Свойства на степени с естествени числа. Свойства на степени, формулировки, доказателства, примери. Основни свойства на степените с ирационални показатели

Технологична карта на урока

7 клас Урок №38

Тема: Степен с натурален показател

1. Осигурете повторение, обобщение и систематизиране на знанията по темата, консолидирайте и подобрете уменията за най-простите трансформации на изрази, съдържащи степени с естествен показател, създайте условия за наблюдение на усвояването на знания и умения;

2. Да допринесе за формирането на умения за прилагане на методите на обобщение, сравнение, подчертаване на основното, да насърчи възпитанието на интерес към прехвърляне на знания в нова ситуация, развитието на математически хоризонти, реч, внимание и памет, развитие на учебно-познавателна дейност;

3. Насърчаване на възпитанието на интерес към математиката, активност, организация, култивиране на умения за взаимен и самоконтрол на техните дейности, формиране на положителна мотивация за учене, култура на общуване.

Основни понятия на урока

Степен, основа на степен, показател, свойства на степен, произведение на степен, деление на степени, повдигане на степен на степен.

Планиран резултат

Те ще се научат да оперират с концепцията за степен, да разберат значението на записването на число като степен, да извършват прости трансформации на изрази, съдържащи степени с естествен показател.

Те ще имат възможност да се научат как да извършват трансформации на цели числа, съдържащи степен с естествен показател

Умения за предмет, UUD

Личен UUD:

способността за самооценка въз основа на критерия за успех на образователните дейности.

Когнитивно UUD:

способността да се ориентира в своята система от знания и умения: да разграничава новото от вече известното с помощта на учител; намерете отговори на въпроси, като използвате информацията, научена в урока.

Обобщаване и систематизиране на учебен материал, работа със символен запис на степента, замествания, възпроизвеждане от паметта на информацията, необходима за решаване на образователния проблем

Тема UUD:

Прилагайте свойства на степента към преобразуване на изрази, съдържащи степени с естествен показател

Регулаторен UUD:

Умение за определяне и формулиране на целта в урока с помощта на учителя; оценете работата си в клас.Да упражняват взаимен контрол и самоконтрол при изпълнение на задачите

Комуникативен UUD:
Умейте да формулирате мислите си устно и писмено, да слушате и разбирате речта на другите

Метапредметни отношения

Физика, астрономия, медицина, ежедневието

Тип урок

Повторения, обобщения и прилагане на знания и умения.

Форми на работа и методи на работа

Фронтална, парна баня, индивидуална. Обяснително - илюстративно, словесно, проблемна ситуация, семинар, взаимопроверка, контрол

Ресурсна поддръжка

Компоненти на учебните материали Макаричева Учебник, проектор, екран, компютър, презентация, задачи за ученици, листове за самооценка

Технологии, използвани в обучението

Технология на семантичното четене, проблемно обучение, индивидуален и диференциран подход, ИКТ

Мотивирайте учениците за работа, мобилизирайте вниманието

Добър ден момчета. Добър ден, уважаеми колеги! Поздравявам всички събрали се на днешния открит урок. Момчета, искам да ви пожелая ползотворна работа в урока, внимателно обмислете отговорите на поставените въпроси, отделете време, не прекъсвайте, уважавайте съучениците си и техните отговори. И пожелавам на всички да получавате само добри оценки. Късмет!

Включен в деловия ритъм на урока

Проверяват наличието на всичко необходимо за работа в урока, точността на местоположението на Обектите. Способност да се организирате, да се настройвате на работа.

2. Актуализиране на опорни знания и навлизане в темата на урока

3. Устна работа

Момчета, всеки от вас има листове с резултати на бюрото си.По тях ще оценявате работата си в урока.Днес в урока ви се дава възможност да получите не една, а две оценки: за работа в урока и за самостоятелна работа.
Вашите правилни, пълни отговори също ще бъдат оценени с "+", но аз ще поставя този знак в друга колона.

На екрана виждате пъзели, в които ключовите думи от днешния урок са криптирани. Разрешете ги. (Слайд 1)

степен

повторение

обобщение

Момчета, правилно отгатнахте пъзелите. Тези думи са степен, повторение и обобщение. А сега, използвайки познатите думи - подсказки, формулирайте темата на днешния урок.

Правилно. Отворете тетрадките и запишете номера и темата на урока „Повторение и обобщение по темата „Свойства на степен с естествен показател“ (Слайд 2)

Определихме темата на урока, но какво мислите, какво ще правим в урока, какви цели ще си поставим? (Слайд 3)

Повторете и обобщете знанията си по тази тема, попълнете пропуските, подгответе се за изучаването на следващата тема „Мономинали“.

Момчета, свойствата на степен с естествен експонент доста често се използват при намиране на стойностите на изрази, при преобразуване на изрази. Скоростта на изчисленията и трансформациите, свързани със свойствата на степен с естествен показател, също се диктува от въвеждането на USE.

И така, днес ще прегледаме и обобщим вашите знания и умения по тази тема. Устно трябва да решите редица задачи и да запомните словесното групиране на свойства и дефиниции на степента с естествен показател.

Епиграф към поуката от думите на великия руски учен М. В. Ломоносов „Нека някой се опита да изтрие степени по математика и ще види, че без тях няма да стигнете далеч“

(Слайд 4)

Мислите ли, че ученият е прав?

Защо се нуждаем от дипломи?

Къде се използват широко? (по физика, астрономия, медицина)

Точно така, а сега да повторим какво е степен?

Какви са имената на инв записа за степен?

Какви действия могат да се извършват със степени? (Слайдове 5-11)

А сега нека обобщим. Имате ли работни листове на бюрото си? .

1. Отляво са началото на определенията, отдясно са окончанията на определенията. Свържете правилните твърдения с линии (Слайд 12)

Свържете с линии съответните части на определението.

а) При умножаване на степени с една и съща основа...

1) основна степен

б) При деление на степени с еднакви основи ....

2) експонента

в) Извиква се числото a

3) произведението на n фактора, всеки от които е равен на a.

г) При повишаване на степен на степен...

4) ... базата остава същата, а показателите се сумират.

д) Нарича се степен на число a с естествен показател n, по-голям от 1

5) ... базата остава същата, а показателите се умножават.

д)НомернНаречен

6) Степен

и)Израз а нНаречен

7) ... базата остава същата, а показателите се изваждат.

2.Сега разменете документи с вашия колега по бюрото, оценете работата му и го оценете. Поставете този резултат във вашия лист с резултати.

Сега нека проверим дали сте изпълнили задачата правилно.

Отгатване на пъзели, идентифициране на думи - подсказки.

Те се опитват да определят темата на урока.

Запишете датата и темата на урока в тетрадката си.

Отговори на въпросите

Работят по двойки. Прочетете задачата, запомнете.

Свържете части от дефиниции

Разменят тетрадки.

Извършете взаимна проверка на резултатите, дайте оценки на съседа на бюрото ..

4. Физкултурна минутка

Вдигнати и разклатени ръце -

това са дърветата в гората,

Свити ръце, разклатени четки -

Вятърът откъсва листата.

Отстрани на ръката, леко помахайте -

Птиците летят на юг

Докато седят, тихо показват -

Сгънати ръце така!

Извършвайте дейности паралелно с учителя

5. Трансферът на придобитите знания, тяхното първично приложение в нови или променени условия с цел формиране на умения.

1. Предлагам ви следната работа: имате карти на бюрата си. Трябва да изпълнявате задачи, т.е. напишете отговора под формата на степен с основа c и ще разберете фамилното и собственото име на великия френски математик, който въвежда общоприетото в момента обозначение на степените.(Слайд 14)

ОТ 8 : ОТ 6

(ОТ 4 ) 3 ОТ

(ОТ 4 ) 3

ОТ 4 ОТ 5 ОТ 0

ОТ 5 ОТ 3 : ОТ 6

ОТ 16 : ОТ 8

ОТ 14 ОТ 8

10.

(ОТ 3 ) 5

Отговор: Рене Декарт.

Разказ за биографията на Рене Декарт (Слайдове 15 - 17)

Момчета, сега да изпълним следващата задача.

2. Относно определи кои отговори са верни и кои грешни. (Слайд 18 - 19)

Задайте верен отговор на 1, грешен отговор на 0.

след като получите подреден набор от единици и нули, ще разберете правилния отговор и ще определите името и фамилията на първата руска жена - математик.

а) х 2 х 3 =x 5

b) с 3 с 5 с 8 = с 16

в) х 7 : х 4 = х 28

G) (° С+ д) 8 : ( ° С+ д) 7 = ° С+ д

д) (х 5 ) 6 = х 30

Изберете нейното име от четири имена на известни жени, всяко от които отговаря на набор от единици и нули:

Ада Августа Лавлейс - 11001

Софи Жермен - 10101

Екатерина Дашкова - 11101

София Ковалевская - 11011

От биографията на София Ковалевская (Слайд 20)

Изпълнете задачата, определете фамилията и името на френския математик

Слушане и разглеждане на слайдове

Те отбелязват верните и грешните отговори, записват получения код, който определя името на първата рускиня - математик.

6. Контрол и оценка на знанията Самостоятелно изпълнение на задачите от учениците под ръководството на учителя.

И сега трябва да извършите проверката. Пред вас са карти със задачи в различни цветове. Цветът съответства на нивото на трудност на задачата (с "3", с "4", с "5") Изберете сами задачата, за която оценка ще изпълнявате и се захващайте за работа. (Слайд 21)

на "3"

1. Изразете продукта като сила:

а) ; б) ;

в) ; G) .

2. Следвай тези стъпки:

( м 3 ) 7 ; ( к 4 ) 5 ; (2 2 ) 3; (3 2 ) 5 ; ( м 3 ) 2 ; ( а х ) г

На "4"

1. Представете продукта като степен.

а) х 5 х 8 ; буу 2 при 9 ; във 2 6 2 4 ; G)м 2 м 5 м 4 ;

д)х 6 ∙ х 3 ∙ х 7 ; е) (–7) 3 ∙ (–7) 2 ∙ (–7) 9 .

2. Изразете частното като степен:

а)х 8 : х 4 ; б) (–0,5) 10 : (–0,5) 8 ;

в) х 5 : Х 3 ; д) 10 : г 10 ; D 2 6 : 2 4 ; д) ;

до "5"

1. Следвайте стъпките:

а) а 4 · а · а 3 а б) (7 х ) 2 в) r · Р 2 · Р 0

г) с · с 3 · c e) t · T 4 · ( T 2 ) 2 · T 0

д) (2 3 ) 7 : (2 5 ) 3 и) -х 3 · (– х ) 4

з) (Р 2 ) 4 : Р 5 i)(3 4 ) 2 (3 2 ) 3 : 3 11

2. Опростете:

а) х 3 ( х 2 ) 5 в) ( а 2 ) 3 ( а 4 ) 2

б) ( а 3) 2 а 5 g) ( х 2 ) 5 ( х 5 )

Самостоятелна работа

Изпълнение на задачи в тетрадки

7. Обобщение на урока

Обобщаване на информацията, получена в урока.Проверка на работата, оценяване. Идентифициране на трудностите, възникнали в урока

8. Рефлексия

Какво се случи с концепцията за степен вXVIIвек, вие и аз можем да предскажем сами. За да направите това, опитайте се да отговорите на въпроса: възможно ли е число да се повдигне на отрицателна степен или на дробна? Но това е предмет на нашето бъдещо изследване.

Оценки на урока

Момчета, искам да завърша нашия урок със следната притча.

Притча. Вървял мъдър човек, а към него вървели трима души, които под жаркото слънце пренасяли колички с камъни за градеж. Мъдрецът спрял и задал на всеки по един въпрос. Той попита първия: "Какво прави цял ден?" А той с усмивка отвърна, че цял ден носи прокълнати камъни. Мъдрецът попитал втория: „Какво си правил през целия ден“, а той отговорил: „А аз съвестно си свърших работата“. А третият се усмихна, лицето му грейна от радост и удоволствие: „И аз участвах в строежа на храма!“

Момчета, отговорете, какво направихте в урока днес? Просто го направете на листа за самооценка. Заградете с кръгче твърдението във всяка колона, което се отнася за вас.

В листа за самооценка трябва да подчертаете фразите, които характеризират работата на ученика в урока в три области.

Нашият урок приключи. Благодаря на всички за упоритата работа в клас!

Отговори на въпросите

Оценете работата си в клас.

Маркирайте на картата фрази, които характеризират работата им в урока.

алгебра 7 клас

учител по математика

филиал MBOUTSOSH №1

в с.Полетаево Зуева И.П.

Полетаево 2016г

Тема: « Свойства на степен с естествен показател»

ЦЕЛ

Повторение, обобщение и систематизиране на изучения материал по темата „Свойства на степен с натурален показател“.
Проверка на знанията на учениците по темата.
Прилагане на придобитите знания при изпълнение на различни задачи.

ЗАДАЧИ

предмет :

повторете, обобщете и систематизирайте знанията по темата; създават условия за контрол (взаимен контрол) на усвояването на знанията и уменията;продължи формирането на мотивация на учениците за изучаване на предмета;

метасубект:

развиват оперативен стил на мислене; да насърчава придобиването на комуникативни умения от учениците при съвместна работа; активират творческото си мислене; Пда продължи формирането на определени компетентности на учениците, които ще допринесат за ефективната им социализация;умения за самообразование и самообразование.

лично:

възпитават култура, насърчават формирането на лични качества, насочени към добронамерено, толерантно отношение един към друг, хора, живот; да култивира инициативност и независимост в дейностите; водят до разбиране на необходимостта от изучаваната тема за успешна подготовка за държавното окончателно атестиране.

ТИП УРОК

урок за обобщаване и систематизиранеЗУН.

Оборудване: компютър, проектор,прожекционен екран,дъска, листовка.

Софтуер: Windows 7 OS: MS Office 2007 (задължително приложение - powerpoint).

Подготвителен етап:

презентация „Свойства на степен с натурален показател“;

раздаване;

резултат лист.

Структура

Организиране на времето. Поставяне на цели и задачи на урока - 3 минути.

Актуализиране, систематизиране на опорни знания – 8 минути.

Практическа част – 28 минути.

Обобщение, заключение -3 минути.

Домашна работа – 1 минута.

Размисъл – 2 минути.

Идея за урок

Проверка по интересен и ефектен начин на ЗУН на учениците по тази тема.

Организация на урока Урокът се провежда в 7 клас. Децата работят по двойки, самостоятелно, учителят е консултант-наблюдател.

По време на часовете

Организационно време:

Здравейте момчета! Днес имаме необичаен урок-игра. На всеки от вас се дава чудесна възможност да се докаже, да покаже знанията си. Може би по време на урока ще откриете скрити способности в себе си, които ще ви бъдат полезни в бъдеще.

Всеки от вас има тестов лист и карти за изпълнение на задачи в тях. Вземете тестов лист в ръцете си, той ви е необходим, за да оцените сами знанията си по време на урока. Подпишете го.

И така, каня ви на урока!

Момчета, погледнете екрана и чуйте стихотворението.

Слайд #1

Умножете и разделете

Издигане на степен на степен...

Ние сме запознати с тези имоти.

И вече не са нови.

Тези пет прости правила

Всички в класа вече отговориха

Но ако сте забравили свойствата,

Помислете за примера, който не решихте!

И за да живеят без проблеми в училище

Ще ви дам добър съвет:

Искате ли да забравите правилото?

Просто се опитайте да научите!

Отговори на въпроса:

1) Какви действия са споменати в него?

2) За какво мислите, че ще говорим днес в урока?

И така, темата на нашия урок е:

"Свойства на степен с естествен показател" (Слайд 3).

Поставяне на цели и задачи на урока

В урока ще повторим, обобщим и систематизираме изучения материал по темата „Свойства на степен с естествен показател“

Нека видим как се научихте как да умножавате и делите степени с една и съща основа, както и да повдигате степен на степен

Актуализиране на основни знания. Систематизиране на теоретичния материал.

1) Устна работа

Да работим устно

1) Формулирайте свойствата на степента с естествен показател.

2) Попълнете празните места: (Слайд 4)

1)5 12 : 5 5 =5 7 2) 5 7 ∙ 5 17 = 5 24 3) 5 24 : 125= 5 21 4)(5 0 ) 2 ∙5 24 =5 24

5)5 12 ∙ 5 12 = (5 8 ) 3 6)(3 12 ) 2 = 3 24 7) 13 0 ∙ 13 64 = 13 64

3) Каква е стойността на израза:(Слайд 5-9)

a m ∙ a n; (a m+n ) a m : a n (a m-n ) ; (a m) n; a 1; и 0 .

2) Проверка на теоретичната част (Карта №1)

Сега вземете карта номер 1 изапълнете празнините

1) Ако индикаторът е четно число, тогава стойността на степента винаги е _______________

2) Ако индикаторът е нечетно число, тогава стойността на степента съвпада със знака ____.

3) Произведение на степените a n a k = a n + k
Когато умножавате степени с една и съща основа, имате нужда от основата ____________ и показателите ________.

4) Частни степени a n : a k = a n - k
При разделяне на степените с една и съща основа е необходима основата _____, а от показателя за дивидент ______________________________.

5) Повишаване на степен на степен ( a n ) k = a nk
При повишаване на степен на степен основата е _______, а показателите са ______.

Проверка на отговорите. (Слайдове 10-13)

Главна част

3) А сега отваряме тетрадки, записваме числото 28.01 14g, работа в клас

Играта "Clapperboard" » (Слайд 14)

Решете самостоятелно задачите в тетрадките си

Направете следното: а)х11 ∙х∙х2 б)х14 : Х5 в) (а4 ) 3 г) (-За)2 .

Сравнете стойността на израза с нула: а) (- 5)7 , б)(-6)18 ,

на 4)11 . ( -4) 8 G)(- 5) 18 ∙ (- 5) 6 , д)-(- 4)8 .

Изчислете стойността на израз:

а) -1 ∙ 3 2 , б) (-1 ∙ 3) 2 в) 1 ∙ (-3) 2 , г) - (2 ∙ 3) 2 , д) 1 2 ∙ (-3) 2

Проверяваме, ако отговорът не е верен, правим едно пляскане с ръце.

Изчислете броя на точките и ги поставете в листа с резултати.

4) И сега ще направим гимнастика за очите, ще облекчим напрежението и ще продължим да работим. Ние внимателно следим движението на обектите

Започнете! (Слайд 15,16,17,18).

5) А сега нека да преминем към следващия вид от нашата работа. (Карта 2)

Напишете отговора си като степен с основа ОТ и ще научите името и фамилията на великия френски математик, който пръв въвежда понятието степен на числото.

Познайте името на учения математик.

1.	ОТ 5 ∙С 3	6.	ОТ 7 : ОТ 5
2.	ОТ 8 : ОТ 6	7.	(ОТ 4 ) 3 ∙С
3,	(ОТ 4 ) 3	8.	ОТ 4 ∙ ОТ 5 ∙ C 0
4.	ОТ 5 ∙С 3 : ОТ 6	9.	ОТ 16 : ОТ 8
5.	ОТ 14 ∙ C 8	10.	(ОТ 3 ) 5

О Отговор: РЕНЕ ДЕКАРТ

Да се

НО

ОТ 8

ОТ 5

ОТ 1

ОТ 40

ОТ 13

ОТ 12

ОТ 9

ОТ 15

ОТ 2

ОТ 22

А сега нека чуем съобщението на ученика за "Рене Декарт"

Рене Декарт е роден на 21 март 1596 г. в малкото градче La Gaie в Турен. Семейство Декарт принадлежи към скромното бюрократично благородство. Рене прекарва детството си в Турен. Декарт завършва училище през 1612 г. Там прекарва осем години и половина. Декарт не намира веднага своето място в живота. Благородник по произход, след като завършва колеж в Ла Флеш, той се потапя с глава в социалния живот на Париж, след което изоставя всичко в името на науката. Декарт даде специално място на математиката в своята система, той смята нейните принципи за установяване на истината за модел за други науки. Значителна заслуга на Декарт е въвеждането на удобни обозначения, които са оцелели и до днес: латинските букви x, y, z за неизвестни; a, c, c - за коефициенти, за степени. Интересите на Декарт не се ограничават само до математиката, а включват механика, оптика и биология. През 1649 г. Декарт, след дълго колебание, се премества в Швеция. Това решение се оказва фатално за здравето му. Шест месеца по-късно Декарт умира от пневмония.

6) Работа на дъската:

1. Решете уравнението

A) x 4 ∙ (x 5) 2 / x 20: x 8 \u003d 49

B) (t 7 ∙ t 17 ) : (t 0 ∙ t 21 )= -125

2.Изчислете стойността на израза:

(5-x) 2 -2x 3 +3x 2 -4x+x-x 0

а) при х=-1

б) при x=2 Независимо

7) Вземете карта номер 3 в ръцете си, направете теста

опция 1

Вариант 2.

1. Направете разделението на властите 2 17 : 2 5

2 12

2 45

2. Напишете под формата на степен (x + y) (x + y) \u003d

x 2 + y 2

(x+y) 2

2(x+y)

3. Сменете * степен, така че равенството a 5 · * = 15

а 10

а 3

(a 7 ) 5 ?

а) 12

б) 5

в) 35

3 = 8 15

8 12

6. Намерете стойността на дробта

1. Направете деление на степени на 9 9 : 9 7

9 16

9 63

2. Напишете под формата на степен (x-y) (x-y) \u003d ...

x 2 -y 2

(x-y) 2

2(x-y)

3. Сменете * степен, така че равенството b 9 · * = b 18

b 17

b 1 1

4. Каква е стойността на израза(с 6 ) 4 ?

а) от 10

б) от 6

в) от 24 г

5. От предложените опции изберете този, който може да замени * в равенство (*) 3 = 5 24

5 21

6. Намерете стойността на дробта

Проверете взаимно работата си и оценете другарите си в листа с оценки.


1 вариант	а	b	b	с	b	3
Вариант 2	а	b	с	с	а	4

Допълнителни задачи за силни учащи

Всяка задача се оценява отделно.

Намерете стойността на израз:

8) А сега нека видим ефективността на нашия урок ( Слайд 19)

За да направите това, изпълнете задачата, задраскайте буквите, съответстващи на отговорите.

AOWSTLCCRCHGNMO

Опростете израза:

1.	С 4 ∙С 3	5.	(ОТ 2 ) 3 ∙ ОТ 5
2.	(C 5 ) 3	6.	ОТ 6 ∙ ОТ 5 : ОТ 10
3.	От 11: От 6	7.	(ОТ 4 ) 3 ∙С 2
4.	C 5 ∙C 5 : C

шифър: НО -от 7 AT-От 15 G -ОТ И -От 30 ДА СЕ -От 9 М -От 14 H -От 13 О-От 12 R -От 11 ОТ -От 5 T -От 8 H -От 3

Каква дума разбрахте? ОТГОВОР: ОТЛИЧЕН! (Слайд 20)

Обобщаване, оценяване, оценяване (Слайд 21)

Нека обобщим нашия урок, колко успешно повторихме, обобщихме и систематизирахме знанията по темата „Свойства на степен с естествен показател“

Взимаме тестови листове и изчисляваме общия брой точки и ги записваме в реда на крайната оценка

Изправете се, който отбеляза 29-32 точки: отличен резултат

25-28 точки: резултат - добър

20-24 точки: оценка - задоволително

Още веднъж ще проверя правилността на заданията на картите, проверете вашите резултати с точките, зададени в тестовия лист. Ще поставя оценките в дневника

И за активна работа в урока за оценка:

Деца, моля ви да оцените работата си в урока. Маркирайте върху листа с настроението.

Тестови лист
Фамилия име		Степен
1. Теоретична част
2. Игра "Clapperboard"
3. Тествайте
4. "Шифър"
Допълнителна част



Крайна оценка:
Емоционална оценка	За мен	Относно урока
Удовлетворен
неудовлетворен

Домашна работа (Слайд 22)

Направете кръстословица с ключова думаСТЕПЕН. В следващия урок ще разгледаме най-интересните произведения.

№ 567

Списък на използваните източници

Учебник "Алгебра 7 клас".
стихотворение. http://yandex.ru/yandsearch
НЕ. Щурков. Културата на съвременния урок. Москва: Руска педагогическа агенция, 1997 г.
А.В. Петров. Методически и методически основиличностно развиващо компютърно обучение. Волгоград. "Промяна", 2001 г.
КАТО. Белкин. ситуация на успех. Как да го създадете. М .: "Просвещение", 1991 г.
Информатика и образование №3. Оперативен стил на мислене, 2003

По-рано вече говорихме какво е степен на число. Той има определени свойства, които са полезни при решаването на проблеми: именно тях и всички възможни показатели ще анализираме в тази статия. Ще демонстрираме и с примери как те могат да бъдат доказани и правилно приложени на практика.

Нека си припомним концепцията за степен с естествен показател, която вече формулирахме по-рано: това е продуктът на n-тия брой фактори, всеки от които е равен на a. Също така трябва да запомним как правилно да умножаваме реални числа. Всичко това ще ни помогне да формулираме следните свойства за степен с естествен показател:

Определение 1

1. Основното свойство на степента: a m a n = a m + n

Може да се обобщи до: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Свойството частно за степени, които имат една и съща основа: a m: a n = a m − n

3. Свойство степен продукт: (a b) n = a n b n

Равенството може да се разшири до: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. Свойство на естествена степен: (a: b) n = a n: b n

5. Повдигаме степента на степен: (a m) n = a m n,

Може да се обобщи до: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. Сравнете степента с нула:

ако a > 0, тогава за всяко естествено n, a n ще бъде по-голямо от нула;
с a равно на 0, a n също ще бъде равно на нула;
за< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
за< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Равенство a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Неравенството a m > a n ще бъде вярно, при условие че m и n са естествени числа, m е по-голямо от n и a е по-голямо от нула и не по-малко от единица.

В резултат на това получихме няколко равенства; ако отговаряте на всички условия, посочени по-горе, тогава те ще бъдат идентични. За всяко от равенствата, например за основното свойство, можете да размените дясната и лявата част: a m · a n = a m + n - същото като a m + n = a m · a n . В тази форма често се използва при опростяване на изрази.

1. Нека започнем с основното свойство на степента: равенството a m · a n = a m + n ще бъде вярно за всяко естествено m и n и реално a . Как да докажем това твърдение?

Основната дефиниция на степени с естествен показател ще ни позволи да преобразуваме равенството в произведение на множителите. Ще получим запис като този:

Това може да бъде съкратено до (припомнете си основните свойства на умножението). В резултат на това получихме степента на числото a с естествен показател m + n. Така a m + n , което означава, че основното свойство на степента е доказано.

Да анализираме конкретен примерпотвърждавайки това.

Пример 1

Така че имаме две степени с основа 2. Натуралните им показатели са съответно 2 и 3. Получихме равенството: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Нека изчислим стойностите, за да проверим правилността на това равенство.

Нека извършим необходимите математически операции: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 и 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

В резултат на това получихме: 2 2 2 3 = 2 5 . Имотът е доказан.

Благодарение на свойствата на умножението можем да обобщим свойството, като го формулираме под формата на три или повече степени, за които показателите са естествени числа, а основите са еднакви. Ако означим броя на естествените числа n 1, n 2 и т.н. с буквата k, получаваме правилното равенство:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Пример 2

2. След това трябва да докажем следното свойство, което се нарича частно свойство и е присъщо на степени с еднакви основи: това е равенството a m: a n = a m − n, което е валидно за всякакви естествени m и n (и m е по-голямо от n)) и всяко ненулево реално a .

Като начало, нека обясним какво точно е значението на условията, които се споменават във формулировката. Ако вземем равно на нула, тогава в крайна сметка ще получим деление на нула, което не може да се направи (в края на краищата 0 n = 0). Условието, че числото m трябва да е по-голямо от n, е необходимо, за да можем да останем в рамките на естествените показатели: като извадим n от m, получаваме естествено число. Ако условието не е изпълнено, ще получим отрицателно число или нула и отново ще надхвърлим изучаването на степени с естествени показатели.

Сега можем да преминем към доказателството. От изученото по-рано си припомняме основните свойства на дробите и формулираме равенството по следния начин:

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

От него можем да изведем: a m − n a n = a m

Припомнете си връзката между деление и умножение. От това следва, че a m − n е частно на степени a m и a n . Това е доказателството за свойство от втора степен.

Пример 3

Заменете конкретни числа за яснота в индикаторите и означете основата на степента π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. След това ще анализираме свойството на степента на произведението: (a · b) n = a n · b n за всяко реално a и b и естествено n.

Съгласно основната дефиниция на степен с естествен показател, можем да преформулираме равенството, както следва:

Спомняйки си свойствата на умножението, пишем: . Означава същото като a n · b n.

Пример 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Ако имаме три или повече фактора, тогава това свойство се отнася и за този случай. Въвеждаме обозначението k за броя на факторите и записваме:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

Пример 5

С конкретни числа получаваме следното правилно равенство: (2 (- 2 , 3) a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) 7 a

4. След това ще се опитаме да докажем свойството частно: (a: b) n = a n: b n за всяко реално a и b, ако b не е равно на 0 и n е естествено число.

За доказателство можем да използваме свойството на предишната степен. Ако (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n и (a: b) n b n = a n, тогава следва, че (a: b) n е частно от деленето на a n на b n.

Пример 6

Нека преброим примера: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Пример 7

Нека започнем веднага с пример: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

А сега формулираме верига от равенства, които ще ни докажат правилността на равенството:

Ако имаме степени на степени в примера, тогава това свойство е вярно и за тях. Ако имаме естествени числа p, q, r, s, тогава ще е вярно:

a p q y s = a p q y s

Пример 8

Нека добавим подробности: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Друго свойство на степените с естествен показател, което трябва да докажем, е свойството за сравнение.

Първо, нека сравним експонентата с нула. Защо a n > 0, при условие че a е по-голямо от 0?

Ако умножим едно положително число по друго, също ще получим положително число. Знаейки този факт, можем да кажем, че това не зависи от броя на факторите - резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа е положително число. И какво е степен, ако не резултат от умножаване на числа? Тогава за всяка степен a n с положителна основа и естествен показател това ще е вярно.

Пример 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 и 34 9 13 51 > 0

Също така е очевидно, че степен с основа равна на нула сама по себе си е нула. На каквато и степен да повдигнем нула, тя ще остане нула.

Пример 10

0 3 = 0 и 0 762 = 0

Ако основата на степента е отрицателно число, тогава доказателството е малко по-сложно, тъй като концепцията за четен / нечетен показател става важна. Нека започнем със случая, когато показателят е четен и го означим с 2 · m, където m е естествено число.

Нека си спомним как правилно да умножаваме отрицателни числа: продуктът a · a е равен на произведението на модулите и следователно ще бъде положително число. Тогава и степента a 2 · m също са положителни.

Пример 11

Например (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 и - 2 9 6 > 0

Ами ако показателят с отрицателна основа е нечетно число? Нека го означим с 2 · m − 1 .

Тогава

Всички произведения a · a , според свойствата на умножението, са положителни, както и произведението им. Но ако го умножим по единственото останало число a, тогава крайният резултат ще бъде отрицателен.

Тогава получаваме: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Как да го докажа?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Пример 12

Например верни са неравенствата: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Остава да докажем последното свойство: ако имаме две степени, чиито основи са еднакви и положителни, а експонентите са естествени числа, то тази от тях е по-голяма, чийто показател е по-малък; а от две степени с естествени показатели и еднакви основи по-големи от единица, по-голяма е степента, чийто показател е по-голям.

Нека докажем тези твърдения.

Първо трябва да се уверим, че m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Изваждаме a n от скоби, след което нашата разлика ще приеме формата a n · (am − n − 1) . Резултатът му ще бъде отрицателен (тъй като резултатът от умножаването на положително число по отрицателно е отрицателен). Действително, според началните условия m − n > 0, тогава a m − n − 1 е отрицателно, а първият фактор е положителен, като всяка естествена степен с положителна основа.

Оказа се, че a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Остава да докажем втората част от формулираното по-горе твърдение: a m > a е вярно за m > n и a > 1 . Посочваме разликата и изваждаме n от скобите: (a m - n - 1) Степента на n с по-голямо от едно ще даде положителен резултат; и самата разлика също ще се окаже положителна поради началните условия, а при a > 1 степента на a m − n е по-голяма от единица. Оказва се, че a m − a n > 0 и a m > a n , което трябваше да докажем.

Пример 13

Пример с конкретни числа: 3 7 > 3 2

Основни свойства на степените с цели показатели

За степени с положителни цели показатели свойствата ще бъдат подобни, тъй като положителните числа са естествени числа, което означава, че всички равенства, доказани по-горе, са валидни и за тях. Те са подходящи и за случаи, когато експонентите са отрицателни или равни на нула (при условие, че основата на самата степен е различна от нула).

По този начин свойствата на степените са едни и същи за всякакви основи a и b (при условие, че тези числа са реални и не са равни на 0) и всички показатели m и n (при условие, че са цели числа). Записваме ги накратко под формата на формули:

Определение 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (am) n = a m n

6. a nb − n с цяло положително число n, положително a и b, a< b

7. a m< a n , при условии целых m и n , m >n и 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Ако основата на степента е равна на нула, тогава записите a m и a n имат смисъл само в случай на естествени и положителни m и n. В резултат откриваме, че формулировките по-горе са подходящи и за случаи със степен с нулева основа, ако всички други условия са изпълнени.

Доказателствата за тези свойства в този случай са прости. Ще трябва да си припомним какво е степен с естествен и цяло число, както и свойствата на действията с реални числа.

Нека анализираме свойството на степента в степента и докажем, че то е вярно както за положителни цели, така и за неположителни числа. Започваме с доказване на равенствата (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) и (a − p) − q = a (− p) (−q)

Условия: p = 0 или естествено число; q - подобно.

Ако стойностите на p и q са по-големи от 0, тогава получаваме (a p) q = a p · q. Вече сме доказвали подобно равенство преди. Ако p = 0 тогава:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Следователно (a 0) q = a 0 q

За q = 0 всичко е абсолютно същото:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Резултат: (a p) 0 = a p 0 .

Ако и двата индикатора са нула, тогава (a 0) 0 = 1 0 = 1 и a 0 0 = a 0 = 1, тогава (a 0) 0 = a 0 0 .

Припомнете си свойството на частното в доказаната по-горе степен и напишете:

1 a p q = 1 q a p q

Ако 1 p = 1 1 … 1 = 1 и a p q = a p q , тогава 1 q a p q = 1 a p q

Можем да преобразуваме тази нотация по силата на основните правила за умножение в a (− p) · q .

Също така: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

И (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Останалите свойства на степента могат да бъдат доказани по подобен начин чрез трансформиране на съществуващите неравенства. Няма да се спираме на това подробно, ще посочим само трудните точки.

Доказателство за предпоследното свойство: припомнете си, че a − n > b − n е вярно за всякакви отрицателни цели числа на n и всякакви положителни a и b, при условие че a е по-малко от b .

Тогава неравенството може да се трансформира, както следва:

1 a n > 1 b n

Записваме дясната и лявата част като разлика и извършваме необходимите трансформации:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

Припомнете си, че в условието a е по-малко от b , тогава, според дефиницията на степен с естествен показател: - a n 0 .

a n · b n в крайна сметка е положително число, защото неговите множители са положителни. В резултат на това имаме дроб b n - a n a n · b n , която в крайна сметка също дава положителен резултат. Оттук 1 a n > 1 b n откъдето a − n > b − n , което трябваше да докажем.

Последното свойство на степени с цели показатели се доказва подобно на свойството на степени с естествени показатели.

Основни свойства на степените с рационални показатели

В предишни статии обсъдихме какво е степен с рационален (дробен) показател. Техните свойства са същите като тези на степените с цели числа. нека напишем:

Определение 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 за a > 0 и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогава за a ≥ 0 (степени на свойството на продукта със същата основа).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, ако a > 0 (свойство частно).

3. a b m n = a m n b m n за a > 0 и b > 0 и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогава за a ≥ 0 и (или) b ≥ 0 (свойство на продукта в дробна степен).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n за a > 0 и b > 0, и ако m n > 0, тогава за a ≥ 0 и b > 0 (свойство на частно до дробна степен).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 за a > 0, и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогава за a ≥ 0 (свойство на степен в градуси).

6.ap0; ако p< 0 - a p >b p (свойството за сравняване на степени с равни рационални показатели).

7.ап< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q при 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

За да докажем тези разпоредби, трябва да си спомним какво е степен с дробен показател, какви са свойствата на аритметичния корен на n-та степен и какви са свойствата на степен с цяло число. Нека да разгледаме всеки имот.

Според какво е степен с дробен показател, получаваме:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 и a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, следователно, a m 1 n 1 a m 2 n 2 = am 1 n 1 a m 2 n 2

Свойствата на корена ще ни позволят да изведем равенства:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

От това получаваме: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Нека трансформираме:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Показателят може да се запише като:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Това е доказателството. Второто свойство се доказва по абсолютно същия начин. Нека запишем веригата от равенства:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Доказателства за останалите равенства:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Следващо свойство: нека докажем, че за всякакви стойности на a и b по-големи от 0, ако a е по-малко от b, ще се изпълни a pbp

Нека представим рационално число p като m n . В този случай m е цяло число, n е естествено число. Тогава условията p< 0 и p >0 ще бъде удължен до m< 0 и m >0 . За m > 0 и a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Използваме свойството корени и извеждаме: a m n< b m n

Като вземем предвид положителността на стойностите a и b, пренаписваме неравенството като a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

По същия начин за m< 0 имеем a a m >b m, получаваме a m n > b m n, така че a m n > b m n и a p > b p.

Остава да докажем последното свойство. Нека докажем, че за рационални числа p и q, p > q за 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 би било вярно a p > a q .

Рационалните числа p и q могат да се сведат до общ знаменател и да се получат дроби m 1 n и m 2 n

Тук m 1 и m 2 са цели числа, а n е естествено число. Ако p > q, тогава m 1 > m 2 (като се вземе предвид правилото за сравняване на дроби). След това на 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – неравенство a 1 m > a 2 m .

Те могат да бъдат пренаписани в следната форма:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

След това можете да направите трансформации и да получите като резултат:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

За да обобщим: за p > q и 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Основни свойства на степените с ирационални показатели

Всички свойства, описани по-горе, които степен с рационални показатели притежава, могат да бъдат разширени до такава степен. Това следва от самото му определение, което дадохме в една от предишните статии. Нека формулираме накратко тези свойства (условия: a > 0, b > 0, показателите p и q са ирационални числа):

Определение 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.apbp

7.ап< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, тогава a p > a q.

Така всички степени, чиито показатели p и q са реални числа, при условие че a > 0, имат едни и същи свойства.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Тема на урока: Степен с натурален показател

Тип урок: урок за обобщаване и систематизиране на знанията

Тип урок: комбинирани

Форми на работа: индивидуална, фронтална, работа по двойки

Оборудване: компютър, медиен продукт (представяне в програматаMicrosoftофисpower point 2007); карти със задачи за самоподготовка

Цели на урока:

Образователни : развиване на умения за систематизиране, обобщаване на знания за степента с естествен показател, консолидиране и подобряване на уменията за най-прости трансформации на изрази, съдържащи степени с естествен показател.

- развиващи се: насърчаване на формирането на умения за прилагане на методите за обобщение, сравнение, подчертаване на основното, развитието на математически хоризонти, мислене, реч, внимание и памет.

- образователни: насърчаване на образованието на интерес към математиката, активност, организация, формиране на положителен мотив за учене, развитие на умения за образователна и познавателна дейност

Обяснителна бележка.

Този урок се провежда в общообразователен клас със средно ниво на математическа подготовка. Основната задача на урока е да се развият уменията за систематизиране, обобщаване на знанията за степента с естествен показател, което се реализира в процеса на изпълнение на различни упражнения.

Развиващият характер се проявява в подбора на упражнения. Използването на мултимедиен продукт ви позволява да спестите време, да направите материала по-визуален, да покажете образци на дизайнерски решения.Урокът използва различни видоведейства, което облекчава умората на децата.

Структура на урока:

Организиране на времето.
Теми за съобщения, поставяне на цели на урока.
устна работа.
Систематизиране на основните знания.
Елементи на здравеопазващи технологии.
Изпълнение на тестова задача
Резултати от урока.
Домашна работа.

По време на часовете:

аз.Организиране на времето

Учител: Здравейте момчета! Радвам се да ви приветствам в нашия урок днес. Седни. Надявам се, че днес в урока ще имаме и успех, и радост. И ние, работейки в екип, ще покажем нашия талант.

Бъдете внимателни по време на урока. Мислете, питайте, предлагайте – тъй като заедно ще вървим по пътя към истината.

Отворете тетрадките и запишете числото, работа в клас

II. Съобщение за тема, поставяне на цел на урока

1) Темата на урока. Епиграф на урока.(Слайд 2.3)

„Нека някой се опита да зачеркне математиката

степен и той ще види, че без тях няма да стигнете далеч” M.V. Ломоносов

2) Поставяне на целите на урока.

Учител: И така, в урока ще повторим, обобщим и въведем изучения материал в системата. Вашата задача е да покажете знанията си за свойствата на степен с естествен показател и способността да ги прилагате при изпълнение на различни задачи.