Цели на урока:
общо образование:
- проверка на теоретичните знания на учениците (свойства на правоъгълен триъгълник, теоремата на Питагор), способността да ги използват при решаване на проблеми;
- след като създадете проблемна ситуация, доведете учениците до „откриването“ на обратната теорема на Питагор.
развитие:
- развитие на умения за прилагане на теоретичните знания на практика;
- развитие на способността за формулиране на заключения по време на наблюдения;
- развитие на паметта, вниманието, наблюдението:
- развитие на мотивацията за учене чрез емоционално удовлетворение от откритията, чрез въвеждане на елементи от историята на развитието на математическите концепции.
образователен:
- да култивира постоянен интерес към темата чрез изучаване на живота на Питагор;
- насърчаване на взаимопомощ и обективна оценка на знанията на съучениците чрез партньорска проверка.
Форма на урока: клас-урок.
План на урока:
- Организиране на времето.
- Проверка на домашните. Актуализация на знанията.
- Решаване на практически задачи с помощта на Питагоровата теорема.
- Нова тема.
- Първично затвърждаване на знанията.
- Домашна работа.
- Резултати от урока.
- Самостоятелна работа (според индивидуални карти с отгатване на афоризмите на Питагор).
По време на часовете.
Организиране на времето.
Проверка на домашните. Актуализация на знанията.
Учител:Каква задача свършихте у дома?
Ученици:Дадени са две страни на правоъгълен триъгълник, намерете третата страна, подредете отговорите под формата на таблица. Повторете свойствата на ромб и правоъгълник. Повторете какво се нарича условие и какво е заключението на теоремата. Подгответе доклади за живота и работата на Питагор. Донесете въже с 12 възела, завързани за него.
Учител:Проверете отговорите на домашното според таблицата
(данните са в черно, отговорите са в червено).
Учител: Твърденията са написани на дъската. Ако сте съгласни с тях на листовете срещу съответния номер на въпроса, поставете „+“, ако не сте съгласни, поставете „-“.
Твърденията са написани на дъската.
- Хипотенузата е по-голяма от катета.
- Сборът от острите ъгли на правоъгълен триъгълник е 180 0 .
- Площ на правоъгълен триъгълник с крака аи визчислено по формулата S=ab/2.
- Теоремата на Питагор е вярна за всички равнобедрени триъгълници.
- В правоъгълен триъгълник катетът срещу ъгъл 30 0 е равен на половината от хипотенузата.
- Сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата.
- Квадратът на катета е равен на разликата на квадратите на хипотенузата и втория катет.
- Страната на триъгълник е равна на сбора от другите две страни.
Работите се проверяват чрез партньорска проверка. Обсъждат се противоречиви твърдения.
Ключ към теоретичните въпроси.
Учениците се оценяват взаимно по следната система:
8 верни отговора „5”;
6-7 верни отговора “4”;
4-5 верни отговора „3”;
по-малко от 4 верни отговора „2“.
Учител:За какво говорихме в миналия урок?
Студент:За Питагор и неговата теорема.
Учител:Формулирайте Питагоровата теорема. (Няколко ученика четат текста, в този момент 2-3 ученици го доказват на дъската, 6 ученици на първите бюра на листовете).
На магнитната дъска върху картите са написани математически формули. Изберете тези, които отразяват смисъла на Питагоровата теорема, където а и в - катетри, с - хипотенуза.
| 1) c 2 \u003d a 2 + b 2 | 2) c \u003d a + b | 3) a 2 \u003d от 2 - до 2 |
| 4) c 2 \u003d a 2 - в 2 | 5) в 2 \u003d c 2 - a 2 | 6) a 2 \u003d c 2 + в 2 |
Докато учениците, доказващи теоремата на дъската и на полето, не са готови, думата се дава на подготвилите доклади за живота и делото на Питагор.
Ученици, работещи на полето, раздават листовки и слушат свидетелствата на тези, които са работили на дъската.
Решаване на практически задачи с помощта на Питагоровата теорема.
Учител:Предлагам ви практически задачи по изучената теорема. Първо ще посетим гората, след бурята, а след това в провинцията.
Задача 1. След бурята смърчът се счупи. Височината на останалата част е 4,2 м. Разстоянието от основата до падналия връх е 5,6 м. Намерете височината на смърча преди бурята.
Задача 2. Височината на къщата е 4,4 м. Ширината на моравата около къщата е 1,4 м. Колко дълга трябва да бъде направена стълбата, за да не стъпва на моравата и да стига до покрива на къщата?
Нова тема.
Учител:(свири музика)Затворете очи, за няколко минути ще се потопим в историята. Ние сме с вас в Древен Египет. Тук в корабостроителниците египтяните строят прочутите си кораби. Но геодезистите измерват парцели земя, чиито граници са били отмити след разлива на Нил. Строителите строят грандиозни пирамиди, които и до днес ни удивляват с великолепието си. Във всички тези дейности египтяните трябваше да използват прави ъгли. Те знаеха как да ги построят с помощта на въже с 12 възела, вързани на еднакво разстояние един от друг. Опитайте и вие, спорейки като древните египтяни, да изградите правоъгълни триъгълници с помощта на вашите въжета. (Решавайки този проблем, момчетата работят в групи от 4 души. След известно време някой показва конструкцията на триъгълник на таблета на черната дъска).
Страните на получения триъгълник са 3, 4 и 5. Ако завържете още един възел между тези възли, тогава страните му ще станат 6, 8 и 10. Ако по две - 9, 12 и 15. Всички тези триъгълници са правоъгълни, т.к. .
5 2 \u003d 3 2 + 4 2, 10 2 \u003d 6 2 + 8 2, 15 2 = 9 2 + 12 2 и т.н.
Какво свойство трябва да има един триъгълник, за да бъде правоъгълен триъгълник? (Учениците се опитват сами да формулират обратната Питагорова теорема, накрая някой успява).
Как тази теорема е различна от Питагоровата теорема?
Студент:Условието и заключението са обърнати.
Учител:У дома повторихте как се наричат подобни теореми. И така, какво правим сега?
Студент: С обратната теорема на Питагор.
Учител: Запишете темата на урока в тетрадката си. Отворете учебниците си на стр. 127, прочетете това твърдение отново, запишете го в тетрадката си и анализирайте доказателството.
(След няколко минути самостоятелна работа с учебника, по желание един човек на дъската дава доказателство на теоремата).
- Как се казва триъгълник със страни 3, 4 и 5? Защо?
- Кои триъгълници се наричат питагорови триъгълници?
- С какви триъгълници работихте в домашните? А при проблеми с бор и стълба?
Първично затвърждаване на знанията
.Тази теорема помага при решаването на задачи, при които е необходимо да се установи дали триъгълниците са правоъгълни.
Задачи:
1) Разберете дали триъгълникът е правоъгълен, ако страните му са равни:
а) 12,37 и 35; б) 21, 29 и 24.
2) Изчислете височините на триъгълник със страни 6, 8 и 10 cm.
Домашна работа
.Страница 127: Обратна теорема на Питагор. № 498 (а, б, в) № 497.
Резултати от урока.
Какво ново научихте в урока?Самостоятелна работа (извършва се на индивидуални карти).
Учител:У дома повторихте свойствата на ромба и правоъгълника. Избройте ги (има разговор с класа). В последния урок говорихме за факта, че Питагор е многостранен човек. Занимавал се е и с медицина, и с музика, и с астрономия, освен това е бил спортист и е участвал в олимпийски игри. Питагор е бил и философ. Много от неговите афоризми са актуални и днес. Сега ще си свършите работата. Към всяка задача са дадени няколко отговора, до които са написани фрагменти от питагорейски афоризми. Вашата задача е да решите всички задачи, да направите изявление от получените фрагменти и да го запишете.
Питагоровата теорема казва:
В правоъгълен триъгълник сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата:
a 2 + b 2 = c 2,
- аи b- крака, образуващи прав ъгъл.
- се хипотенузата на триъгълника.
Формули на Питагоровата теорема
- a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
- b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
- c = \sqrt (a^(2) + b^(2))
Доказателство на Питагоровата теорема
Площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по формулата:
S = \frac(1)(2)ab
За да се изчисли площта на произволен триъгълник, формулата за площ е:
- стр- полупериметър. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
- rе радиусът на вписаната окръжност. За правоъгълник r=\frac(1)(2)(a+b-c).
След това приравняваме десните страни на двете формули за площта на триъгълник:
\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)
2 ab = (a+b+c) (a+b-c)
2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)
2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)
0=a^(2)+b^(2)-c^(2)
c^(2) = a^(2)+b^(2)
Обратна теорема на Питагор:
Ако квадратът на едната страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни, тогава триъгълникът е правоъгълен. Тоест за всяка тройка положителни числа а, би ° С, така че
a 2 + b 2 = c 2,
има правоъгълен триъгълник с катети аи bи хипотенуза ° С.
Питагорова теорема- една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник. Доказано е от учения математик и философ Питагор.
Значението на теорематав това, че може да се използва за доказване на други теореми и решаване на проблеми.
Допълнителен материал:
Разглеждането на темите от училищната програма с помощта на видео уроци е удобен начин за изучаване и усвояване на материала. Видеото помага да се фокусира вниманието на учениците върху основните теоретични моменти и да не се пропускат важни подробности. Ако е необходимо, учениците винаги могат да прослушат видео урока отново или да се върнат няколко теми назад.
Този видео урок за 8. клас ще помогне на учениците да научат нова тема по геометрия.
В предишната тема изучавахме Питагоровата теорема и анализирахме нейното доказателство.
Има и теорема, която е известна като обратната теорема на Питагор. Нека го разгледаме по-подробно.
Теорема. Триъгълникът е правоъгълен, ако отговаря на равенството: стойността на едната страна на триъгълника на квадрат е същата като сумата на другите две страни на квадрат.
Доказателство. Да предположим, че ни е даден триъгълник ABC, в който е вярно равенството AB 2 = CA 2 + CB 2. Трябва да докажем, че ъгъл С е 90 градуса. Да разгледаме триъгълник A 1 B 1 C 1, в който ъгълът C 1 е 90 градуса, страната C 1 A 1 е равна на CA и страната B 1 C 1 е равна на BC.
Прилагайки Питагоровата теорема, записваме отношението на страните в триъгълника A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 . Като заменим израза с равни страни, получаваме A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2.
От условията на теоремата знаем, че AB 2 = CA 2 + CB 2 . Тогава можем да запишем A 1 B 1 2 = AB 2 , което означава, че A 1 B 1 = AB.
Установихме, че в триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 трите страни са равни: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Така че тези триъгълници са еднакви. От равенството на триъгълниците следва, че ъгълът C е равен на ъгъла C 1 и съответно е равен на 90 градуса. Установихме, че триъгълник ABC е правоъгълен триъгълник и неговият ъгъл C е 90 градуса. Доказахме тази теорема.
След това авторът дава пример. Да предположим, че ни е даден произволен триъгълник. Размерите на страните му са известни: 5, 4 и 3 единици. Нека проверим твърдението от теоремата, обратна на Питагоровата теорема: 5 2 = 3 2 + 4 2 . Ако твърдението е вярно, тогава дадения триъгълник е правоъгълен.
В следващите примери триъгълниците също ще бъдат правоъгълни, ако страните им са равни:
5, 12, 13 единици; вярно е равенството 13 2 = 5 2 + 12 2;
8, 15, 17 единици; уравнението 17 2 = 8 2 + 15 2 е вярно;
7, 24, 25 единици; уравнението 25 2 = 7 2 + 24 2 е вярно.
Концепцията за триъгълника на Питагор е известна. Това е правоъгълен триъгълник, чиито стойности на страните са цели числа. Ако краката на питагоровия триъгълник са означени с a и c и хипотенузата b, тогава стойностите на страните на този триъгълник могат да бъдат записани с помощта на следните формули:
b \u003d k x (m 2 - n 2)
c \u003d k x (m 2 + n 2)
където m, n, k са произволни естествени числа и стойността на m е по-голяма от стойността на n.
Интересен факт: триъгълник със страни 5, 4 и 3 се нарича още египетски триъгълник, такъв триъгълник е бил известен в древен Египет.
В този видео урок се запознахме с теоремата, обратна на Питагоровата теорема. Разгледайте подробно доказателството. Учениците научиха и кои триъгълници се наричат Питагорови триъгълници.
Учениците могат лесно да се запознаят сами с темата "Теорема, обратна на Питагоровата теорема" с помощта на този видео урок.
Според ван дер Ваерден е много вероятно съотношението в обща форма вече да е било известно във Вавилон около 18 век пр.н.е. д.
Приблизително 400 г. пр.н.е. д., според Прокъл, Платон дава метод за намиране на питагорови тройки, комбинирайки алгебра и геометрия. Около 300 г. пр.н.е. д. в "Елементите" на Евклид се появява най-старото аксиоматично доказателство на Питагоровата теорема.
Формулировка
Основната формулировка съдържа алгебрични операции - в правоъгълен триъгълник, дължините на краката на който са равни a (\displaystyle a)и b (\displaystyle b), а дължината на хипотенузата е c (\displaystyle c), релацията е изпълнена:
.Възможна е и еквивалентна геометрична формулировка, прибягвайки до концепцията за площ фигура: в правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху краката. В тази форма теоремата е формулирана в Принципите на Евклид.
Обратна теорема на Питагор- твърдението за правоъгълността на всеки триъгълник, чиито дължини на страните са свързани с отношението a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Като следствие, за всяка тройка положителни числа a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)и c (\displaystyle c), така че a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), има правоъгълен триъгълник с катети a (\displaystyle a)и b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c).
Доказателство за
В научната литература са записани най-малко 400 доказателства на Питагоровата теорема, което се обяснява както с фундаменталната стойност за геометрията, така и с елементарния характер на резултата. Основните направления на доказателствата са: алгебрично използване на съотношенията на елементите триъгълник (такъв например е популярният метод на подобие), метод на площта, има и различни екзотични доказателства (например използване на диференциални уравнения).
Чрез подобни триъгълници
Класическото доказателство на Евклид има за цел да установи равенството на площите между правоъгълниците, образувани чрез разрязване на квадрата над хипотенузата с височина от прав ъгъл с квадратите над катетите.
Използваната конструкция за доказателството е следната: за правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C (\displaystyle C), квадрати върху катетите и и квадрати върху хипотенузата A B I K (\displaystyle ABIK)височина се изгражда C H (\displaystyle CH)и лъча, който го продължава s (\displaystyle s), разделяне на квадрата над хипотенузата на два правоъгълника и . Доказателството има за цел да установи равенството на площите на правоъгълника A H J K (\displaystyle AHJK)с каре над крака A C (\displaystyle AC); равенството на площите на втория правоъгълник, който е квадрат над хипотенузата, и правоъгълника над другия катет се установява по подобен начин.
Равенство на площите на правоъгълник A H J K (\displaystyle AHJK)и A C E D (\displaystyle ACED)установени чрез конгруентност на триъгълници △ A C K (\displaystyle \триъгълник ACK)и △ A B D (\displaystyle \триъгълник ABD), площта на всеки от които е равна на половината от площта на квадратите A H J K (\displaystyle AHJK)и A C E D (\displaystyle ACED)съответно във връзка със следното свойство: площта на триъгълник е равна на половината от площта на правоъгълник, ако фигурите имат обща страна, а височината на триъгълника към общата страна е другата страна на правоъгълника. Конгруентността на триъгълниците следва от равенството на двете страни (страни на квадрати) и ъгъла между тях (съставен от прав ъгъл и ъгъл при A (\displaystyle A).
По този начин доказателството установява, че площта на квадрата над хипотенузата, съставена от правоъгълници A H J K (\displaystyle AHJK)и B H J I (\displaystyle BHJI), е равна на сумата от площите на квадратите над краката.
Доказателство за Леонардо да Винчи
Методът на площта включва и доказателството, намерено от Леонардо да Винчи. Нека има правоъгълен триъгълник △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC)прав ъгъл C (\displaystyle C)и квадрати A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)и A B H J (\displaystyle ABHJ)(виж снимката). В това доказателство отстрани H J (\displaystyle HJ)последният, триъгълник е конструиран отвън, равен △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC), освен това, отразени както спрямо хипотенузата, така и спрямо височината към нея (т.е. J I = B C (\displaystyle JI=BC)и H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Направо C I (\displaystyle CI)разделя квадрата, построен върху хипотенузата, на две равни части, тъй като триъгълници △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC)и △ J H I (\displaystyle \триъгълник JHI)са равни по конструкция. Доказателството установява съответствието на четириъгълниците C A J I (\displaystyle CAJI)и D A B G (\displaystyle DABG), площта на всеки от които, от една страна, е равна на сумата от половината площи на квадратите на краката и площта на оригиналния триъгълник, от друга страна, на половината от площта на квадратът върху хипотенузата плюс площта на първоначалния триъгълник. Общо половината от сумата на площите на квадратите над краката е равна на половината от площта на квадрата над хипотенузата, което е еквивалентно на геометричната формулировка на Питагоровата теорема.
Доказателство по метода на безкрайно малките
Има няколко доказателства, използващи техниката на диференциалните уравнения. По-специално, на Харди се приписва доказателство, използващо безкрайно малки стъпки на краката a (\displaystyle a)и b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c), и запазване на сходството с оригиналния правоъгълник, тоест осигуряване на изпълнението на следните диференциални отношения:
d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).Чрез метода на разделяне на променливите от тях се извежда диференциално уравнение c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), чието интегриране дава отношението c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Приложение на началните условия a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)дефинира константа като 0, което води до твърдението на теоремата.
Квадратната зависимост в крайната формула се появява поради линейната пропорционалност между страните на триъгълника и увеличенията, докато сумата се дължи на независимите приноси от нарастването на различните катети.
Вариации и обобщения
Подобни геометрични фигури от три страни
Важно геометрично обобщение на Питагоровата теорема е дадено от Евклид в "Началата", преминавайки от областите на квадратите отстрани към областите на произволни подобни геометрични фигури: сумата от площите на такива фигури, построени върху краката, ще бъде равна на площта на подобна на тях фигура, построена върху хипотенузата.
Основната идея на това обобщение е, че площта на такава геометрична фигура е пропорционална на квадрата на всяко от нейните линейни измерения и по-специално на квадрата на дължината на всяка страна. Следователно, за подобни фигури с области A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)и C (\displaystyle C)изградени на крака с дължини a (\displaystyle a)и b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c)съответно има връзка:
A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).Тъй като според Питагоровата теорема a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), тогава е направено.
Освен това, ако е възможно да се докаже без използване на Питагоровата теорема, че за площите на три подобни геометрични фигури от страните на правоъгълен триъгълник, отношението A + B = C (\displaystyle A+B=C), тогава използвайки обратното доказателство на обобщението на Евклид, можем да изведем доказателството на Питагоровата теорема. Например, ако върху хипотенузата построим правоъгълен триъгълник, равен на началния с площ C (\displaystyle C), а на краката - два подобни правоъгълни триъгълника с площи A (\displaystyle A)и B (\displaystyle B), тогава се оказва, че триъгълниците на краката се образуват в резултат на разделянето на първоначалния триъгълник на неговата височина, тоест сумата от две по-малки площи на триъгълниците е равна на площта на третия, по този начин A + B = C (\displaystyle A+B=C)и, прилагайки връзката за подобни фигури, се извежда Питагоровата теорема.
Косинусова теорема
Питагоровата теорема е специален случай на по-общата косинусова теорема, която свързва дължините на страните в произволен триъгълник:
a 2 + b 2 − 2 a b cos θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),където е ъгълът между страните a (\displaystyle a)и b (\displaystyle b). Ако ъгълът е 90°, тогава cos θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), а формулата се опростява до обичайната Питагорова теорема.
Произволен триъгълник
Съществува обобщение на Питагоровата теорема за произволен триъгълник, работещо единствено върху съотношението на дължините на страните, смята се, че е установено за първи път от сабийския астроном Сабит ибн Кура. В него за произволен триъгълник със страни равнобедрен триъгълник с основа на страната c (\displaystyle c), като върхът съвпада с върха на оригиналния триъгълник, срещу страната c (\displaystyle c)и ъгли при основата, равни на ъгъла θ (\displaystyle \theta )обратната страна c (\displaystyle c). В резултат на това се образуват два триъгълника, подобни на оригиналния: първият със страни a (\displaystyle a), страничната страна на вписания равнобедрен триъгълник далеч от него, и r (\displaystyle r)- странични части c (\displaystyle c); вторият е симетричен на него отстрани b (\displaystyle b)с парти s (\displaystyle s)- съответната част от страната c (\displaystyle c). В резултат на това се изпълнява връзката:
a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),която се изражда в Питагоровата теорема при θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Съотношението е следствие от сходството на образуваните триъгълници:
c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).Теорема за площта на Папус
Неевклидова геометрия
Питагоровата теорема е извлечена от аксиомите на евклидовата геометрия и е невалидна за неевклидовата геометрия - изпълнението на питагоровата теорема е еквивалентно на постулата на евклидовия паралелизъм.
В неевклидовата геометрия връзката между страните на правоъгълен триъгълник непременно ще бъде във форма, различна от Питагоровата теорема. Например в сферичната геометрия и трите страни на правоъгълен триъгълник, които ограничават октанта на единичната сфера, имат дължина π / 2 (\displaystyle \pi /2), което противоречи на Питагоровата теорема.
Освен това Питагоровата теорема е валидна в хиперболичната и елиптичната геометрия, ако изискването триъгълникът да е правоъгълен се замени с условието сборът от два ъгъла на триъгълника да е равен на третия.
сферична геометрия
За всеки правоъгълен триъгълник върху сфера с радиус R (\displaystyle R)(например, ако ъгълът в триъгълника е прав) със страни a , b , c (\displaystyle a,b,c)отношението между страните е:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).Това равенство може да се изведе като специален случай на теоремата за сферичен косинус, която е валидна за всички сферични триъгълници:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) + sin (a R) ⋅ sin (b R) ⋅ cos γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch c = ch a ⋅ ch b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),където ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- хиперболичен косинус. Тази формула е специален случай на хиперболичната косинусова теорема, която е валидна за всички триъгълници:
ch c = ch a ⋅ ch b − sh a ⋅ sh b ⋅ cos γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \име на оператор (sh) b\cdot \cos \gamma ),където γ (\displaystyle \gamma )- ъгъл, чийто връх е противоположен на страна c (\displaystyle c).
Използване на серията на Тейлър за хиперболичния косинус ( ch x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\приблизително 1+x^(2)/2)) може да се покаже, че ако хиперболичният триъгълник намалява (тоест, когато a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)и c (\displaystyle c)клонят към нула), тогава хиперболичните отношения в правоъгълен триъгълник се доближават до отношението на класическата Питагорова теорема.
Приложение
Разстояние в двумерни правоъгълни системи
Най-важното приложение на Питагоровата теорема е да се определи разстоянието между две точки в правоъгълна система координати: разстояние s (\displaystyle s)между точки с координати (a, b) (\displaystyle (a,b))и (c, d) (\displaystyle (c,d))се равнява:
s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).За комплексни числа Питагоровата теорема дава естествена формула за намиране на модул комплексно число – за z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)тя е равна на дължината
Питагорова теорема- една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката
между страните на правоъгълен триъгълник.
Смята се, че е доказано от гръцкия математик Питагор, на когото е кръстена.
Геометрична формулировка на Питагоровата теорема.
Първоначално теоремата е формулирана по следния начин:
В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите,
изградени върху катетри.
Алгебрична формулировка на Питагоровата теорема.
В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на катетите.
Тоест, обозначавайки дължината на хипотенузата на триъгълника през ° С, и дължините на краката през аи b:
И двете формулировки питагорови теоремиса еквивалентни, но втората формулировка е по-елементарна, не е така
изисква концепцията за площ. Тоест второто твърдение може да се провери, без да се знае нищо за района и
чрез измерване само на дължините на страните на правоъгълен триъгълник.
Обратната теорема на Питагор.
Ако квадратът на едната страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни, тогава
триъгълникът е правоъгълен.
Или с други думи:
За всяка тройка положителни числа а, bи ° С, така че
има правоъгълен триъгълник с катети аи bи хипотенуза ° С.
Питагоровата теорема за равнобедрен триъгълник.
Питагорова теорема за равностранен триъгълник.
Доказателства на Питагоровата теорема.
Към момента в научната литература са записани 367 доказателства на тази теорема. Вероятно теоремата
Питагоровата теорема е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Такова разнообразие
може да се обясни само с фундаменталното значение на теоремата за геометрията.
Разбира се, концептуално всички те могат да бъдат разделени на малък брой класове. Най-известните от тях:
доказателство за метод на площта, аксиоматичени екзотични доказателства(например,
като се използва диференциални уравнения).
1. Доказателство на Питагоровата теорема от гледна точка на подобни триъгълници.
Следното доказателство на алгебричната формулировка е най-простото от конструираните доказателства
директно от аксиомите. По-специално, той не използва концепцията за площта на фигурата.
Позволявам ABCима правоъгълен триъгълник ° С. Нека начертаем височина от ° Си обозначават
нейната основа чрез з.
Триъгълник ACHподобен на триъгълник AB C на два ъгъла. По същия начин, триъгълникът CBHподобен ABC.
Чрез въвеждане на нотацията:
получаваме:
,
което съвпада -
Като фолдна а 2 и b 2, получаваме:
или , което трябваше да се докаже.
2. Доказателство на Питагоровата теорема по метода на площта.
Следващите доказателства, въпреки привидната си простота, изобщо не са толкова прости. Всички тях
използвайте свойствата на областта, чието доказателство е по-сложно от доказателството на самата питагорова теорема.
- Доказателство чрез равнодопълване.
Подредете четири еднакви правоъгълни
триъгълник, както е показано на снимката
на дясно.
Четириъгълник със страни ° С- квадрат,
тъй като сумата от два остри ъгъла е 90°, и
развитият ъгъл е 180°.
Площта на цялата фигура е, от една страна,
площ на квадрат със страна ( a+b), а от друга страна, сумата от площите на четири триъгълника и
Q.E.D.
3. Доказателство на Питагоровата теорема по метода на безкрайно малките.
Като се има предвид чертежът, показан на фигурата, и
гледам как се сменя странатаа, ние можем
напишете следната връзка за безкрайност
малък странични увеличенияси а(използвайки прилика
триъгълници):
Използвайки метода за разделяне на променливи, намираме:
По-общ израз за промяна на хипотенузата в случай на нарастване на двата крака:
Интегрирайки това уравнение и използвайки началните условия, получаваме:
Така стигаме до желания отговор:
Както е лесно да се види, квадратичната зависимост в крайната формула се появява поради линейната
пропорционалност между страните на триъгълника и увеличенията, докато сумата е свързана с независимата
приноси от нарастването на различни крака.
Може да се получи по-просто доказателство, ако приемем, че един от краката не изпитва нарастване
(в този случай кракът b). Тогава за интеграционната константа получаваме:
