Už sme hovorili o tom, čo je mocnina čísla. Má určité vlastnosti, ktoré sú užitočné pri riešení problémov: v tomto článku ich a všetky možné exponenty analyzujeme. Na príkladoch si tiež názorne ukážeme, ako sa dajú dokázať a správne aplikovať v praxi.
Pripomeňme si skôr formulovaný pojem stupňa s prirodzeným exponentom: ide o súčin n-tého počtu faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Budeme si tiež musieť zapamätať, ako správne násobiť reálne čísla. To všetko nám pomôže sformulovať nasledujúce vlastnosti pre stupeň s prirodzeným exponentom:
Definícia 1
1. Hlavná vlastnosť stupňa: a m · a n = a m + n
Možno zovšeobecniť na: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
2. Vlastnosť kvocientu pre stupne s rovnakými základmi: a m: a n = a m − n
3. Výkonová vlastnosť produktu: (a · b) n = a n · b n
Rovnosť možno rozšíriť na: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n
4. Vlastnosť kvocientu k prirodzenému stupňu: (a: b) n = a n: b n
5. Zvýšte výkon na mocninu: (a m) n = a m n ,
Možno zovšeobecniť na: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k
6. Porovnajte stupeň s nulou:
- ak a > 0, potom pre ľubovoľné prirodzené číslo n bude a n väčšie ako nula;
- s rovným 0 sa a n bude tiež rovnať nule;
- v a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- v a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. Rovnosť a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. Nerovnosť a m > a n bude pravdivá za predpokladu, že m a n sú prirodzené čísla, m je väčšie ako n a a je väčšie ako nula a nie menšie ako jedna.
V dôsledku toho sme dostali niekoľko rovností; ak sú splnené všetky vyššie uvedené podmienky, budú totožné. Pre každú z rovnosti, napríklad pre hlavnú vlastnosť, môžete zameniť pravú a ľavú stranu: a m · a n = a m + n - to isté ako a m + n = a m · a n. V tejto forme sa často používa na zjednodušenie výrazov.
1. Začnime základnou vlastnosťou stupňa: rovnosť a m · a n = a m + n bude platiť pre akékoľvek prirodzené m a n a skutočné a. Ako toto tvrdenie dokázať?
Základná definícia mocnín s prirodzenými exponentmi nám umožní transformovať rovnosť na súčin faktorov. Dostaneme takýto záznam:
Toto sa dá skrátiť na 
(zapamätajte si základné vlastnosti násobenia). Vo výsledku sme dostali mocninu čísla a s prirodzeným exponentom m + n. Teda a m + n, čo znamená, že hlavná vlastnosť stupňa bola dokázaná.
Poďme to vyriešiť konkrétny príklad, čo potvrdzuje.
Príklad 1
Takže máme dve mocniny so základom 2. Ich prirodzené ukazovatele sú 2 a 3. Máme rovnosť: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Vypočítajme hodnoty, aby sme skontrolovali platnosť tejto rovnosti.
Vykonajte potrebné matematické operácie: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 a 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32
Výsledkom je: 2 2 · 2 3 = 2 5. Nehnuteľnosť bola preukázaná.
Vďaka vlastnostiam násobenia môžeme vlastnosť zovšeobecniť tak, že ju sformulujeme vo forme troch alebo viacerých mocnín, v ktorých sú exponenty prirodzené čísla a základy sú rovnaké. Ak počet prirodzených čísel n 1, n 2 atď. označíme písmenom k, dostaneme správnu rovnosť:
a n 1 · a n 2 · ... · a n k = a n 1 + n 2 + ... + n k .
Príklad 2
2. Ďalej musíme dokázať nasledujúcu vlastnosť, ktorá sa nazýva kvocientová vlastnosť a je vlastná mocninám s rovnakými základmi: toto je rovnosť a m: a n = a m − n, ktorá platí pre ľubovoľné prirodzené ma n (a m je väčšie ako n)) a akékoľvek nenulové skutočné a .
Na začiatok si ujasnime, čo presne znamenajú podmienky, ktoré sú uvedené vo formulácii. Ak vezmeme a rovná sa nule, skončíme delením nulou, čo nemôžeme urobiť (napokon, 0 n = 0). Podmienka, že číslo m musí byť väčšie ako n, je nevyhnutná, aby sme zostali v medziach prirodzených exponentov: odčítaním n od m dostaneme prirodzené číslo. Ak podmienka nie je splnená, skončíme so záporným číslom alebo nulou a opäť pôjdeme nad rámec štúdia stupňov s prirodzenými exponentmi.
Teraz môžeme prejsť k dôkazu. Z toho, čo sme predtým študovali, si pripomeňme základné vlastnosti zlomkov a formulujme rovnosť takto:
a m − n · a n = a (m − n) + n = a m
Z toho môžeme odvodiť: a m − n · a n = a m
Pripomeňme si súvislosť medzi delením a násobením. Z neho vyplýva, že a m − n je podiel mocnín a m a a n . Toto je dôkaz druhej vlastnosti stupňa.
Príklad 3
Pre prehľadnosť dosaďte do exponentov konkrétne čísla a označme základ stupňa ako π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3
3. Ďalej budeme analyzovať vlastnosť mocniny súčinu: (a · b) n = a n · b n pre ľubovoľné reálne a a b a prirodzené n.
Podľa základnej definície mocniny s prirodzeným exponentom môžeme rovnosť preformulovať takto:
Pripomínajúc si vlastnosti násobenia, píšeme: 
. To znamená to isté ako a n · b n .
Príklad 4
2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4
Ak máme tri a viac faktorov, tak táto vlastnosť platí aj pre tento prípad. Zavedme označenie k pre počet faktorov a napíšme:
(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · ... · a k n
Príklad 5
S konkrétnymi číslami dostaneme nasledujúcu správnu rovnosť: (2 · (- 2 , 3) · a) 7 = 2 7 · (- 2, 3) 7 · a
4. Potom sa pokúsime dokázať vlastnosť kvocientu: (a: b) n = a n: b n pre ľubovoľné reálne a a b, ak b sa nerovná 0 a n je prirodzené číslo.
Aby ste to dokázali, môžete použiť predchádzajúcu vlastnosť stupňov. Ak (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n , a (a: b) n · b n = a n , potom z toho vyplýva, že (a: b) n je podiel delenia a n podľa b n.
Príklad 6
Vypočítajme príklad: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0, 5) 3
Príklad 7
Začnime hneď príkladom: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6
Teraz sformulujme reťazec rovnosti, ktorý nám dokáže, že rovnosť je pravdivá: 
Ak máme v príklade stupne stupňov, potom táto vlastnosť platí aj pre nich. Ak máme nejaké prirodzené čísla p, q, r, s, potom to bude pravda:
a p q y s = a p q y s
Príklad 8
Pridajme niektoré špecifiká: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30
6. Ďalšou vlastnosťou mocnín s prirodzeným exponentom, ktorú potrebujeme dokázať, je vlastnosť porovnávania.
Najprv porovnajme stupeň s nulou. Prečo je a n > 0 za predpokladu, že a je väčšie ako 0?
Ak vynásobíme jedno kladné číslo druhým, dostaneme aj kladné číslo. Keď poznáme túto skutočnosť, môžeme povedať, že nezávisí od počtu faktorov - výsledkom vynásobenia ľubovoľného počtu kladných čísel je kladné číslo. Aký je stupeň, ak nie výsledok násobenia čísel? Potom to bude platiť pre akúkoľvek mocninu a n s kladným základom a prirodzeným exponentom.
Príklad 9
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 a 34 9 13 51 > 0
Je tiež zrejmé, že mocnina so základom rovným nule je sama osebe nula. Bez ohľadu na to, na akú silu zvýšime nulu, zostane nula.
Príklad 10
03 = 0 a 0,62 = 0
Ak je základom stupňa záporné číslo, potom je dôkaz o niečo komplikovanejší, pretože pojem párny/nepárny exponent sa stáva dôležitým. Zoberme si najprv prípad, keď je exponent párny, a označme ho 2 · m, kde m je prirodzené číslo.
Pripomeňme si, ako správne vynásobiť záporné čísla: súčin a · a sa rovná súčinu modulov, a preto to bude kladné číslo. Potom 
a stupeň a 2 m sú tiež pozitívne.
Príklad 11
Napríklad (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 a - 2 9 6 > 0
Čo ak je exponent so záporným základom nepárne číslo? Označme to 2 · m − 1 .
Potom 
Všetky súčiny a · a sú podľa vlastností násobenia kladné a ich súčin tiež. Ak ho však vynásobíme jediným zostávajúcim číslom a, konečný výsledok bude záporný.
Potom dostaneme: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
Ako to dokázať?
a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
Príklad 12
Napríklad sú pravdivé nasledujúce nerovnosti: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. Musíme len dokázať poslednú vlastnosť: ak máme dve mocniny, ktorých základy sú rovnaké a kladné a ktorých exponenty sú prirodzené čísla, potom tá, ktorej exponent je menší, je väčšia; a z dvoch mocnín s prirodzenými exponentmi a rovnakými základňami väčšími ako jedna je tá, ktorej exponent je väčší, väčšia.
Dokážme tieto tvrdenia.
Najprv sa musíme uistiť, že m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
Zo zátvoriek vyberme a n, po ktorom bude náš rozdiel mať tvar a n · (a m − n − 1) . Jeho výsledok bude záporný (pretože výsledok vynásobenia kladného čísla záporným číslom je záporný). Koniec koncov, podľa počiatočných podmienok je m − n > 0, potom a m − n − 1 je záporné a prvý faktor je kladný, ako každý iný prirodzený stupeň s pozitívnym základom.
Ukázalo sa, že a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
Zostáva dokázať druhú časť vyššie formulovaného tvrdenia: a m > a platí pre m > n a a > 1. Označme rozdiel a zo zátvoriek dáme a n: (a m − n − 1) Mocnina a n pre väčšie ako jedna dáva kladný výsledok; a samotný rozdiel sa tiež ukáže ako kladný v dôsledku počiatočných podmienok a pre a > 1 je stupeň a m − n väčší ako jedna. Ukazuje sa, že a m − a n > 0 a a m > a n , čo sme potrebovali dokázať.
Príklad 13
Príklad s konkrétnymi číslami: 3 7 > 3 2
Základné vlastnosti stupňov s celočíselnými exponentmi
Pre mocniny s kladnými celočíselnými exponentmi budú vlastnosti podobné, pretože kladné celé čísla sú prirodzené čísla, čo znamená, že všetky vyššie dokázané rovnosti platia aj pre ne. Sú vhodné aj pre prípady, keď sú exponenty záporné alebo rovné nule (za predpokladu, že samotný základ stupňa je nenulový).
Vlastnosti mocnin sú teda rovnaké pre všetky základy a a b (za predpokladu, že tieto čísla sú reálne a nerovnajú sa 0) a pre všetky exponenty m a n (za predpokladu, že ide o celé čísla). Napíšme ich stručne vo forme vzorcov:
Definícia 2
1. a m · a n = a m + n
2. a m: a n = a m − n
3. (a · b) n = a n · b n
4. (a: b) n = a n: b n
5. (a m) n = a m n
6. a n< b n и a − n >b − n je predmetom kladného celého čísla n, kladné aab, a< b
7:00< a n , при условии целых m и n , m >n a 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .
Ak je základ stupňa nula, potom položky a m a a n majú zmysel iba v prípade prirodzeného a kladného m a n. Výsledkom je, že vyššie uvedené formulácie sú vhodné aj pre prípady s mocnosťou s nulovým základom, ak sú splnené všetky ostatné podmienky.
Dôkaz o týchto vlastnostiach v v tomto prípade nie zložité. Budeme si musieť zapamätať, čo je stupeň s prirodzeným a celočíselným exponentom, ako aj vlastnosti operácií s reálnymi číslami.
Pozrime sa na vlastnosť power-to-power a dokážme, že platí pre kladné aj záporné celé čísla. Začnime dôkazom rovnosti (a p) q = a p · q, (a − p) q = a (− p) · q, (a p) − q = a p · (− q) a (a − p) − q = a (− p) · (− q)
Podmienky: p = 0 alebo prirodzené číslo; q – podobné.
Ak sú hodnoty p a q väčšie ako 0, potom dostaneme (a p) q = a p · q. Podobnú rovnosť sme už dokázali. Ak p = 0, potom:
(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1
Preto (a 0) q = a 0 q
Pre q = 0 je všetko úplne rovnaké:
(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1
Výsledok: (a p) 0 = a p · 0 .
Ak sú oba ukazovatele nula, potom (a 0) 0 = 1 0 = 1 a a 0 · 0 = a 0 = 1, čo znamená (a 0) 0 = a 0 · 0.
Pripomeňme si vlastnosť kvocientov do vyššie dokázanej miery a napíšme:
1 a p q = 1 q a p q
Ak 1 p = 1 1 … 1 = 1 a a p q = a p q, potom 1 q a p q = 1 a p q
Tento zápis môžeme transformovať na základe základných pravidiel násobenia na a (− p) · q.
Tiež: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .
A (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)
Zostávajúce vlastnosti stupňa sa dajú dokázať podobným spôsobom transformáciou existujúcich nerovností. Nebudeme sa tým podrobne zaoberať, poukážeme len na zložité body.
Dôkaz predposlednej vlastnosti: pripomeňme, že a − n > b − n platí pre všetky záporné celočíselné hodnoty n a akékoľvek kladné hodnoty a a b, za predpokladu, že a je menšie ako b.
Potom možno nerovnosť transformovať takto:
1 a n > 1 b n
Napíšme pravú a ľavú stranu ako rozdiel a vykonajte potrebné transformácie:
1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n
Pripomeňme, že v podmienke a je menšie ako b, potom podľa definície stupňa s prirodzeným exponentom: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
a n · b n je nakoniec kladné číslo, pretože jeho faktory sú kladné. Výsledkom je zlomok b n - a n a n · b n, ktorý v konečnom dôsledku tiež dáva pozitívny výsledok. Preto 1 a n > 1 b n, odkiaľ a − n > b − n , čo sme potrebovali dokázať.
Posledná vlastnosť mocnin s celočíselnými exponentmi sa dokazuje podobne ako vlastnosť mocnin s prirodzenými exponentmi.
Základné vlastnosti mocnín s racionálnymi exponentmi
V predchádzajúcich článkoch sme sa pozreli na to, čo je to stupeň s racionálnym (zlomkovým) exponentom. Ich vlastnosti sú rovnaké ako u stupňov s celočíselnými exponentmi. Zapíšme si:
Definícia 3
1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 pre a > 0, a ak m 1 n 1 > 0 a m 2 n 2 > 0, potom pre a ≥ 0 (vlastnosť produktu stupňa s rovnakými základmi).
2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, ak a > 0 (vlastnosť kvocientu).
3. a · b m n = a m n · b m n pre a > 0 a b > 0, a ak m 1 n 1 > 0 a m 2 n 2 > 0, potom pre a ≥ 0 a (alebo) b ≥ 0 (vlastnosť produktu v zlomkový stupeň).
4. a: b m n = a m n: b m n pre a > 0 a b > 0, a ak m n > 0, potom pre a ≥ 0 a b > 0 (vlastnosť kvocientu k zlomkovej mocnine).
5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 pre a > 0, a ak m 1 n 1 > 0 a m 2 n 2 > 0, potom pre a ≥ 0 (vlastnosť stupňa v stupňoch).
6.a str< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; ak p< 0 - a p >b p (vlastnosť porovnávania mocnín s rovnakými racionálnymi exponentmi).
7.a str< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q pri 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q
Aby sme dokázali tieto ustanovenia, musíme si zapamätať, čo je stupeň so zlomkovým exponentom, aké sú vlastnosti aritmetického koreňa n-tého stupňa a aké sú vlastnosti stupňa s celočíselnými exponentmi. Pozrime sa na každú nehnuteľnosť.
Podľa toho, aký je stupeň so zlomkovým exponentom, dostaneme:
a m 1 n 1 = a m 1 n 1 a a m 2 n 2 = a m 2 n 2, teda a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2
Vlastnosti koreňa nám umožnia odvodiť rovnosti:
a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2
Z toho dostaneme: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2
Poďme previesť:
a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2
Exponent môže byť napísaný ako:
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
Toto je dôkaz. Druhá vlastnosť sa dokazuje úplne rovnakým spôsobom. Napíšme reťazec rovnosti:
a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 - m 2 n 2
Dôkazy o zostávajúcej rovnosti:
a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n; (a: b) mn = (a: b) mn = am: bmn = = amn: bmn = amn: bmn; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = m = a m 1 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2
Ďalšia vlastnosť: dokážme, že pre všetky hodnoty a a b väčšie ako 0, ak a je menšie ako b, bude splnené a p< b p , а для p больше 0 - a p >b p
Reprezentujme racionálne číslo p ako m n. V tomto prípade m je celé číslo, n je prirodzené číslo. Potom podmienky p< 0 и p >0 sa rozšíri na m< 0 и m >0 Pre m > 0 a a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
Využívame vlastnosť koreňov a výstup: a m n< b m n
Berúc do úvahy kladné hodnoty a a b, prepíšeme nerovnosť ako a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
Rovnakým spôsobom pre m< 0 имеем a a m >b m , dostaneme a m n > b m n , čo znamená a m n > b m n a a p > b p .
Zostáva nám predložiť doklad o poslednej nehnuteľnosti. Dokážme, že pre racionálne čísla p a q platí p > q pri 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 bude pravdivé a p > a q .
Racionálne čísla p a q možno zredukovať na spoločného menovateľa a získať zlomky m 1 n a m 2 n
Tu m 1 a m 2 sú celé čísla a n je prirodzené číslo. Ak p > q, potom m 1 > m 2 (berúc do úvahy pravidlo pre porovnávanie zlomkov). Potom o 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – nerovnosť a 1 m > a 2 m.
Môžu byť prepísané takto:
a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n
Potom môžete vykonávať transformácie a skončiť s:
a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n
Aby sme to zhrnuli: pre p > q a 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .
Základné vlastnosti mocnín s iracionálnymi exponentmi
Do takej miery je možné rozšíriť všetky vlastnosti opísané vyššie, ktoré má stupeň s racionálnymi exponentmi. Vyplýva to už z jeho samotnej definície, ktorú sme uviedli v jednom z predchádzajúcich článkov. Stručne sformulujme tieto vlastnosti (podmienky: a > 0, b > 0, exponenty p a q sú iracionálne čísla):
Definícia 4
1. a p · a q = a p + q
2. a p: a q = a p − q
3. (a · b) p = a p · b p
4. (a: b) p = a p: b p
5. (a p) q = a p · q
6.a str< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b p
7.a str< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, potom a p > a q.
Teda všetky mocniny, ktorých exponenty p a q sú reálne čísla, za predpokladu a > 0, majú rovnaké vlastnosti.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Pripomíname, že v tejto lekcii budeme rozumieť vlastnosti stupňov s prirodzenými ukazovateľmi a nulou. Mocniny s racionálnymi exponentmi a ich vlastnosti budú rozoberané na hodinách pre 8. ročník.
Mocnina s prirodzeným exponentom má niekoľko dôležitých vlastností, ktoré nám umožňujú zjednodušiť výpočty v príkladoch s mocninami.
Nehnuteľnosť č.1
Súčin síl
Pamätajte!
Pri násobení mocnín s rovnakými základmi zostáva základ nezmenený a mocniny sa sčítavajú.
a m · a n = a m + n, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.
Táto vlastnosť mocnín platí aj pre súčin troch a viacerých mocnín.
- Zjednodušte výraz.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Prezentujte to ako diplom.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Prezentujte to ako diplom.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Dôležité!
Upozorňujeme, že v uvedenej vlastnosti sme hovorili iba o násobení síl s z rovnakých dôvodov . Nevzťahuje sa na ich sčítanie.
Súčet (3 3 + 3 2) nemôžete nahradiť 3 5. To je pochopiteľné, ak
vypočítať (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 a 3 5 = 243
Nehnuteľnosť č.2
Čiastočné stupne
Pamätajte!
Pri delení mocnín s rovnakými základmi zostáva základ nezmenený a od exponentu deliteľa sa odpočítava exponent deliteľa.
= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 4438: t = 34
T = 3 8 − 4
Odpoveď: t = 3 4 = 81Pomocou vlastností č. 1 a č. 2 môžete jednoducho zjednodušiť výrazy a vykonávať výpočty.
- Príklad. Zjednodušte výraz.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5 - Príklad. Nájdite hodnotu výrazu pomocou vlastností exponentov.
= = =
=2 9 + 2 2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 642 11 2 5 Dôležité!
Upozorňujeme, že v Property 2 sme hovorili iba o delení právomocí s rovnakými základmi.
Rozdiel (4 3 −4 2) nemôžete nahradiť 4 1. Je to pochopiteľné, ak počítate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 a 41 = 4
Buď opatrný!
Nehnuteľnosť č.3
Zvýšenie stupňa na mocPamätajte!
Pri zvýšení stupňa na mocninu zostáva základ stupňa nezmenený a exponenty sa násobia.
(a n) m = a n · m, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.
Vlastnosti 4
Výkon produktuPamätajte!
Pri zvyšovaní výkonu produktu sa zvyšuje každý z faktorov. Získané výsledky sa potom vynásobia.
(a b) n = a n b n, kde „a“, „b“ sú akékoľvek racionálne čísla; "n" je ľubovoľné prirodzené číslo.
- Príklad 1
(6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2 - Príklad 2
(−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6
Dôležité!
Upozorňujeme, že vlastnosť č. 4, podobne ako ostatné vlastnosti stupňov, sa aplikuje aj v opačnom poradí.
(a n · b n) = (a · b) nTo znamená, že ak chcete násobiť mocniny s rovnakými exponentmi, môžete vynásobiť základy, ale exponent ponechajte nezmenený.
- Príklad. Vypočítajte.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000 - Príklad. Vypočítajte.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
V zložitejších príkladoch môžu nastať prípady, keď násobenie a delenie treba vykonať nad mocninami s rôznymi základňami a rôznymi exponentmi. V tomto prípade vám odporúčame urobiť nasledovné.
Napríklad, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Príklad zvýšenia desatinnej čiarky na mocninu.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4Vlastnosti 5
Mocnina kvocientu (zlomok)Pamätajte!
Ak chcete zvýšiť podiel na mocninu, môžete zvýšiť dividendu a deliteľa oddelene na túto mocninu a vydeliť prvý výsledok druhým.
(a: b) n = a n: b n, kde „a“, „b“ sú ľubovoľné racionálne čísla, b ≠ 0, n je ľubovoľné prirodzené číslo.
- Príklad. Prezentujte výraz ako podiel mocnin.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Pripomíname, že kvocient môže byť reprezentovaný ako zlomok. Preto sa téme povýšenia zlomku na mocnosť budeme venovať podrobnejšie na ďalšej strane.
- Príklad 1
Vzorce stupňov používa sa v procese znižovania a zjednodušovania zložitých výrazov, pri riešení rovníc a nerovníc.
číslo c je n-tá mocnina čísla a Kedy:
Operácie so stupňami.
1. Vynásobením stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele pripočítajú:
a m·a n = a m + n .
2. Pri delení stupňov s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú:
3. Stupeň súčinu 2 alebo viacerých faktorov sa rovná súčinu stupňov týchto faktorov:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Stupeň zlomku sa rovná pomeru stupňov dividendy a deliteľa:
(a/b) n = an/bn.
5. Zvýšením mocniny na mocninu sa exponenty vynásobia:
(a m) n = a m n.
Každý vzorec vyššie platí v smere zľava doprava a naopak.
Napríklad. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operácie s koreňmi.
1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:
2. Odmocnina pomeru sa rovná podielu dividendy a deliteľa koreňov:
3. Pri zvýšení odmocniny na mocninu stačí povýšiť radikálne číslo na túto mocninu:
4. Ak zvýšite stupeň koreňa v n raz a zároveň zabudovať do n mocnina je radikálne číslo, potom sa hodnota odmocniny nezmení:
5. Ak znížite stupeň koreňa v n súčasne extrahujte koreň n-tá mocnina radikálneho čísla, potom sa hodnota odmocniny nezmení:
Titul so záporným exponentom. Mocnina určitého čísla s kladným (celým) exponentom je definovaná ako mocnina vydelená mocninou toho istého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote kladného exponentu:
Vzorec a m:a n =a m - n možno použiť nielen na m> n, ale aj s m< n.
Napríklad. a4:a7 = a4-7 = a-3.
Formulovať a m:a n =a m - n sa stal spravodlivým, keď m=n, vyžaduje sa prítomnosť nulového stupňa.
Titul s nulovým indexom. Mocnina akéhokoľvek čísla, ktoré sa nerovná nule s nulovým exponentom, sa rovná jednej.
Napríklad. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Stupeň so zlomkovým exponentom. Zvýšiť skutočné číslo A na stupeň m/n, musíte extrahovať koreň n tý stupeň m-tá mocnina tohto čísla A.
Ak potrebujete zvýšiť konkrétne číslo na mocninu, môžete použiť . Teraz sa na to pozrieme bližšie vlastnosti stupňov.
Exponenciálne čísla otvárajú veľké možnosti, umožňujú nám transformovať násobenie na sčítanie a sčítanie je oveľa jednoduchšie ako násobenie.
Napríklad musíme vynásobiť 16 číslom 64. Súčin vynásobenia týchto dvoch čísel je 1024. Ale 16 je 4x4 a 64 je 4x4x4. To znamená, že 16 x 64 = 4x4x4x4x4, čo sa tiež rovná 1024.
Číslo 16 môže byť reprezentované aj ako 2x2x2x2 a 64 ako 2x2x2x2x2x2, a ak vynásobíme, dostaneme opäť 1024.
Teraz použime pravidlo. 16 = 4 2 alebo 2 4, 64 = 4 3 alebo 2 6, súčasne 1024 = 6 4 = 4 5 alebo 2 10.
Preto môže byť náš problém napísaný inak: 4 2 x 4 3 = 4 5 alebo 2 4 x 2 6 = 2 10 a zakaždým dostaneme 1024.
Môžeme vyriešiť množstvo podobných príkladov a uvidíme, že násobenie čísel mocninami sa zníži na pridávanie exponentov, alebo exponenciálne, samozrejme, za predpokladu, že základy faktorov sú rovnaké.
Bez vykonania násobenia teda môžeme okamžite povedať, že 2 4 x 2 2 x 2 14 = 2 20.
Toto pravidlo platí aj pri delení čísel mocninami, ale v tomto prípade exponent deliteľa sa odpočíta od exponentu dividendy. Teda 2 5:2 3 = 2 2, čo sa v bežných číslach rovná 32:8 = 4, teda 2 2. Poďme si to zhrnúť:
a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, kde m a n sú celé čísla.
Na prvý pohľad sa môže zdať, že je to tak násobenie a delenie čísel s mocninami nie je príliš pohodlné, pretože najprv musíte číslo znázorniť v exponenciálnom tvare. Nie je ťažké znázorniť čísla 8 a 16, teda 2 3 a 2 4, v tejto forme, ale ako to urobiť s číslami 7 a 17? Alebo čo robiť v prípadoch, keď číslo môže byť reprezentované v exponenciálnom tvare, ale základy pre exponenciálne vyjadrenia čísel sú veľmi odlišné. Napríklad 8x9 je 2 3 x 3 2, v takom prípade nemôžeme sčítať exponenty. Ani 2 5, ani 3 5 nie sú odpoveďou, ani odpoveď neleží v intervale medzi týmito dvoma číslami.
Oplatí sa potom vôbec trápiť touto metódou? Určite to stojí za to. Poskytuje obrovské výhody najmä pri zložitých a časovo náročných výpočtoch.
Jednou z hlavných charakteristík algebry a celej matematiky je stupeň. Samozrejme, v 21. storočí sa dajú všetky výpočty robiť na online kalkulačke, no pre rozvoj mozgu je lepšie, keď sa to naučíte sami.
V tomto článku zvážime najdôležitejšie otázky týkajúce sa tejto definície. Konkrétne, poďme pochopiť, čo to je vo všeobecnosti a aké sú jeho hlavné funkcie, aké vlastnosti má matematika.
Pozrime sa na príklady, ako vyzerá výpočet a aké sú základné vzorce. Pozrime sa na hlavné typy veličín a ako sa líšia od iných funkcií.
Poďme pochopiť, ako vyriešiť rôzne problémy pomocou tohto množstva. Na príkladoch si ukážeme, ako zvýšiť na nulovú mocninu, iracionálne, negatívne atď.
Online kalkulačka umocňovania
Čo je to mocnina čísla
Čo znamená výraz „zvýšiť číslo na mocninu“?
Mocnina n čísla je súčinom faktorov veľkosti a n-krát za sebou.
Matematicky to vyzerá takto:
a n = a * a * a * …a n .
Napríklad:
- 2 3 = 2 v treťom stupni. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 do kroku. dva = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 do kroku. štyri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 = 10 v 5 krokoch. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
- 10 4 = 10 v 4 krokoch. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.
Nižšie je tabuľka štvorcov a kociek od 1 do 10.
Tabuľka stupňov od 1 do 10
Nižšie sú uvedené výsledky zvyšovania prirodzených čísel na kladné mocniny - „od 1 do 100“.
| Ch-lo | 2. sv. | 3. etapa |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Vlastnosti stupňov
Čo je charakteristické pre takúto matematickú funkciu? Pozrime sa na základné vlastnosti.
Vedci zistili nasledovné znaky charakteristické pre všetky stupne:
- an* am = (a) (n+m);
- an: am = (a) (n-m);
- (a b) m = (a) (b*m).
Pozrime sa na príklady:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Na druhej strane 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Podobne: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Inak 2 3-2 = 2 1 = 2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Čo ak je to inak? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Ako vidíte, pravidlá fungujú.
Ale čo už so sčítaním a odčítaním? Je to jednoduché. Najprv sa vykoná umocnenie a potom sčítanie a odčítanie.
Pozrime sa na príklady:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Upozornenie: pravidlo nebude platiť, ak najprv odčítate: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.
V tomto prípade však musíte najskôr vypočítať sčítanie, pretože v zátvorkách sú akcie: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Ako vyrábať výpočty v zložitejších prípadoch? Poradie je rovnaké:
- ak existujú zátvorky, musíte začať s nimi;
- potom umocnenie;
- potom vykonajte operácie násobenia a delenia;
- po sčítaní, odčítaní.
Existujú špecifické vlastnosti, ktoré nie sú charakteristické pre všetky stupne:
- N-tá odmocnina čísla a do stupňa m sa zapíše ako: a m / n.
- Pri umocňovaní zlomku na mocninu: tomuto postupu podlieha čitateľ aj jeho menovateľ.
- Pri zvýšení súčinu rôznych čísel na mocninu bude výraz zodpovedať súčinu týchto čísel na danej mocnine. To znamená: (a * b) n = a n * b n .
- Keď zvyšujete číslo na zápornú mocninu, musíte deliť 1 číslom v tom istom storočí, ale so znamienkom „+“.
- Ak je menovateľ zlomku v zápornej mocnine, potom sa tento výraz bude rovnať súčinu čitateľa a menovateľa v kladnej mocnine.
- Akékoľvek číslo na mocninu 0 = 1 a na mocninu. 1 = pre seba.
Tieto pravidlá sú v niektorých prípadoch dôležité, podrobnejšie sa nimi budeme zaoberať nižšie.
Stupeň so záporným exponentom
Čo robiť s mínusovým stupňom, t.j. keď je indikátor záporný?
Na základe vlastností 4 a 5(pozri bod vyššie), ukázalo sa:
A (- n) = 1/An, 5 (-2) = 1/52 = 1/25.
A naopak:
1/A (- n) = An, 1/2 (-3) = 2 3 = 8.
Čo ak je to zlomok?
(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Stupeň s prirodzeným indikátorom
Chápe sa ako stupeň s exponentmi rovnými celým číslam.
Dôležité informácie:
Ao = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1... atď.
Ai = A,11 = 1; 21 = 2; 3 1 = 3... atď.
Okrem toho, ak (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...výsledok bude so znamienkom „+“. Ak sa záporné číslo zvýši na nepárnu mocninu, potom je to naopak.
Charakteristické sú pre ne aj všeobecné vlastnosti a všetky vyššie popísané špecifické črty.
Zlomkový stupeň
Tento typ možno napísať ako schému: A m / n. Čítajte ako: n-tá odmocnina čísla A na mocninu m.
Pomocou zlomkového ukazovateľa môžete robiť, čo chcete: zmenšiť ho, rozdeliť na časti, zvýšiť ho na inú silu atď.
Stupeň s iracionálnym exponentom
Nech α je iracionálne číslo a A ˃ 0.
Aby sme pochopili podstatu titulu s takýmto ukazovateľom, Pozrime sa na rôzne možné prípady:
- A = 1. Výsledok sa bude rovnať 1. Keďže existuje axióma - 1 vo všetkých mocninách sa rovná jednej;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 – racionálne čísla;
- 0˂А˂1.
V tomto prípade je to naopak: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 za rovnakých podmienok ako v druhom odseku.
Napríklad exponent je číslo π. Je to racionálne.
r 1 – v tomto prípade sa rovná 3;
r 2 – sa bude rovnať 4.
Potom pre A = 1, 1 π = 1.
A = 2, potom 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, potom (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Takéto stupne sú charakterizované všetkými matematickými operáciami a špecifickými vlastnosťami opísanými vyššie.
Záver
Zhrňme si – na čo sú tieto veličiny potrebné, aké sú výhody takýchto funkcií? Samozrejme, v prvom rade zjednodušujú život matematikom a programátorom pri riešení príkladov, keďže im umožňujú minimalizovať výpočty, skracovať algoritmy, systematizovať dáta a mnoho ďalšieho.
Kde inde môžu byť tieto znalosti užitočné? V akejkoľvek pracovnej špecializácii: medicína, farmakológia, stomatológia, stavebníctvo, technológia, strojárstvo, dizajn atď.
