По-рано вече говорихме какво е степен на число. Той има определени свойства, които са полезни при решаването на проблеми: ние ще анализираме тях и всички възможни степени в тази статия. Също така нагледно ще покажем с примери как те могат да бъдат доказани и правилно приложени на практика.
Нека си припомним формулираната по-рано концепция за степен с естествен показател: това е произведението на n-тия брой фактори, всеки от които е равен на a. Ще трябва също да си спомним как да умножаваме правилно реални числа. Всичко това ще ни помогне да формулираме следните свойства за степен с естествен показател:
Определение 1
1. Основното свойство на степента: a m · a n = a m + n
Може да се обобщи до: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
2. Свойство на частното за степени с еднакви бази: a m: a n = a m − n
3. Свойство степен на произведение: (a · b) n = a n · b n
Равенството може да се разшири до: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n
4. Свойство на частното спрямо естествената степен: (a: b) n = a n: b n
5. Повишете степента на степен: (a m) n = a m n,
Може да се обобщи до: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k
6. Сравнете степента с нула:
- ако a > 0, тогава за всяко естествено число n, a n ще бъде по-голямо от нула;
- с a равно на 0, a n също ще бъде равно на нула;
- при а< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- при а< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. Равенство a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. Неравенството a m > a n ще бъде вярно, при условие че m и n са естествени числа, m е по-голямо от n и a е по-голямо от нула и не по-малко от единица.
В резултат на това получихме няколко равенства; ако всички условия, посочени по-горе, са изпълнени, те ще бъдат идентични. За всяко от равенствата, например за основното свойство, можете да размените дясната и лявата страна: a m · a n = a m + n - същото като a m + n = a m · a n. В тази форма често се използва за опростяване на изрази.
1. Нека започнем с основното свойство на степента: равенството a m · a n = a m + n ще бъде вярно за всяко естествено m и n и реално a. Как да докажем това твърдение?
Основната дефиниция на степени с естествени показатели ще ни позволи да трансформираме равенството в продукт от фактори. Ще получим запис като този:
Това може да се съкрати до 
(запомнете основните свойства на умножението). В резултат на това получихме степента на числото a с естествен показател m + n. Така a m + n, което означава, че основното свойство на степента е доказано.
Нека го подредим конкретен пример, потвърждавайки това.
Пример 1
Така че имаме две степени с основа 2. Натуралните им показатели са съответно 2 и 3. Имаме равенството: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Нека изчислим стойностите, за да проверим валидността на това равенство.
Нека извършим необходимите математически операции: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 и 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32
В резултат на това получихме: 2 2 · 2 3 = 2 5. Имотът е доказан.
Благодарение на свойствата на умножението можем да обобщим свойството, като го формулираме под формата на три или повече степени, в които показателите са естествени числа, а основите са еднакви. Ако означим броя на естествените числа n 1, n 2 и т.н. с буквата k, получаваме правилното равенство:
a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
Пример 2
2. След това трябва да докажем следното свойство, което се нарича частно свойство и е присъщо на степени с еднакви бази: това е равенството a m: a n = a m − n, което е валидно за всякакви естествени m и n (и m е по-голямо от n)) и всяко ненулево реално a .
Като начало, нека изясним какво точно означават условията, които се споменават във формулировката. Ако приемем a равно на нула, тогава стигаме до деление на нула, което не можем да направим (в края на краищата 0 n = 0). Условието, че числото m трябва да е по-голямо от n, е необходимо, за да можем да останем в границите на естествените показатели: като извадим n от m, получаваме естествено число. Ако условието не е изпълнено, ще се окажем с отрицателно число или нула и отново ще отидем отвъд изучаването на степени с естествен показател.
Сега можем да преминем към доказателството. От това, което вече сме изучавали, нека си припомним основните свойства на дробите и формулираме равенството, както следва:
a m − n · a n = a (m − n) + n = a m
От него можем да изведем: a m − n · a n = a m
Нека си припомним връзката между деление и умножение. От него следва, че a m − n е частното на степените a m и a n. Това е доказателството за второто свойство на степента.
Пример 3
За по-голяма яснота нека заместим конкретни числа в експонентите и да обозначим основата на степента като π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3
3. След това ще анализираме свойството степен на произведение: (a · b) n = a n · b n за всяко реално a и b и естествено n.
Съгласно основната дефиниция на степен с естествен показател, можем да преформулираме равенството, както следва:
Припомняйки свойствата на умножението, пишем: 
. Това означава същото като a n · b n.
Пример 4
2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4
Ако имаме три или повече фактора, тогава това свойство се отнася и за този случай. Нека въведем обозначението k за броя на факторите и запишем:
(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n
Пример 5
С конкретни числа получаваме следното правилно равенство: (2 · (- 2 , 3) · a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) 7 · a
4. След това ще се опитаме да докажем свойството на частното: (a: b) n = a n: b n за всякакви реални a и b, ако b не е равно на 0 и n е естествено число.
За да докажете това, можете да използвате предишното свойство на степените. Ако (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n и (a: b) n · b n = a n, тогава следва, че (a: b) n е частното от деленето на a n по b n.
Пример 6
Нека изчислим пример: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3
Пример 7
Нека започнем веднага с пример: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6
Сега нека формулираме верига от равенства, която ще ни докаже, че равенството е правилно: 
Ако имаме степени на градуси в примера, тогава това свойство е вярно и за тях. Ако имаме естествени числа p, q, r, s, тогава ще е вярно:
a p q y s = a p q y s
Пример 8
Нека добавим някои подробности: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30
6. Друго свойство на степените с естествен показател, което трябва да докажем, е свойството сравнение.
Първо, нека сравним степента с нула. Защо a n > 0, при условие че a е по-голямо от 0?
Ако умножим едно положително число по друго, също получаваме положително число. Знаейки този факт, можем да кажем, че той не зависи от броя на факторите - резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа е положително число. Какво е степен, ако не резултат от умножаване на числа? Тогава за всяка степен a n с положителна основа и естествен показател това ще е вярно.
Пример 9
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 и 34 9 13 51 > 0
Също така е очевидно, че степен с основа равна на нула сама по себе си е нула. На каквато и степен да повдигнем нулата, тя ще си остане нула.
Пример 10
0 3 = 0 и 0 762 = 0
Ако основата на степента е отрицателно число, тогава доказателството е малко по-сложно, тъй като концепцията за четен/нечетен показател става важна. Нека първо вземем случая, когато показателят е четен, и го означим с 2 · m, където m е естествено число.
Нека си спомним как правилно да умножаваме отрицателни числа: продуктът a · a е равен на произведението на модулите и следователно ще бъде положително число. Тогава 
и степента a 2 m също са положителни.
Пример 11
Например (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 и - 2 9 6 > 0
Ами ако показателят с отрицателна основа е нечетно число? Нека го означим с 2 · m − 1 .
Тогава 
Всички продукти a · a, според свойствата на умножението, са положителни, както и тяхното произведение. Но ако го умножим по единственото останало число a, тогава крайният резултат ще бъде отрицателен.
Тогава получаваме: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
Как да докажа това?
a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
Пример 12
Например следните неравенства са верни: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. Просто трябва да докажем последното свойство: ако имаме две степени, чиито основи са еднакви и положителни и чиито показатели са естествени числа, тогава тази, чийто показател е по-малък, е по-голям; и от две степени с естествен показател и еднакви основи, по-големи от единица, тази, чийто степен е по-голяма, е по-голяма.
Нека докажем тези твърдения.
Първо трябва да се уверим, че m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
Нека извадим a n от скобите, след което разликата ни ще приеме формата a n · (a m − n − 1) . Резултатът му ще бъде отрицателен (защото резултатът от умножаването на положително число по отрицателно число е отрицателен). В крайна сметка, според началните условия, m − n > 0, тогава a m − n − 1 е отрицателно и първият фактор е положителен, както всеки естествена степенс положителна основа.
Оказа се, че a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
Остава да докажем втората част от формулираното по-горе твърдение: a m > a е вярно за m > n и a > 1. Нека посочим разликата и поставим n извън скоби: (a m − n − 1) Степента на n за по-голямо от едно ще даде положителен резултат; а самата разлика също ще се окаже положителна поради началните условия и при a > 1 степента a m − n е по-голяма от единица. Оказва се, че a m − a n > 0 и a m > a n , което трябваше да докажем.
Пример 13
Пример с конкретни числа: 3 7 > 3 2
Основни свойства на степените с цели показатели
За степени с цели положителни показатели свойствата ще бъдат подобни, тъй като положителните числа са естествени числа, което означава, че всички равенства, доказани по-горе, са верни и за тях. Те са подходящи и за случаи, когато експонентите са отрицателни или равни на нула (при условие, че основата на самата степен е различна от нула).
По този начин свойствата на степените са едни и същи за всякакви основи a и b (при условие, че тези числа са реални и не са равни на 0) и всички показатели m и n (при условие, че са цели числа). Нека ги запишем накратко под формата на формули:
Определение 2
1. a m · a n = a m + n
2. a m: a n = a m − n
3. (a · b) n = a n · b n
4. (a: b) n = a n: b n
5. (a m) n = a m n
6. a n< b n и a − n >b − n подчинено на положително цяло число n, положително a и b, a< b
7 сутринта< a n , при условии целых m и n , m >n и 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .
Ако основата на степента е нула, тогава записите a m и a n имат смисъл само в случай на естествени и положителни m и n. В резултат откриваме, че формулировките по-горе са подходящи и за случаи със степен с нулева основа, ако всички други условия са изпълнени.
Доказателство за тези свойства в в такъв случайне е сложно. Ще трябва да си припомним какво е степен с естествен и цяло число, както и свойствата на операциите с реални числа.
Нека да разгледаме свойството степен към степен и да докажем, че е вярно както за положителни, така и за неположителни цели числа. Нека започнем с доказване на равенствата (a p) q = a p · q, (a − p) q = a (− p) · q, (a p) − q = a p · (− q) и (a − p) − q = a (− p) · (− q)
Условия: p = 0 или естествено число; q – подобни.
Ако стойностите на p и q са по-големи от 0, тогава получаваме (a p) q = a p · q. Вече сме доказвали подобно равенство преди. Ако p = 0, тогава:
(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1
Следователно (a 0) q = a 0 q
За q = 0 всичко е абсолютно същото:
(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1
Резултат: (a p) 0 = a p · 0 .
Ако и двата индикатора са нула, тогава (a 0) 0 = 1 0 = 1 и a 0 · 0 = a 0 = 1, което означава (a 0) 0 = a 0 · 0.
Нека си припомним доказаното по-горе свойство на коефициентите и напишем:
1 a p q = 1 q a p q
Ако 1 p = 1 1 … 1 = 1 и a p q = a p q, тогава 1 q a p q = 1 a p q
Можем да трансформираме тази нотация по силата на основните правила за умножение в a (− p) · q.
Също така: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .
И (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)
Останалите свойства на степента могат да бъдат доказани по подобен начин чрез трансформиране на съществуващите неравенства. Няма да се спираме на това подробно, ще посочим само трудните точки.
Доказателство за предпоследното свойство: припомнете си, че a − n > b − n е вярно за всякакви отрицателни цели числа n и всякакви положителни a и b, при условие че a е по-малко от b.
Тогава неравенството може да се трансформира, както следва:
1 a n > 1 b n
Нека запишем дясната и лявата страна като разлика и извършим необходимите трансформации:
1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n
Припомнете си, че в условието a е по-малко от b, тогава, според дефиницията на степен с естествен показател: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
a n · b n в крайна сметка е положително число, защото неговите множители са положителни. В резултат на това имаме дробта b n - a n a n · b n, която в крайна сметка също дава положителен резултат. Оттук 1 a n > 1 b n откъдето a − n > b − n , което трябваше да докажем.
Последното свойство на степени с цели показатели се доказва подобно на свойството на степени с естествени показатели.
Основни свойства на степени с рационални показатели
В предишни статии разгледахме какво е степен с рационален (дробен) показател. Техните свойства са същите като тези на степените с цели числа. Нека запишем:
Определение 3
1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 за a > 0 и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогава за a ≥ 0 (свойство на продукта степени с еднакви бази).
2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, ако a > 0 (свойство частно).
3. a · b m n = a m n · b m n за a > 0 и b > 0 и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогава за a ≥ 0 и (или) b ≥ 0 (свойство на продукта в дробна степен).
4. a: b m n = a m n: b m n за a > 0 и b > 0 и ако m n > 0, тогава за a ≥ 0 и b > 0 (свойството на частното на дробна степен).
5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 за a > 0 и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогава за a ≥ 0 (свойство на степен в градуси).
6.а стр< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0 ; ако p< 0 - a p >b p (свойството за сравняване на степени с равни рационални показатели).
7.а стр< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q при 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q
За да докажем тези разпоредби, трябва да си спомним какво е степен с дробен показател, какви са свойствата на аритметичния корен на n-та степен и какви са свойствата на степен с цели показатели. Нека разгледаме всеки имот.
Според какво е степен с дробен показател, получаваме:
a m 1 n 1 = a m 1 n 1 и a m 2 n 2 = a m 2 n 2, следователно a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2
Свойствата на корена ще ни позволят да изведем равенства:
a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2
От това получаваме: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2
Нека трансформираме:
a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2
Показателят може да се запише като:
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
Това е доказателството. Второто свойство се доказва по абсолютно същия начин. Нека напишем верига от равенства:
a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2
Доказателства за останалите равенства:
a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2
Следващо свойство: нека докажем, че за всякакви стойности на a и b, по-големи от 0, ако a е по-малко от b, a p ще бъде изпълнено< b p , а для p больше 0 - a p >b p
Нека представим рационалното число p като m n. В този случай m е цяло число, n е естествено число. Тогава условията p< 0 и p >0 ще се простира до m< 0 и m >0 . За m > 0 и a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
Използваме свойството на корени и извеждаме: a m n< b m n
Като вземем предвид положителните стойности на a и b, пренаписваме неравенството като a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
По същия начин за m< 0 имеем a a m >b m, получаваме a m n > b m n, което означава a m n > b m n и a p > b p.
Остава да предоставим доказателство за последния имот. Нека докажем, че за рационални числа p и q, p > q при 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 ще бъде вярно a p > a q .
Рационалните числа p и q могат да се сведат до общ знаменател и да се получат дробите m 1 n и m 2 n
Тук m 1 и m 2 са цели числа, а n е естествено число. Ако p > q, тогава m 1 > m 2 (като се вземе предвид правилото за сравняване на дроби). След това на 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – неравенство a 1 m > a 2 m.
Те могат да бъдат пренаписани, както следва:
a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n
След това можете да направите трансформации и да завършите с:
a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n
За да обобщим: за p > q и 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .
Основни свойства на степени с ирационални показатели
До такава степен могат да се разширят всички свойства, описани по-горе, които има степен с рационални показатели. Това следва от самото му определение, което дадохме в една от предишните статии. Нека формулираме накратко тези свойства (условия: a > 0, b > 0, експонентите p и q са ирационални числа):
Определение 4
1. a p · a q = a p + q
2. a p: a q = a p − q
3. (a · b) p = a p · b p
4. (a: b) p = a p: b p
5. (a p) q = a p · q
6.а стр< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b p
7.а стр< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, тогава a p > a q.
По този начин всички степени, чиито показатели p и q са реални числа, при условие, че a > 0, имат едни и същи свойства.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Напомняме ви, че в този урок ще разберем свойства на степенитес натурални показатели и нула. Степени с рационални показатели и техните свойства ще се разглеждат в уроците за 8. клас.
Степен с естествен показател има няколко важни свойства, които ни позволяват да опростим изчисленията в примери със степени.
Имот No1
Продукт на мощности
Помня!
При умножаване на степени с еднакви основи основата остава непроменена, а показателите на степените се добавят.
a m · a n = a m + n, където „a“ е произволно число, а „m“, „n“ са произволни естествени числа.
Това свойство на степените се отнася и за произведението на три или повече степени.
- Опростете израза.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Представете го като степен.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Представете го като степен.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
важно!
Моля, обърнете внимание, че в посоченото свойство говорихме само за умножаване на степени с на същото основание . Не се отнася за добавянето им.
Не можете да замените сумата (3 3 + 3 2) с 3 5. Това е разбираемо, ако
пресметнете (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 и 3 5 = 243
Имот No2
Частични степени
Помня!
При деление на степени с еднакви основи основата остава непроменена, а показателят на делителя се изважда от показателя на делителя.
= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 443 8: t = 3 4
T = 3 8 − 4
Отговор: t = 3 4 = 81Използвайки свойства № 1 и № 2, можете лесно да опростявате изрази и да извършвате изчисления.
- Пример. Опростете израза.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5 - Пример. Намерете стойността на израз, като използвате свойствата на експонентите.
= = =
=2 9 + 2 2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 642 11 2 5 важно!
Моля, обърнете внимание, че в Свойство 2 говорихме само за разделяне на степени с еднакви основи.
Не можете да замените разликата (4 3 −4 2) с 4 1. Това е разбираемо, ако броите (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 и 4 1 = 4
Бъди внимателен!
Имот No3
Повишаване на степен на степенПомня!
При повишаване на степен на степен основата на степента остава непроменена, а показателите се умножават.
(a n) m = a n · m, където „a“ е произволно число, а „m“, „n“ са произволни естествени числа.
Свойства 4
Мощност на продуктаПомня!
При повдигане на продукт на степен, всеки от факторите се повдига на степен. След това получените резултати се умножават.
(a b) n = a n b n, където „a“, „b“ са произволни рационални числа; "n" е всяко естествено число.
- Пример 1.
(6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2 - Пример 2.
(−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6
важно!
Моля, обърнете внимание, че свойство № 4, подобно на други свойства на степените, също се прилага в обратен ред.
(a n · b n)= (a · b) nТоест, за да умножите степени с еднакви показатели, можете да умножите основите, но да оставите степента непроменена.
- Пример. Изчисли.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000 - Пример. Изчисли.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
В по-сложни примери може да има случаи, при които умножението и делението трябва да се извършват върху степени с различни основи и различни степени. В този случай ви съветваме да направите следното.
Например, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Пример за повдигане на десетична запетая на степен.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4Свойства 5
Степен на частно (фракция)Помня!
За да повдигнете частно на степен, можете да повдигнете дивидента и делителя поотделно на тази степен и да разделите първия резултат на втория.
(a: b) n = a n: b n, където „a“, „b“ са произволни рационални числа, b ≠ 0, n е всяко естествено число.
- Пример. Представете израза като частно на степените.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Напомняме ви, че частното може да бъде представено като дроб. Затова ще се спрем по-подробно на темата за повдигане на дроб на степен на следващата страница.
- Пример 1.
Формули за степенизползвани в процеса на редуциране и опростяване на сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.
Номер ° Се н-та степен на число аКога:
Операции със степени.
1. Чрез умножаване на градуси с една и съща основа се добавят техните показатели:
a m·a n = a m + n .
2. При деление на степени с еднаква основа се изваждат техните експоненти:
3. Степента на произведението на 2 или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Степента на дроб е равна на отношението на степените на делителя и делителя:
(a/b) n = a n /b n.
5. Повишаване на степен на степен, показателите се умножават:
(a m) n = a m n.
Всяка формула по-горе е вярна в посоките отляво надясно и обратно.
Например. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Операции с корени.
1. Коренът на произведението на няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:
2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:
3. Когато повдигате корен на степен, достатъчно е да повдигнете радикалното число на тази степен:
4. Ако увеличите степента на корена в нведнъж и в същото време се вграждат в нта степен е радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:
5. Ако намалите степента на корена в низвлечете корена едновременно н-та степен на радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:
Степен с отрицателен показател.Степента на определено число с неположителен (цял) показател се определя като единица, разделена на степента на същото число с показател, равен на абсолютната стойност на неположителния показател:
Формула a m:a n =a m - nможе да се използва не само за м> н, но и с м< н.
Например. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
За формулиране a m:a n =a m - nстана справедливо, когато m=n, изисква се наличие на нулева степен.
Диплома с нулев индекс.Степента на всяко число, което не е равно на нула с нулев показател, е равна на едно.
Например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Степен с дробен показател.Да се вдигне реално число Адо степен м/н, трябва да извлечете корена нта степен на м-та степен на това число А.
Ако трябва да повдигнете конкретно число на степен, можете да използвате . Сега ще разгледаме по-отблизо свойства на степените.
Експоненциални числаотварят големи възможности, те ни позволяват да трансформираме умножението в събиране, а събирането е много по-лесно от умножението.
Например, трябва да умножим 16 по 64. Продуктът от умножението на тези две числа е 1024. Но 16 е 4x4, а 64 е 4x4x4. Тоест 16 на 64 = 4x4x4x4x4, което също е равно на 1024.
Числото 16 може да се представи и като 2x2x2x2, а 64 като 2x2x2x2x2x2 и ако умножим, отново получаваме 1024.
Сега нека използваме правилото. 16=4 2, или 2 4, 64=4 3, или 2 6, в същото време 1024=6 4 =4 5, или 2 10.
Следователно нашата задача може да бъде написана по различен начин: 4 2 x4 3 =4 5 или 2 4 x2 6 =2 10 и всеки път получаваме 1024.
Можем да решим редица подобни примери и да видим, че умножаването на числа със степени се редуцира до добавяне на експоненти, или експоненциален, разбира се, при условие че основите на факторите са равни.
По този начин, без да извършваме умножение, можем веднага да кажем, че 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.
Това правило е вярно и при деление на числа със степени, но в този случай показателят на делителя се изважда от показателя на дивидента. Така 2 5:2 3 = 2 2, което в обикновени числа е равно на 32:8 = 4, тоест 2 2. Нека обобщим:
a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, където m и n са цели числа.
На пръв поглед може да изглежда, че това е така умножение и деление на числа със степенине е много удобно, защото първо трябва да представите числото в експоненциална форма. Не е трудно да представим числата 8 и 16, тоест 2 3 и 2 4, в този вид, но как да направим това с числата 7 и 17? Или какво да правим в случаите, когато едно число може да бъде представено в експоненциална форма, но основите за експоненциални изрази на числа са много различни. Например 8x9 е 2 3 x 3 2, в който случай не можем да сумираме показателите. Нито 2 5, нито 3 5 са отговорът, нито отговорът се намира в интервала между тези две числа.
Тогава струва ли си изобщо да се занимавате с този метод? Определено си заслужава. Той осигурява огромни предимства, особено за сложни и отнемащи време изчисления.
Една от основните характеристики в алгебрата и в цялата математика е степента. Разбира се, в 21 век всички изчисления могат да се правят на онлайн калкулатор, но е по-добре за развитието на мозъка да се научите как да го правите сами.
В тази статия ще разгледаме най-важните въпроси относно това определение. А именно, нека разберем какво е това като цяло и какви са основните му функции, какви свойства има в математиката.
Нека да разгледаме примери как изглежда изчислението и какви са основните формули. Нека да разгледаме основните типове количества и как те се различават от другите функции.
Нека разберем как да решаваме различни проблеми, използвайки това количество. Ще покажем с примери как да повдигнем на нулева степен, ирационално, отрицателно и т.н.
Онлайн калкулатор за степенуване
Какво е степен на число
Какво се има предвид с израза „повишаване на число на степен“?
Степента n на число е произведение на множители с големина a n пъти подред.
Математически изглежда така:
a n = a * a * a * …a n .
Например:
- 2 3 = 2 на трета степен. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 към стъпка. две = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 за стъпка. четири = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 = 10 в 5 стъпки. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
- 10 4 = 10 в 4 стъпки. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
По-долу има таблица с квадратчета и кубчета от 1 до 10.
Таблица на градусите от 1 до 10
По-долу са резултатите от повишаване на естествените числа до положителни степени - „от 1 до 100“.
| Ч-ло | 2-ри ст. | 3-ти етап |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Свойства на степените
Какво е характерно за такава математическа функция? Нека да разгледаме основните свойства.
Учените са установили следното признаци, характерни за всички степени:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m) ;
- (a b) m = (a) (b*m) .
Нека проверим с примери:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. От друга страна, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.
По същия начин: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. В противен случай 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Ами ако е различно? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Както можете да видите, правилата работят.
Но какво да кажем за със събиране и изваждане? Просто е. Първо се извършва степенуване, а след това събиране и изваждане.
Нека да разгледаме примери:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Моля, обърнете внимание: правилото няма да е в сила, ако първо извадите: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.
Но в този случай първо трябва да изчислите добавянето, тъй като в скоби има действия: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Как да произвеждаме изчисления в по-сложни случаи? Редът е същият:
- ако има скоби, трябва да започнете с тях;
- след това степенуване;
- след това изпълнява операциите умножение и деление;
- след събиране, изваждане.
Има специфични свойства, които не са характерни за всички степени:
- Коренът n-ти от число a на степен m ще бъде записан като: a m / n.
- При повдигане на дроб на степен: както числителят, така и знаменателят му са предмет на тази процедура.
- При повдигане на произведението на различни числа на степен, изразът ще съответства на произведението на тези числа на дадена степен. Тоест: (a * b) n = a n * b n.
- Когато повдигате число на отрицателна степен, трябва да разделите 1 на число от същия век, но със знак „+“.
- Ако знаменателят на дроб е на отрицателна степен, тогава този израз ще бъде равен на произведението на числителя и знаменателя на положителна степен.
- Произволно число на степен 0 = 1 и на степен. 1 = към себе си.
Тези правила са важни в някои случаи, ще ги разгледаме по-подробно по-долу.
Степен с отрицателен показател
Какво да правим с минус градус, т.е. когато индикаторът е отрицателен?
Въз основа на свойства 4 и 5(виж точката по-горе), Оказва се:
A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.
И обратно:
1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.
Ами ако е дроб?
(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Степен с натурален показател
Разбира се като степен с показатели, равни на цели числа.
Неща, които трябва да запомните:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...и т.н.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...и т.н.
Освен това, ако (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...тогава резултатът ще бъде със знак "+". Ако отрицателно число се повдигне на нечетна степен, тогава обратното.
За тях са характерни и общи свойства, както и всички специфични характеристики, описани по-горе.
Дробна степен
Този тип може да бъде написан като схема: A m / n. Прочетете като: корен n-ти от числото A на степен m.
Можете да правите каквото искате с дробен индикатор: да го намалите, да го разделите на части, да го повишите на друга степен и т.н.
Степен с ирационален показател
Нека α е ирационално число и A ˃ 0.
За да разберете същността на степента с такъв показател, Нека разгледаме различни възможни случаи:
- A = 1. Резултатът ще бъде равен на 1. Тъй като има аксиома - 1 във всички степени е равно на единица;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рационални числа;
- 0˂А˂1.
В този случай е обратното: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 при същите условия като във втория параграф.
Например показателят е числото π.Това е рационално.
r 1 – в този случай е равно на 3;
r 2 – ще бъде равно на 4.
Тогава за A = 1, 1 π = 1.
A = 2, след това 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, след това (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Такива степени се характеризират с всички математически операции и специфични свойства, описани по-горе.
Заключение
Нека обобщим - за какво са необходими тези количества, какви са предимствата на подобни функции? Разбира се, на първо място, те опростяват живота на математиците и програмистите при решаване на примери, тъй като им позволяват да минимизират изчисленията, да съкратят алгоритмите, да систематизират данни и много други.
Къде другаде могат да бъдат полезни тези знания? Във всяка работна специалност: медицина, фармакология, стоматология, строителство, технология, инженерство, дизайн и др.
