் தொடர்பான பொதுவான கொசைன் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் எங்கே a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a)மற்றும் b (\ displaystyle b). கோணம் 90° ஆக இருந்தால் cos ⁡ θ = 0 (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\cos \theta =0), மற்றும் சூத்திரம் வழக்கமான பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு எளிதாக்குகிறது.

தன்னிச்சையான முக்கோணம்

பித்தகோரியன் தேற்றம் ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்திற்கு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, இது பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்தில் மட்டுமே இயங்குகிறது, இது முதன்முதலில் சபியன் வானியலாளர் சபித் பின் குர்ராவால் நிறுவப்பட்டது என்று நம்பப்படுகிறது. அதில், பக்கங்களைக் கொண்ட தன்னிச்சையான முக்கோணத்திற்கு, பக்கவாட்டில் அடித்தளத்துடன் கூடிய சமபக்க முக்கோணம் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி), பக்கத்திற்கு எதிரே உள்ள அசல் முக்கோணத்தின் உச்சியுடன் இணைந்த உச்சி c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி)மற்றும் கோணத்திற்கு சமமான அடிப்பகுதியில் கோணங்கள் θ (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\தீட்டா)எதிர் பக்கம் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி). இதன் விளைவாக, அசல் ஒன்றைப் போலவே இரண்டு முக்கோணங்கள் உருவாகின்றன: முதல் ஒன்று பக்கங்களுடன் a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a), பொறிக்கப்பட்ட ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் பக்கவாட்டு பக்கமானது அதிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது, மற்றும் r (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​r)- பக்க பாகங்கள் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி); இரண்டாவது பக்கத்திலிருந்து சமச்சீர் b (\ displaystyle b)ஒரு கட்சியுடன் கள் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல்கள்)- பக்கத்தின் தொடர்புடைய பகுதி c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி). இதன் விளைவாக, உறவு பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

இது பித்தகோரியன் தேற்றத்தில் சிதைகிறது θ = π / 2 (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\theta =\pi /2). விகிதமானது உருவான முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் விளைவாகும்:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\ displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

பாப்பஸ் பகுதி தேற்றம்

யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவியல்

பித்தகோரியன் தேற்றம் யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் கோட்பாடுகளிலிருந்து பெறப்பட்டது மற்றும் யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலுக்கு இது செல்லுபடியாகாது - பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் பூர்த்தியானது யூக்ளிடியன் இணையான கொள்கைக்கு சமமானதாகும்.

யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலில், செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கிடையேயான தொடர்பு பித்தகோரியன் தேற்றத்திலிருந்து வேறுபட்ட வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, கோள வடிவவியலில், அலகு கோளத்தின் ஆக்டான்ட்டை பிணைக்கும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் நீளம் கொண்டவை. π / 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\pi /2), இது பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு முரணானது.

மேலும், பித்தகோரியன் தேற்றம் ஹைபர்போலிக் மற்றும் நீள்வட்ட வடிவவியலில் செல்லுபடியாகும்.

கோள வடிவியல்

ஆரம் கொண்ட கோளத்தில் உள்ள எந்த செங்கோண முக்கோணத்திற்கும் ஆர் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ஆர்)(உதாரணமாக, முக்கோணத்தில் கோணம் சரியாக இருந்தால்) பக்கங்களுடன் a , b , c (\ displaystyle a,b,c)பக்கங்களுக்கு இடையிலான உறவு:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\வலது)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

இந்த சமத்துவத்தை இவ்வாறு பெறலாம் ஒரு சிறப்பு வழக்குகோள கோசைன் தேற்றம், இது அனைத்து கோள முக்கோணங்களுக்கும் செல்லுபடியாகும்:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac) c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

எங்கே ch (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\ ஆபரேட்டர் பெயர் (ch) )- ஹைபர்போலிக் கொசைன். இந்த சூத்திரம் ஹைபர்போலிக் கொசைன் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, இது அனைத்து முக்கோணங்களுக்கும் செல்லுபடியாகும்:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\ displaystyle \ operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \ operatorname (ch) (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

எங்கே γ (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\காமா)- ஒரு கோணத்தின் உச்சி ஒரு பக்கத்திற்கு எதிரே உள்ளது c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி).

ஹைபர்போலிக் கொசைனுக்கு டெய்லர் தொடரைப் பயன்படுத்துதல் ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\ ஆப்பரேட்டர் பெயர் (ch) x\தோராயமாக 1+x^(2)/2)) ஹைபர்போலிக் முக்கோணம் குறைந்தால் (அதாவது எப்போது a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a), b (\ displaystyle b)மற்றும் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி)பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்), பின்னர் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள ஹைபர்போலிக் உறவுகள் கிளாசிக்கல் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் உறவை அணுகுகின்றன.

விண்ணப்பம்

இரு பரிமாண செவ்வக அமைப்புகளில் உள்ள தூரம்

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் மிக முக்கியமான பயன்பாடானது ஒரு செவ்வக அமைப்பில் உள்ள இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தை தீர்மானிப்பதாகும்: தூரம் கள் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல்கள்)ஆய புள்ளிகளுக்கு இடையில் (a, b) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(a,b))மற்றும் (c , d) (\ displaystyle (c,d))சமம்:

s = (a - c) 2 + (b - d) 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

கலப்பு எண்களுக்கு, பித்தகோரியன் தேற்றம் மாடுலஸ்-சிக்கலான எண்ணைக் கண்டறிவதற்கான இயற்கையான சூத்திரத்தை அளிக்கிறது. z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)அது நீளத்திற்கு சமம்

பித்தகோரியன் தேற்றம்யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளில் ஒன்று, உறவை நிறுவுகிறது

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையில்.

இது கிரேக்க கணிதவியலாளர் பித்தகோரஸால் நிரூபிக்கப்பட்டது என்று நம்பப்படுகிறது, அதன் பெயரால் இது பெயரிடப்பட்டது.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வடிவியல் உருவாக்கம்.

தேற்றம் முதலில் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டது:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்,

வடிகுழாய்களில் கட்டப்பட்டது.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் இயற்கணித உருவாக்கம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தின் சதுரம் கால்களின் நீளத்தின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

அதாவது, முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தைக் குறிக்கிறது c, மற்றும் கால்களின் நீளம் அமற்றும் பி:

இரண்டு சூத்திரங்கள் பித்தகோரியன் கோட்பாடுகள்சமமானவை, ஆனால் இரண்டாவது உருவாக்கம் மிகவும் அடிப்படையானது, அது இல்லை

பகுதி என்ற கருத்து தேவைப்படுகிறது. அதாவது, இரண்டாவது அறிக்கையை அந்த பகுதி மற்றும் பற்றி எதுவும் தெரியாமல் சரிபார்க்க முடியும்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளத்தை மட்டும் அளவிடுவதன் மூலம்.

தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால்

முக்கோணம் செவ்வகமானது.

அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால்:

எந்த மூன்று மடங்கு நேர்மறை எண்களுக்கும் அ, பிமற்றும் c, அதை போல

கால்களுடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது அமற்றும் பிமற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் c.

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றம்.

ஒரு சமபக்க முக்கோணத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றம்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் சான்றுகள்.

இந்த நேரத்தில், இந்த தேற்றத்தின் 367 சான்றுகள் அறிவியல் இலக்கியத்தில் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளன. ஒருவேளை தேற்றம்

பித்தகோரஸ் மட்டுமே இவ்வளவு ஈர்க்கக்கூடிய சான்றுகளைக் கொண்ட ஒரே தேற்றம். அத்தகைய பன்முகத்தன்மை

வடிவவியலுக்கான தேற்றத்தின் அடிப்படை முக்கியத்துவத்தால் மட்டுமே விளக்க முடியும்.

நிச்சயமாக, கருத்தியல் ரீதியாக, அவை அனைத்தையும் ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான வகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம். அவற்றில் மிகவும் பிரபலமானவை:

ஆதாரம் பகுதி முறை, அச்சுமற்றும் கவர்ச்சியான சான்றுகள்(எ.கா.

வழியாக வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்).

1. ஒத்த முக்கோணங்களின் அடிப்படையில் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்.

இயற்கணித உருவாக்கத்தின் பின்வரும் சான்றுகள் கட்டமைக்கப்பட்ட சான்றுகளில் எளிமையானவை

நேரடியாக கோட்பாடுகளிலிருந்து. குறிப்பாக, இது ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்துவதில்லை.

இருக்கட்டும் ஏபிசிவலது கோண முக்கோணம் உள்ளது சி. இருந்து ஒரு உயரம் வரைவோம் சிமற்றும் குறிக்கவும்

அதன் அடித்தளம் மூலம் எச்.

முக்கோணம் ACHஒரு முக்கோணத்தைப் போன்றது ஏபிஇரண்டு மூலைகளிலும் சி. அதேபோல், முக்கோணம் CBHஒத்த ஏபிசி.

குறிப்பை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம்:

நாம் பெறுகிறோம்:

,

எது பொருந்தும் -

மடிந்த நிலையில் அ 2 மற்றும் பி 2, நாம் பெறுகிறோம்:

அல்லது , இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

2. பகுதி முறை மூலம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் சான்று.

பின்வரும் சான்றுகள், அவற்றின் வெளிப்படையான எளிமை இருந்தபோதிலும், அவ்வளவு எளிமையானவை அல்ல. அவர்கள் எல்லோரும்

பகுதியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தவும், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் நிரூபணத்தை விட இதன் ஆதாரம் மிகவும் சிக்கலானது.

• உபகரணம் மூலம் ஆதாரம்.

நான்கு சம செவ்வக வடிவில் அமைக்கவும்

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி முக்கோணம்

வலதுபுறம்.

பக்கங்களைக் கொண்ட நாற்கர c- சதுரம்,

இரண்டு தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90°, மற்றும்

வளர்ந்த கோணம் 180° ஆகும்.

முழு உருவத்தின் பரப்பளவு ஒருபுறம்,

பக்கத்துடன் ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு ( a+b), மறுபுறம், நான்கு முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும்

கே.இ.டி.

3. எல்லையற்ற முறை மூலம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதாரம்.

​

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைபடத்தைக் கருத்தில் கொண்டு, மற்றும்

பக்க மாற்றம் பார்க்கிறதுஅ, நம்மால் முடியும்

பின்வரும் தொடர்பை எல்லையற்றதாக எழுதவும்

சிறிய பக்க அதிகரிப்புகள்உடன்மற்றும் அ(ஒற்றுமையைப் பயன்படுத்தி

முக்கோணங்கள்):

மாறிகளைப் பிரிக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி, நாம் காண்கிறோம்:

மேலும் பொது வெளிப்பாடுஇரண்டு கால்களின் அதிகரிப்பு ஏற்பட்டால் ஹைபோடென்யூஸை மாற்ற:

இந்த சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைத்து, ஆரம்ப நிலைகளைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

எனவே, நாங்கள் விரும்பிய பதிலை அடைகிறோம்:

பார்ப்பதற்கு எளிதாக இருப்பதால், இறுதி சூத்திரத்தில் இருபடி சார்பு நேரியல் காரணமாக தோன்றுகிறது

முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் அதிகரிப்புகளுக்கும் இடையிலான விகிதாசாரம், கூட்டுத்தொகை சுயாதீனத்துடன் தொடர்புடையது

வெவ்வேறு கால்களின் அதிகரிப்பில் இருந்து பங்களிப்பு.

கால்களில் ஒன்று அதிகரிப்பை அனுபவிக்கவில்லை என்று நாம் கருதினால் எளிமையான ஆதாரத்தைப் பெறலாம்

(இந்த வழக்கில், கால் பி) ஒருங்கிணைப்பு மாறிலிக்கு நாம் பெறுகிறோம்: