ŠIESTA KAPITOLA
DOMINO A KOCKA
A. Domino
197. Koľko bodov?
198. Dva triky
199. Hru zaručene vyhrá
200. Rám
201. Rám v rámci
202. "Windows"
203. Čarovné domino štvorčeky
204. Čarovný štvorec s otvorom
205. Násobenie dominou
206. Uhádni zamýšľanú dominovú kosť
B. Kocka
207. Aritmetický trik s kockami
208. Hádanie počtu bodov na skrytých hranách
209. V akom poradí sú kocky usporiadané?
SIEDMA KAPITOLA
VLASTNOSTI DEVIATKY
210. Ktoré číslo je prečiarknuté?
211. Skrytý majetok
212. Niekoľko zábavnejších spôsobov, ako nájsť chýbajúce číslo
213. Pomocou jednej číslice výsledku určte ďalšie tri
214. Hádanie rozdielu
215. Určenie veku
216. Aké je tajomstvo?
ÔSMA KAPITOLA
S ALGEBROU A BEZ
217. Vzájomná pomoc
218. Flákač a čert
219. Chytré dieťa
220. Poľovníci
221. Prichádzajúce vlaky
222. Veru vytlačí rukopis
223. Hubový príbeh
224. Kto sa vráti prvý?
225. Plavec a klobúk
226. Dve lode
227. Otestujte svoj um!
228. Rozpaky odvrátené
229. Koľkokrát viac?
230. Motorová loď a hydroplán
231. Cyklisti korčuliari v aréne
232. Rýchlosť práce sústružníka Bykova
233. Jazda Jacka Londona
234. Chyby sú možné kvôli neúspešným analógiám
235. Právny incident
236. Vo dvojici a trojici
237. Kto jazdil na koni?
238. Dvaja motorkári
239. V ktorom lietadle sedí Volodinov otec?
240. Polámať na kúsky
241. Dve sviečky
242. Úžasný poznatok
243. "Správny čas"
244. Hodiny
245. Koľko je hodín?
246. O koľkej sa schôdza začala a skončila?
247. Seržant trénuje skautov
248. Podľa dvoch správ
249. Koľko nových staníc bolo vybudovaných?
250. Vyber štyri slová
251. Je takéto váženie prijateľné?
252. Slon a komár
253. Päťmiestne číslo
254. Môžete dorásť do sto rokov bez toho, aby ste zostarli
255. Lukášov problém
256. Zvláštna prechádzka
257. Jedna vlastnosť jednoduchých zlomkov
DEVIATA KAPITOLA
MATEMATIKA TAKMER BEZ VÝPOČTOV
258. V tmavej miestnosti
259. Jablká
260. Predpoveď počasia (vtip).
261. Deň lesa
262. Kto má aké meno?
263. Súťaž v presnosti
264. Kúpa
265. Cestujúci jedného kupé
266. Finále šachového turnaja Sovietskej armády
267. Nedeľa
268. Aké je priezvisko vodiča?
269. História uhlia
270. Bylinkári
271. Skryté delenie
272. Šifrované akcie (číselné hádanky)
273. Aritmetická mozaika
274. Motocyklista a jazdec na koni
275. Peši a autom
276. "Naopak"
277. Odhaliť falošnú mincu
278. Logická remíza
279. Traja mudrci
280. Päť otázok pre školákov
281. Úvaha namiesto rovnice
282. Podľa zdravého rozumu
283. Áno alebo nie?
DESIATA KAPITOLA
MATEMATICKÉ HRY A triky
A. Hry
284. Jedenásť položiek
285. Buď posledný, kto odoberie zápalky
286. Dokonca vyhráva
287. Jianshizi
288. Ako vyhrať?
289. Rozlož štvorec
290. Kto ako prvý povie „sto“?
291. Hra štvorcov
292. Oua
293. "Matematika" (talianska hra)
294. Hra magických štvorcov
295. Priesečník čísel
B. Zameriava sa
296. Uhádnutie zamýšľaného počtu (7 trikov)
297. Uhádni výsledok výpočtu bez toho, aby si sa niečo opýtal
298. Kto koľko zobral a zistil
299. Jeden, dva, tri pokusy... a hádal som správne
300. Kto zobral gumu a kto ceruzku?
301. Tipovanie troch plánovaných termínov a súčtu
302. Uhádni niekoľko čísel
303. Koľko máš rokov?
304. Uhádni vek
305. Geometrický trik (záhadné zmiznutie)
JEDENÁSTA KAPITOLA
DELENIE ČÍSEL
306. Číslo na hrobe
307. Darčeky na Nový rok
308. Môže existovať také číslo?
309. Košík vajec (zo starej francúzskej knihy problémov)
310. Trojmiestne číslo
311. Štyri lode
312. Chyba pokladníka
313. Číselná hádanka
314. Test deliteľnosti 11
315. Kombinovaný test deliteľnosti 7, 11 a 13
316. Zjednodušenie testu deliteľnosti 8
317. Úžasná pamäť
318. Kombinovaný test deliteľnosti 3, 7 a 19
319. Deliteľnosť dvojčlenu
320. Staré a nové o deliteľnosti 7
321. Rozšírenie znamienka na ďalšie čísla
322. Zovšeobecnený test deliteľnosti
323. Zvedavosť deliteľnosti
DVANÁSTA KAPITOLA
KRÍŽOVÉ SÚČTY A MAGICKÉ ŠTVORCE
A. Krížové sumy
324. Zaujímavé skupiny
325. "Hviezda"
326. "Kryštál"
327. Okenná výzdoba
328. Kto uspeje ako prvý?
329. "Planetárium"
330. "Ornament"
B. Magické štvorce
331. Cudzinci z Číny a Indie
332. Ako si vyrobiť čarovný štvorec sám?
333. O prístupoch k všeobecným metódam
334. Skúška vynaliezavosti
335. „Magická“ hra „15“
336. Netradičný magický štvorec
337. Čo je v centrálnej bunke?
338. „Mágia“ funguje
339. „Krabička“ aritmetických kuriozít
B. Prvky teórie magických štvorcov
340. "Pridaním"
341. „Správne“ magické štvorce štvrtého rádu
342. Výber čísel pre magické štvorce ľubovoľného poradia
KAPITOLA TRINÁSŤ.
ZÁBAVNÉ A VÁŽNE V ČÍSLACH
343. Desať číslic (postrehy).
344. Niekoľko ďalších zaujímavých postrehov
345. Dve zaujímavé skúsenosti
346. Číselný kolotoč
347. Disk okamžitého násobenia
348. Duševná gymnastika
349. Číselné vzory
350. Jeden za všetkých a všetci za jedného
351. Číselné nálezy
352. Pozorovanie série prirodzené čísla
353. Nepríjemný rozdiel
354. Symetrický súčet (neobhryzený orech)
KAPITOLA ŠTRNÁSŤ
ČÍSLA SÚ STARÉ, ALE NAVŽDY MLADÉ
A. Pôvodné čísla
355. Prvočísla a zložené čísla
356. „Eratosthenove sito“
357. Nové „sito“ pre prvočísla
358. Päťdesiat prvých prvočísel
359. Ďalší spôsob, ako získať prvočísla
360. Koľko prvočísel?
B. Fibonacciho čísla
361. Verejný súdny proces
362. Fibonacciho rad
363. Paradox
364. Vlastnosti čísel vo Fibonacciho rade
B. Kučeravé čísla
365. Vlastnosti zložených čísel
366. Pytagorove čísla
KAPITOLA Pätnásta
GEOMETRICKÝ CHYTRÝ V PRÁCI
367. Geometria výsevu
368. Racionalizácia pri ukladaní tehál na prepravu
369. Geometrické robotnice
Predslov k druhému vydaniu 3
Prvá kapitola
ZÁBAVNÉ ÚLOHY
Oddiel I
1. Pozorovateľskí priekopníci 9 385
2. „Kamenný kvet“ 10 385
3. Pohyblivá dáma 11 385
4. V troch ťahoch 11 386
5. Spočítajte to! 12 386
6. Záhradníkova cesta 12,386
7. Musíme si uvedomiť 13 386
8. Bez váhania 13 386
9. Dolu - hore 13,387
10. Prechod cez rieku (dávna úloha) 14,387
11. Vlk, koza a kapusta 14 387
12. Vyvaľkajte čierne guličky 15 388
13. Oprava reťaze 15 388
14. Opravte chybu 16 390
15. Z troch - štyroch (vtip) 16 390
16. Tri a dva sú osem (ďalší vtip) 16 390
17 Tri štvorce 16 390
18. Koľko dielov? 17 390
19. Skúste to! 17 391
20. Usporiadanie vlajok 17 391
21. Uložiť paritu 18 391
22. „Magický“ trojuholník číslo 18,391
23. Ako 12 dievčat hralo loptu 19 392
24. Štyri rovné čiary 20 392
25. Oddeľte kozy od kapusty 20 392
26. Dva vlaky 21 392
27. Pri prílive (vtip) 21 393
28. Vytočte číslo 22 393
29. Zlomený číselník 22 393
30. Úžasné hodiny (čínske puzzle) 23 393
31. Tri za sebou 24 395
32. Desať riadkov 24 395
33. Umiestnenie mincí 25 395
34. Od 1 do 19 26 395
35. Rýchlo, ale opatrne 26 396
36. Vyčíslená rakovina 27,396
37. Cena knihy 27 396
38. Nepokojná mucha 27 396
39. Za menej ako 50 rokov 28 396
40. Dva vtipy 28 396
41. Koľko mám rokov? 29 396
42. Hodnotiť „na prvý pohľad“ 29 397
43. Pridanie rýchlosti - 29 397
44. V ktorej ruke? (matematické zameranie) 31 397
45. Koľko ich je? 31,398
46. Rovnaké čísla 31 398
47. Sto 31 398
48. Aritmetický súboj 32,398
49. Dvadsať 33 398
50. Koľko trás? 33,399
51. Zmeňte usporiadanie čísel 35 400
52. Rôzne akcie, rovnaký výsledok 35402
53. Deväťdesiatdeväť a sto 36 402
54. Skladacia šachovnica 36 402
55. Hľadaj môj 36 402
56. Zhromaždite sa do skupín po 2 38 402
57. Zhromaždite sa do skupín po 3 39 402
58. Hodiny sa zastavili na 39 404
59. Štyri aritmetické operácie 39 404
60. Zmätený vodič 40 404
61. Pre hydroelektrický komplex Tsimlyansky 41 404
62. Dodávka obilia na čas 41 405
63. Vo vidieckom vlaku 41 405
64. Od 1 do 1 000 000 000 41 405
65. Nočná mora futbalového fanúšika 42 406
Oddiel II
66. Hodiny 43 406
67. Schodisko 43 407
68. Puzzle 43 407
69. Zaujímavé zlomky 43 407
70. Aké číslo? 44 407
71. Cesta školáka 44 407
72. Na štadióne 44 407
73. Vyhrali ste? 44 407
74. Budík 44 407
75. Namiesto malých akcií veľké 45 407
76. Tyčinka na mydlo 45 408
77. Aritmetické matice 45 408
78. Domino zlomky 46 409
79. Mišove mačiatka 48 409
80. Priemerná rýchlosť 48 409
81. Spiaci cestujúci 48 409
82. Aká je dĺžka vlaku? 48 409
83. Cyklista 48 409
84. Konkurencia 49 409
85. Kto má pravdu? 49 409
86. Na večeru - 3 opečené plátky 50 410
Kapitola druhá
OTÁZKY
87. Vynaliezavosť kováča Hecho 51 410
88. Mačka a myši 53 410
89. Zápasy okolo mince 54 411
90. Los padol na sisku a červienku 54 411
91. Usporiadaj mince 55 411
92. Pass cestujúci1 55 412
93. Problém, ktorý vznikol z rozmaru troch dievčat 56 412
94. Ďalší rozvoj úlohy 57 413
95. Skákajúca dáma 57 415
96. Biela a čierna 57 415
97. Komplikovanie problému 58 415
98. Karty sú naskladané v číselnom poradí 58 415
99. Dva lokačné hádanky 59,417
100. Tajomná schránka 59 417
101. Odvážna „posádka“ 60 417
102. Žiarivky v TV miestnosti 61 419
103. Umiestnenie morčiat 62 421
104. Príprava na dovolenku 63 422
105. Sadiť duby inak 65 423
106. Geometrické hry 65 423
107. Párne a nepárne (puzzle) 68 424
108. Usporiadajte usporiadanie dám 69 424
109. Puzzle darček 69 425
110. Rytiersky ťah 70 425
111. Pohyblivá dáma (2 hlavolamy) 71,425
112. Pôvodné zoskupenie celých čísel od 1 do 15 72 426
113. Osem hviezd 73 426
114. Dva problémy na usporiadanie listov 73 427
115. Rozloženie viacfarebných štvorcov 74 429
116. Posledný žetón 74 430
117. Kotúčový krúžok 75 431
118. Korčuliari na klzisku umelý ľad 76 431
119. Vtipná úloha 77,432
120. Stoštyridsaťpäť dverí (puzzle) 77 432
121. Ako sa dostal väzeň na slobodu? 79 432
Kapitola tretia
GEOMETRIA NA ZÁPASKÁCH
122. Päť hlavolamov 85 433
123. Osem hlavolamov 86 433
124. Z deviatich zápasov 86 433
125. Špirála 87 433
126. Vtip 87 433
127. Odstráňte dve zápalky 87 433
128 Fasáda „domu“ 87 433
129 Vtip 88 433
130 Trojuholníky 88 433
131 Koľko zápasov je potrebné odstrániť? 88 433
132 Vtip 88 433
133 „Plot“ 88 433
134. Vtip 89 433
135. "Šípka" 89 433
136. Štvorce a kosoštvorce 89 433
137. Rôzne mnohouholníky na jednom obrázku 89 433
138 Usporiadanie záhrady 89 433
139 Rovnakým dielom 90 433
140. Parkety 91 433
141 Pomer plôch si zachoval 91,441
142. Nájdite obrys obrázku 91 441
143 Nájdite dôkaz 92 441
144. Zostrojte a dokážte 92 441
Kapitola štvrtá
VYSKÚŠAJTE SIEDEM KRÁT, RAZ STRIEJTE RAZ
145. Rovnakým dielom 93 442
146. Sedem ruží na torte 95 443
147. Postavy, ktoré stratili obrys 95 445
148. Poraďte 96 445
149. Žiadne straty! 96 445
150. Keď nacisti zasahovali do našej pôdy 97 447
151. Spomienky elektrikára 98 447
152. Všetko ide do akcie 99 447
153. Puzzle 99 447
154. Podkovičku 99 447 rozrež
155. V každej časti 99 448 je diera
156. Z „džbánu“ - štvorec 100 448
157. Štvorec z písmena „E“ 100 448
158. Krásna premena 100 449
159. Obnova kobercov 101449
160. Milá odmena 101 449
161. Pomôžte chudákovi! 102 449
162. Darček pre babičku 103 451
163. Tesársky problém 104 451
164. A kožušník má geometriu! 104 452
165. Každý kôň, stajňa 105 453
166. Ešte viac! 105 453
167. Premena mnohouholníka na štvorec 106 453
168. Premena pravidelného šesťuholníka na rovnostranný trojuholník 107 453
Piata kapitola
ZRUČNOSTI SA VYUŽIJÚ VŠADE
169. Kde je cieľ? 109 454
170. Päť minút na premýšľanie 110 455
171. Nepredvídané stretnutie 110 455
172. Cestovný trojuholník Ш 456
173. Skúste vážiť 111 458
174. Prestup 112 458
175. Sedem trojuholníkov 112 458
176. Umelecké plátna 112 458
177. Koľko váži fľaša? 113 459
178. Kocky 113 460
179. Jar s brokom 114 461
180. Kde prišiel seržant? 114 461
181. Určte priemer guľatiny 115 461
182. Nečakaná obtiažnosť 115 461
183. Príbeh študenta technickej školy 116 461
184. Je možné dosiahnuť úsporu 100°/o? 116 463
185. Na jarných váhach 117 463
186. Dizajnérska vynaliezavosť 117 463
187. Mišov neúspech 117 465
188. Nájdite stred kruhu 119 465
189. Ktorá krabica je ťažšia? 119 466
190. Tesárske umenie 120 466
191. Geometria na lopte 120 466
192. Potrebná je veľká vynaliezavosť 121 467
193. Ťažké podmienky 121 468
194. Prefabrikované polygóny 122 468
195. Kuriózna technika skladania podobných obrazcov 125 469
196. Kĺbový mechanizmus na stavbu pravidelných mnohouholníkov 127 471
Kapitola šiesta
DOMINO A KOCKA
A. Domino
197. Koľko bodov? 132 471
198. Dve ohniská 133 471
199. V hre je zaručená výhra 134 471
200. Rám 135 472
201. Rám v ráme 136 472
202. „Windows“ 136 473
203. Čarovné štvorčeky z domina 137 473
204. Magický štvorec s otvorom 141 473
205. Násobenie v domine 141 473
206. Uhádni zamýšľanú dominovú kosť 142 473
B. Kocka
207. Aritmetický trik s kockami 144 473
208. Uhádnutie počtu bodov na skrytých hranách 145 477
209. V akom poradí sú kocky usporiadané? 145 478
Siedma kapitola
VLASTNOSTI DEVIATKY
210. Ktoré číslo je prečiarknuté? 149 478
211. Skrytý majetok 152 479
212. Niekoľko zábavnejších spôsobov, ako nájsť chýbajúce číslo 152480
213. Pomocou jednej číslice výsledku určte zvyšné tri 154 480
214. Tipovanie rozdielu 154 481
215. Určenie veku 154 481
216. Aké je tajomstvo? 154 482
Kapitola ôsma
S ALGEBROU A BEZ
217. Vzájomná výpomoc 159 482
218. Lenivec a čert 160 483
219. Chytré dieťa 161 483
220. Poľovníci 161 483
221. Prichádzajúce vlaky 162 484
222. Vera tlačí rukopis 162 484
223. Hubový príbeh 163 484
224. Kto sa vráti prvý? 164 484
225. Plavec a klobúk 164 486
226. Dve lode 165 486
227. Otestujte svoj um! 165 487
228. Rozpaky odvrátené 166.488
229. Koľkokrát viac? 166,488
230. Motorová loď a hydroplán 167 488
231. Cyklisti korčuliari v aréne 167 489
232. Pracovná rýchlosť obracačky Bykov 168 489
233. Jazda Jacka Londona 168 489
234. V dôsledku neúspešných analógií sú možné chyby169 490
235. Právny incident 170 491
236. Vo dvojiciach a trojiciach 171 491
237. Kto jazdil na koni? 171 491
238. Dvaja motorkári 171 492
239. V ktorom lietadle sedí Volodinov otec? 172 492
240. Rozbiť na časti 173 493
241. Dve sviečky 173 493
242. Úžasný pohľad 173 493
243. „Správny čas“ 174 493
244. Hodiny 174 494
245. Koľko je hodín? 174 495
246. O koľkej sa schôdza začala a skončila? 175 496
247. Seržant trénuje skautov 175 497
248. Podľa dvoch správ 176.498
249. Koľko nových staníc bolo vybudovaných? 176 498
250. Vyberte štyri slová 177 498
251. Je takéto váženie prijateľné? 177 499
252. Slon a komár 178 500
253. Päťmiestne číslo 179 500
254. Môžete dorásť do sto rokov bez toho, aby ste zostarli 179 500
255. Lukášov problém 181 501
256. Svojrázna prechádzka,.181 502
257. Jedna vlastnosť jednoduchých zlomkov 182 504
Kapitola deviata
MATEMATIKA TAKMER BEZ VÝPOČTOV
V tmavej miestnosti
Jablká
Predpoveď počasia (vtip)
Deň lesa
kto má aké meno?
Súťaž v presnosti
Nákup
Cestujúci v jednom kupé
Finále sovietskeho armádneho šachového turnaja
nedeľu
Aké je priezvisko vodiča?
Kriminálna história
Bylinkári
Skryté rozdelenie
Šifrované akcie (číselné hádanky)
Aritmetická mozaika
Motocyklista a jazdec na koni
Peši aj autom
"Naopak"
Objavte falošnú mincu
Logická remíza
Traja mudrci
Päť otázok pre školákov
Úvaha namiesto rovnice
Podľa zdravého rozumu
Áno alebo nie?
Desiata kapitola
MATEMATICKÉ HRY A triky
A. Hry
284. Jedenásť položiek 201
285. Vezmite si posledných 202 zápasov
286. Dokonca 202 výhier
287. Jianshizi 202
288. Ako vyhrať? 204
289. Rozložte štvorec 205
290. Kto ako prvý povie „sto“? 206
291. Hra štvorcov 206
292. Oua 209
293. „Matetzatico“ (talianska hra) 212
294. Hra magické štvorce 213
295. Priesečník čísel 215
B. Zameriava sa
296. Uhádnutie zamýšľaného počtu (7 trikov) 219
297. Uhádnite výsledok výpočtu bez toho, aby ste sa na niečo pýtali 224
298. Zistil som, kto koľko bral 226
299. Jeden, dva, tri pokusy a hádam 226 537
300. Kto zobral gumu a kto ceruzku? 227 537
301. Tipovanie troch plánovaných termínov a sumy 227 537
302. Uhádni niekoľko čísel 228 538
303. Koľko máš rokov? 229 538
304. Uhádni vek 229 538
305. Geometrický trik (záhadné zmiznutie) 230 538
Jedenásta kapitola
DELENIE ČÍSEL
306. Číslo na hrobe je 232 539
307. Darčeky na Nový rok 233 540
308. Môže existovať také číslo? 233 540
309. Košík vajec (zo starej francúzskej problémovej knihy) 233 540
310. Trojmiestne číslo 234 540
311. Štyri lode 234 540
312. Chyba pokladníka 234 540
313. Číselná hádanka 234 541
314. Test na deliteľnosť 11 235 541
315. Kombinovaná skúška deliteľnosti 7, 11 a 13 237 541
316. Zjednodušenie testu deliteľnosti 8,239,541
317. Úžasná pamäť 240 542
318. Kombinovaná skúška deliteľnosti 3, 7 a 19. 242 543
319. Deliteľnosť dvojčlenky 242 543
320. Staré a nové o deliteľnosti 7,247,544
321. Rozšírenie atribútu na ďalšie čísla 251 -
322. Všeobecný test deliteľnosti 252 -
323. Zaujímavosť deliteľnosti 254 -
Kapitola dvanásta
KRÍŽOVÉ SÚČTY A MAGICKÉ ŠTVORCE
A. Krížové sumy
324. Zaujímavé skupiny 256 545
325. „Hviezda“ 257 545
326. „Krištáľ“ 257 545
327. Okenná výzdoba 258 545
328. Kto uspeje ako prvý? 258 545
329. „Planérium“ 259 545
330. „Ozdoba“ 259 545
B. Magické štvorce
331. Cudzinci z Číny a Indie 260 548
332. Ako si vyrobiť čarovný štvorec sám? 264 548
333. Pri vstupe do všeobecných metód 266 549
334. Skúška na vynaliezavosť 271 549
335. „Kúzelná“ hra „15“ 271 551
336. Netradičný magický štvorec 272 553
337. Čo je v centrálnej bunke? 273 553
338. „Kúzelné“ diela 275 553
339. „Krabička“ aritmetických kuriozít 278 -
340. „Podľa dodatku“ 280 -
341. „Správne“ magické štvorce štvrtého rádu 283 -
342. Výber čísel pre magický štvorec ľubovoľného rádu 287 -
TRINÁSTA KAPITOLA V ČÍSLACH Vtipné A VÁŽNE
343. Desať čísel (pozorovania) 298,554
344. Niekoľko ďalších zaujímavých postrehov 300 555
345. Dve zaujímavé skúsenosti 302 555
346. Kolotoč čísel 306 -
347. Disk okamžitého násobenia 309 -
348 Mentálna gymnastika 310 -
349. Číselné vzory 312 557
350 Jeden za všetkých a všetci za jedného 316 558
351. Početné nálezy 319 559
352. Pozorovanie radu prirodzených čísel 326 560
353. Nepríjemný rozdiel 339 -
354. Symetrický súčet (neobhryzený orech) 340 -
Kapitola štrnásta
ČÍSLA SÚ STARÉ, ALE NAVŽDY MLADÉ
A. Pôvodné čísla
355. Prvočísla a zložené čísla 341 -
356. „Eratosthenove sito“ 342 -
357. Nové „sito“ pre prvočísla 344 563
358. Päťdesiat prvých prvočísel 345 -
359. Ďalší spôsob, ako získať prvočísla. 345 -
360. Koľko prvočísel? 347
B. Fibonacciho čísla
361. Verejný test 347 -
362. Fibonacciho séria 351 -
363. Paradox 352 564
364. Vlastnosti čísel vo Fibonacciho rade 355 -
B. Kučeravé čísla
365. Vlastnosti figurálnych čísel 360 -
366. Pytagorejské čísla 369 -
15 KAPITOLA GEOMETRICKÝ V PRÁCI
367. Geometria výsevu 372 -
368. Racionalizácia pri ukladaní tehál na prepravu 375 -
369. Geometrickí robotníci 377
Rozpoznané dve kapitoly:
PREDSLOV K DRUHÉMU VYDANIU
V práci, v učení, v hre, v akejkoľvek tvorivej činnosti potrebuje človek inteligenciu, vynaliezavosť, dohady, schopnosť uvažovať - to všetko naši ľudia výstižne definujú jedným slovom „dôvtipný“. Vynaliezavosť je možné pestovať a rozvíjať systematickými a postupnými cvičeniami, najmä riešením matematických úloh tak v školskom kurze, ako aj problémov vyplývajúcich z praxe, súvisiacich s pozorovaním sveta vecí a udalostí okolo nás.
"Matematika," povedal M. I. Kalinin prihovoriac sa študentom stredná škola, - disciplinuje myseľ, zvyká si na logické myslenie. Nie nadarmo sa hovorí, že matematika je mentálna gymnastika.“
Každá rodina, v ktorej rodičom záleží na organizácii duševného vývoja detí a dospievajúcich, pociťuje potrebu vybraného materiálu vyplniť voľný čas užitočnými, rozumnými a nie nudnými matematickými cvičeniami.
Pre tento druh mimoškolských aktivít, rozhovorov a zábavy v voľný večer, v kruhu rodiny a s priateľmi, či v škole na mimoškolských stretnutiach je určená “Mathematical Savvy” - zbierka matematických miniatúr: rôzne úlohy, matematické hry, vtipy a triky, ktoré si vyžadujú duševnú prácu, rozvíjanie inteligencie a potrebnej logiky v uvažovanie.
V predrevolučných časoch boli zbierky E. I. Ignatieva „V kráľovstve vynaliezavosti“ široko známe. Teraz sú pre nášho čitateľa zastarané, a preto sa znova nezverejňujú. Napriek tomu sa v týchto zbierkach nachádzajú úlohy, ktoré ešte nestratili svoju pedagogickú a výchovnú hodnotu. Niektoré z nich boli zaradené do „Mathematical Savvy“ bez zmien, iné so zmeneným alebo úplne novým obsahom.
Pre „Matematickú vynaliezavosť“ som tiež vyberal a prípadne spracoval problémy spomedzi tých, ktoré sú roztrúsené po stránkach rozsiahleho domáceho a zahraničného populárna literatúra, snažiac sa však neopakovať problémy obsiahnuté v populárnych knihách Ya. I. Perelmana o zábavnej matematike.
Tento druh „malých“ matematických problémov niekedy vzniká ako vedľajší produkt seriózneho výskumu vedca; Mnoho problémov vymýšľajú amatéri aj učitelia ako špeciálne cvičenia pre „duševnú gymnastiku“. Rovnako ako hádanky a príslovia si zvyčajne nezachovávajú autorstvo a stávajú sa majetkom spoločnosti.
„Mathematical Savvy“ je určený pre čitateľov so širokou škálou matematických znalostí:
pre 10-11 ročného tínedžera, ktorý robí prvé pokusy o nezávislé myslenie;
pre stredoškoláka, ktorý je zapálený pre matematiku,
a pre dospelého, ktorý si chce otestovať a precvičiť svoj odhad.
Systematizácia úloh podľa kapitol je samozrejme veľmi ľubovoľná; Každá kapitola má ľahké aj ťažké problémy.
Kniha má pätnásť kapitol.
Prvá kapitola pozostáva z rôznych typov úvodných cvičení „pútavého“ charakteru, založených na dohadoch alebo priamo fyzické akcie(experiment), niekedy na jednoduché výpočty v rámci aritmetiky celých čísel (prvá časť kapitoly) a zlomkových čísel (druhá časť). Trochu narúšajúc klasifikačné poradie knihy som v prvej kapitole vyčlenil niekoľko jednoduchých úloh, ktoré tematicky patria do nasledujúcich kapitol. Stalo sa tak v záujme tých čitateľov, pre ktorých je stále ťažké samostatne rozlíšiť realizovateľnú úlohu od nemožnej. Riešením rôznych typov problémov v prvej kapitole v rade si budú môcť vyskúšať svoju prácu a potom preniesť svoj záujem o konkrétnu tému do zodpovedajúcich problémov nasledujúcich kapitol.
Na vyriešenie problémov druhej kapitoly musí vaša vlastná matematická vynaliezavosť a vytrvalosť prekonať všetky druhy prekážok a navrhnúť východisko z ťažkých situácií.
Tretia kapitola – „Geometria so zápalkami“ – obsahuje množstvo geometrických úloh – hádaniek.
Kapitola „Sedemkrát skúšať, raz strihať“ obsahuje úlohy na vyrezávanie tvarov.
Obsah úloh v kapitole „Zručnosť nájde uplatnenie všade“ súvisí s praktickými činnosťami a technikou.
Kapitola s názvom „Matematika takmer bez počtu“ obsahuje problémy, ktorých vyriešenie si vyžaduje reťaz šikovného a jemného uvažovania.
Hry a triky sú zhromaždené v samostatnej kapitole a sú tiež umiestnené v celej knihe. Obsahujú matematický základ a nepochybne spadajú do „oblasti vynaliezavosti“.
Tri kapitoly: „Krížové súčty a magické štvorce“, „Zvedavý a vážny v číslach“ a „Čísla sú staré, ale večne mladé“ sú venované niektorým zaujímavým pozorovaniam číselných vzťahov, ktoré sa nahromadili v matematike od staroveku až po naše časy.
Poslednou kapitolou sú dve krátke eseje o pracovnej vynaliezavosti ľudí našej vlasti, robotníkov na poliach a v továrňach.
Na rôznych miestach knihy sa čitateľovi ponúkajú drobné námety na samostatný výskum.
Na konci knihy sú riešenia problémov, ale nemali by ste sa na ne ponáhľať.
Každá „spravodajská“ úloha je nabitá nejakým „šmrncom“ a vo väčšine prípadov je tvrdým orieškom, ktorý nie je tak ľahké rozlúsknuť, no o to lákavejší.
Ak nemôžete vyriešiť problém ihneď, môžete ho dočasne preskočiť a prejsť na ďalší alebo na úlohy inej časti, inej kapitoly. Neskôr sa vráťte k zmeškanej úlohe.
„Mathematical Savvy“ nie je kniha na ľahké čítanie „na jeden záťah“, ale na prácu možno na niekoľko rokov, kniha na pravidelnú duševnú gymnastiku v malých porciách, spoločník čitateľa v jeho postupnom matematickom vývoji.
Všetok materiál v knihe je podriadený výchovno-vzdelávaciemu cieľu: podnietiť čitateľa k samostatnému tvorivému mysleniu a k ďalšiemu zdokonaľovaniu jeho matematických vedomostí.
Druhé vydanie Mathematical Savvy nie je stereotypným opakovaním prvého. Požadované zmeny boli vykonané v texte a v riešeniach niektorých problémov; jednotlivé úlohy boli nahradené novými, ktoré sú zmysluplnejšie; Kniha je prepracovaná.
Editor vydavateľstva M. M. Goryachaya vynaložil veľké úsilie na zlepšenie knihy.
Samostatným riešením problémov čitatelia v niektorých prípadoch našli ďalšie alebo jednoduchšie riešenia a láskavo mi oznámili svoje výsledky. Autori najzaujímavejších riešení sú uvedení na príslušných miestach v knihe.
Dúfam, že od čitateľov Smekalky dostanem spätnú väzbu a námety na ďalšie vylepšenie knihy, ale aj vlastné originálne úlohy a matematické materiály ľudového umenia.
Adresa: Moskva, B-64, ul. Chernyshevskogo, 31, apt. 53, Boris Anastaševič Kordemskij.
B. Kordemský.
ÚLOHY
„Kniha je kniha, ale pohni mozgom“
V. Majakovskij.
PRVÁ KAPITOLA. ZÁBAVNÉ ÚLOHY
ODDIEL I
Najprv si otestujte a precvičte svoju vynaliezavosť na problémoch, ktoré si vyžadujú iba jednoznačnú vytrvalosť, trpezlivosť, inteligenciu a schopnosť sčítať, odčítať, násobiť a deliť celé čísla.
1. Pozorní priekopníci
Školáci – chlapec a dievča – práve urobili meteorologické merania.
Teraz odpočívajú na kopci a sledujú, ako okolo prechádza nákladný vlak.
Lokomotíva pri stúpaní zúfalo dymí a fučí. Pozdĺž plátna železnice Vietor fúka plynulo a bez nárazov.
- Akú rýchlosť vetra ukázali naše merania? - spýtal sa chlapec.
- 7 metrov za sekundu.
- Dnes mi to na určenie rýchlosti vlaku stačí.
"No, áno," pochybovalo dievča.
- Pozrite sa bližšie na pohyb vlaku.
Dievča sa trochu zamyslelo a tiež si uvedomilo, čo sa deje.
A videli presne to, čo náš umelec nakreslil (obr. 1). Ako rýchlo išiel vlak?
Ryža. 1. Ako rýchlo ide vlak?
2. „Kamenný kvet“
Pamätáte si na talentovaného „remeselníka“ majstra Danilu z rozprávky P. Bazhova „Kamenný kvet“?
Na Urale hovoria, že Danila ešte ako študentka vyrezala dva takéto kvety (obr. 2), ktorých listy, stonky a okvetné lístky boli oddelené a z výsledných častí kvetov bolo možné poskladať tanier v tvar kruhu.
Skús to! Daniline kvety prekreslite na papier alebo kartón, vystrihnite okvetné lístky, stonky a listy a zložte ich do kruhu.
3. Pohyblivá dáma
Na stôl položte striedavo 6 kociek - čierna, biela, ďalšia čierna, ďalšia biela atď. (obr. 3).
Ryža. 3. Biela dáma by mala byť vľavo, po ktorej nasledujú čierne.
Vpravo alebo vľavo nechajte dostatok voľného miesta pre štyri dámy.
Je potrebné posunúť šachovnicu tak, aby všetky biele boli vľavo a potom všetky čierne. V tomto prípade musíte presunúť dve susedné dámy na prázdne miesto naraz bez toho, aby ste zmenili poradie, v ktorom ležia. Na vyriešenie úlohy stačí vykonať tri pohyby (tri ťahy)*).
Ak nemáte dámu, použite mince alebo nakrájajte kúsky papiera alebo lepenky.
*) Téma tejto úlohy je ďalej rozpracovaná v úlohách 96 a 97 (strany 57 a 58).
4. V troch ťahoch
Položte na stôl 3 kôpky zápaliek. Do jednej kôpky dajte 11 zápaliek, do druhej 7, do tretej 6. Pri presúvaní zápaliek z ktorejkoľvek kôpky na akúkoľvek inú musíte vyrovnať všetky tri kôpky tak, aby každá mala 8 zápaliek. Je to možné, pretože celkový počet zhody - 24 - deliteľné 3 bezo zvyšku; v tomto prípade je potrebné dodržať nasledujúce pravidlo: do každej kôpky môžete pridať presne toľko zápaliek, koľko je v nej. Napríklad, ak je v kôpke 6 zápaliek, možno doň pridať iba 6, ak sú v kôpke 4 zápalky, môžu sa k nemu pridať iba 4.
Úloha je vyriešená v 3 ťahoch.
5. Spočítajte to!
Otestujte si svoje geometrické pozorovacie schopnosti: spočítajte, koľko trojuholníkov je na obrázku znázornenom na obr. 4.
6. Cesta záhradníka
Na obr. 5 je znázornený plán malého jabloňového sadu (bodky - jablone). Záhradník spracoval všetky jablone v rade.
Ryža. 5. Plán jabloňového sadu.
Začal s bunkou označenou hviezdičkou a jednu po druhej obišiel všetky bunky, obe obsadené jabloňami a
zadarmo, bez toho, aby ste sa niekedy vrátili do prejdenej bunky. Nešiel po uhlopriečkach a nebol na zatienených celách, pretože tam boli umiestnené rôzne budovy.
Po skončení obchôdzok sa záhradník ocitol na tom istom námestí, z ktorého začal svoju cestu.
Nakreslite si do zošita cestu záhradníka.
7. Musíte byť múdri
V košíku je 5 jabĺk. Ako rozdeliť tieto jablká medzi päť dievčat tak, aby každé dostalo jedno jablko a aby jedno jablko zostalo v košíku?
8. Bez váhania
Povedzte mi, koľko mačiek je v miestnosti, ak v každom zo štyroch rohov miestnosti sedí jedna mačka, 3 mačky sedia oproti každej mačke a mačka sedí na chvoste každej mačky?
9. Dolu - hore
Chlapec pevne pritlačil okraj modrej ceruzky k okraju žltej ceruzky. Jeden centimeter (na dĺžku) otlačeného okraja modrej ceruzky, počítajúc od spodného konca, je zafarbený farbou. Chlapec drží žltú ceruzku nehybne a modrá ju stále tlačí na žltú, znižuje ju o 1 cm, potom ju vráti do predchádzajúcej polohy, opäť ju zníži o 1 cm a opäť ju vráti do predchádzajúcej polohy. ; 10-krát spustí modrú ceruzku a 10-krát ju zdvihne (20 pohybov).
Ak predpokladáme, že počas tejto doby farba nevyschne a nie je vyčerpaná, koľko centimetrov dĺžky bude žltá ceruzka zafarbená po dvadsiatom pohybe?
Poznámka. Tento problém vymyslel matematik Leonid Michajlovič Rybakov na ceste do svojho domu po úspešnom love na kačice. Čo ho podnietilo napísať úlohu, sa dočítate na strane 387 po vyriešení úlohy.
10. Prechod cez rieku (starodávna úloha)
Malý vojenský oddiel sa priblížil k rieke, cez ktorú bolo potrebné prejsť. Most je rozbitý a rieka je hlboká. Čo mám robiť? Zrazu si dôstojník všimne dvoch chlapcov, ktorí sa zabávajú v člne blízko brehu. Ale loď je taká malá, že ju môže prejsť iba jeden vojak alebo dvaja chlapci – nič viac! Všetci vojaci však na tomto člne prešli cez rieku. Ako?
Vyriešte tento problém „v hlave“ alebo prakticky – pomocou dám, zápaliek alebo niečoho podobného a presuňte ich po stole cez pomyselnú rieku.
11. Vlk, koza a kapusta
To je tiež starodávna úloha; nachádza v spisoch z 8. storočia. Má úžasný obsah.
Ryža. 6. Vlka a kozu nebolo možné nechať bez človeka...
Istý muž mal vlka, kozu a kapustu previezť na člne cez rieku. Do člna sa zmestil len jeden a s ním buď vlk, alebo koza, alebo kapusta. Ale ak necháte vlka s kozou bez človeka, potom vlk zožerie kozu, ak necháte kozu s kapustou, potom koza zje kapustu a v prítomnosti človeka „nikto nikoho nezje. “ Muž napokon svoj náklad previezol cez rieku.
ako sa mu to podarilo?
V úzkom a veľmi dlhom žliabku je 8 guľôčok: štyri čierne vľavo a štyri biele s trochu väčším priemerom vpravo (obr. 7). V strednej časti žľabu v stene je malý výklenok, do ktorého sa zmestí len jedna guľa (akákoľvek). Dve gule môžu byť umiestnené vedľa seba cez odkvap iba v mieste, kde sa nachádza výklenok. Ľavý koniec žľabu je uzavretý a pravý koniec má otvor, cez ktorý môže prejsť akákoľvek čierna guľa, ale nie biela. Ako dostanete všetky čierne gule von zo žľabu? Nie je dovolené vyberať loptičky zo žľabu.
13. Oprava reťaze
Viete, na čo myslel mladý majster (obr. 8)? Pred ním je 5 článkov reťaze, ktoré musia byť spojené do jednej reťaze bez použitia ďalších krúžkov. Ak napríklad uvoľníte krúžok 3 (jedna operácia) a zavesíte ho na krúžok 4 (ďalšia operácia), potom uvoľníte krúžok 6 a zavesíte ho na krúžok 7 atď., potom získate celkom osem operácií a hlavný sa snaží vytvoriť reťaz pomocou iba šiestich operácií. Podarilo sa mu to. Ako konal?
14. Opravte chybu
Vezmite 12 zápaliek a vložte ich do „rovnosti“ znázornenej na obr. 9.
Ryža. 9. Opravte chybu posunutím iba jednej zápalky.
Rovnosť, ako vidíte, je nesprávna, pretože sa ukázalo, že 6 - 4 = 9.
Usporiadajte jednu zhodu tak, aby sa dosiahla správna rovnosť.
15. Z troch - štyroch (vtip)
Na stole sú 3 zápasy.
Bez pridania jedinej zhody urobte štyri z troch. Zápasy nemôžete zlomiť.
16. Tri a dva sú osem (ďalší vtip)
Tu je ďalší podobný vtip. Môžete ho ponúknuť svojmu priateľovi.
Položte na stôl 3 zápalky a pozvite svojho priateľa, aby k nim pridal ďalšie 2, takže získate osem. Samozrejme, nemôžete pokaziť zápasy.
17. Tri štvorce
Z 8 tyčiniek (napríklad zápaliek), z ktorých štyri sú polovičné ako ostatné štyri, musíte urobiť 3 rovnaké štvorce.
18. V továrni závodu sú sústružené diely z olovených polotovarov. Z jedného polotovaru - časti. Hobliny vznikajúce pri výrobe šiestich dielov je možné pretaviť a pripraviť ďalší obrobok. Koľko dielov sa dá takto vyrobiť z 36 olovených polotovarov?
19. Skúste to!
V štvorcovej tanečnej sále umiestnite 10 stoličiek pozdĺž stien tak, aby pri každej stene bol rovnaký počet stoličiek.
20. Usporiadanie vlajok
Členmi Komsomolu bola postavená malá medzikolektívna vodná elektráreň. V deň jej spustenia pionieri ozdobia vonkajšiu časť elektrárne zo všetkých štyroch strán girlandami, žiarovkami a vlajkami. Vlajok bolo málo, iba 12.
Priekopníci ich najskôr umiestnili po 4 na každú stranu, ako je znázornené na obrázku (obr. 10), potom si uvedomili, že môžu na každú stranu usporiadať rovnakých 12 vlajok 5 alebo dokonca 6. Druhý projekt sa im páčil viac a rozhodli sa umiestnite 5 začiarkavacích políčok.
Ukážte na obrázku, ako priekopníci umiestnili 12 vlajok, 5 na každú zo štyroch strán, a ako ich mohli usporiadať so 6 vlajkami.
21. Zachovať paritu
Vezmite 16 predmetov (papier, mince, slivky alebo dámu) a usporiadajte ich 4 do radu (obr. 11). Teraz odstráňte 6 kusov, ale tak, aby zostal párny počet položiek v každom horizontálnom a každom vertikálnom rade. Odstránením rôznych 6 kusov môžete získať rôzne riešenia.
22. „Magický“ číselný trojuholník
Na vrcholy trojuholníka som umiestnil čísla 1, 2 a 3 a vy umiestnite čísla 4, 5, 6, 7, 8, 9 na strany trojuholníka tak, aby súčet všetkých čísel na každej strane trojuholník je 17. Nie je to ťažké, pretože som navrhol, aké čísla by mali byť umiestnené vo vrcholoch trojuholníka. 2
Budete sa musieť motať oveľa dlhšie, ak vám vopred nepoviem, ktoré čísla by mali byť umiestnené na vrcholoch trojuholníka a nenavrhnem umiestniť čísla znova
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
každý raz, po stranách a vo vrcholoch trojuholníka tak, aby súčet čísel na každej strane trojuholníka bol 20.
Keď získate požadované usporiadanie čísel, hľadajte ďalšie a ďalšie nové usporiadania. Podmienky problému môžu byť splnené pri širokej škále usporiadaní čísel.
23. Ako 12 dievčat hralo loptu
Dvanásť dievčat sa postavilo do kruhu a začalo hrať loptičku. Každé dievča hodilo loptu svojmu susedovi naľavo. Keď lopta obišla celý kruh, vhadzovalo sa opačným smerom. Po chvíli jedno dievča povedalo:
- Radšej prehodíme loptu cez jedného človeka.
"Ale keďže je nás dvanásť, polovica dievčat sa hry nezúčastní," namietla rýchlo Natasha.
- Potom prehodíme loptu cez dvoch! (Každý tretí chytí loptu.)
- Ešte horšie: budú hrať len štyri... Ak chcete, aby hrali všetky dievčatá, musíte hodiť loptu cez štyri (piata sa chytí). Iná kombinácia neexistuje.
- Čo ak hodíte loptu cez šesť ľudí?
- Bude to rovnaká kombinácia, len lopta pôjde opačným smerom.
- Čo ak budeme hrať každú desiatku (loptu chytá každý jedenásty hráč)? - pýtali sa dievčatá.
- Už sme takto hrali...
Dievčatá začali kresliť schémy všetkých navrhovaných spôsobov hry a veľmi skoro sa presvedčili, že Natasha mala pravdu. Iba jedna herná schéma (okrem úvodnej) pokrývala všetkých účastníkov bez výnimky (obr. 13, a).
Ak by teraz hralo trinásť dievčat, lopta by sa mohla hodiť cez jednu (obr. 13, b) a cez dve alebo dve (obr. 13, c) a cez tri (obr. 13, d) a cez štyri (obr. 13, e) a zakaždým by sa do hry zapojili všetci účastníci. Zistite, či je možné hodiť loptu cez päť ľudí s trinástimi hráčmi?
Je možné prehodiť loptu cez šesť ľudí s trinástimi hráčmi? Premýšľajte a nakreslite vhodné diagramy, aby ste to objasnili.
24. Štyri rovné čiary
Vezmite list papiera a naneste tsa Obr. 14. Ide o deväť bodov tak, že sú usporiadané do tvaru štvorca, ako je znázornené na obr. 14. Teraz prečiarknite všetky bodky štyrmi rovnými čiarami bez toho, aby ste zdvihli ceruzku z papiera.
25. Oddeľte kozy od kapusty
Teraz vyriešte problém, ktorý je v istom zmysle opačný ako ten predchádzajúci. Tam sme body spojili rovnými čiarami, ale tu potrebujeme nakresliť 3 rovné čiary, aby sme oddelili kozy od kapusty (obr. 15). V kresbe knihy by ste nemali kresliť rovné čiary.
Prekreslite si do zošita schému umiestnenia kôz a kapusty a potom sa pokúste problém vyriešiť. Kresleniu čiar sa môžete vyhnúť úplne, ale použite pletacie ihlice alebo tenké drôty.
26. Dva vlaky
Rýchlik odišiel z Moskvy do Leningradu a bez medzipristátia išiel rýchlosťou 60 kilometrov za hodinu. Ďalší vlak mu vyšiel v ústrety z Leningradu do Moskvy a tiež išiel nonstop rýchlosťou 40 kilometrov za hodinu.
Ako ďaleko budú tieto vlaky 1 hodinu, kým sa stretnú?
27. Pri prílive (vtip)
Neďaleko brehu je loď s povrazovým rebríkom spusteným po boku. Schodisko má 10 schodov; vzdialenosť medzi schodíkmi je 30 cm Najnižší schodík sa dotýka hladiny vody. Oceán je dnes veľmi pokojný, no príliv začína stúpať
Boli tam dve čísla, s 15 cm vody za hodinu Ako dlho bude trvať, kým bude tretí schodík povrazového rebríka pokrytý vodou?
28. Vytáčanie
a) Rozdeľte ciferník na tri časti dvoma rovnými čiarami tak, aby ste sčítaním čísel dostali rovnaké množstvo v každej časti.
b) Je možné rozdeliť tento číselník na 6 častí tak, aby v každej časti našli súčty týchto dvoch čísel v každej zo šiestich častí rovnaké?
29. Zlomený ciferník
V múzeu som videl staroveké hodiny s rímskymi číslicami na ciferníku a namiesto známeho čísla štyri (IV) tam boli štyri paličky (IIII). Trhliny, ktoré sa vytvorili na ciferníku, ho rozdelili na 4 časti, ako je znázornené na obr. 17. Ukázalo sa, že súčty čísel v každej časti sú nerovnaké: v jednej - 21, v druhej - 20, v tretej - 20, vo štvrtej - 17.
Všimol som si, že pri trochu inom usporiadaní prasklín by sa súčet čísel v každej zo štyroch častí ciferníka rovnal 20. Pri novom usporiadaní prasklín nemusia prechádzať stredom ciferníka . Prekreslite si ciferník hodín do zošita a nájdite toto nové umiestnenie prasklín.
Ryža. 17. Praskliny rozdelili ciferník na 4 časti.
30. Úžasné hodiny (čínske puzzle)
Raz bol hodinár naliehavo požiadaný, aby prišiel do jedného domu.
"Som chorý," odpovedal hodinár, "a nebudem môcť ísť." Ale ak oprava nebude ťažká, pošlem vám svojho študenta.
Ukázalo sa, že zlomené šípy je potrebné nahradiť inými.
"Môj študent to zvládne," povedal majster. - Skontroluje mechanizmus vašich hodiniek a vyberie preň nové ručičky.
Žiak robil svoju prácu veľmi usilovne a keď dokončil skúmanie hodín, bola už tma. Keďže prácu považoval za dokončenú, narýchlo si nasadil vybrané ručičky a nastavil ich na hodinky: veľkú ručičku na číslo 12 a malú na číslo 6 (bolo presne 6 hodín večer).
Ale čoskoro potom, čo sa učeň vrátil do dielne, aby povedal majstrovi, že práca je hotová, zazvonil telefón. Chlapec zdvihol telefón a počul nahnevaný hlas zákazníka:
- Hodiny ste neopravili správne, zobrazujú nesprávne čas.
Majstrov učeň, prekvapený touto správou, sa ponáhľal k zákazníkovi. Keď prišiel, hodiny, ktoré dal opraviť, ukazovali začiatok deviatej. Študent vytiahol vreckové hodinky a podal ich nahnevanému majiteľovi domu:
- Skontrolujte to, prosím. Vaše hodinky nezaostávajú ani sekundu.
Ohromený zákazník musel súhlasiť s tým, že jeho hodinky momentálne skutočne ukazujú správny čas.
Na druhý deň ráno však zákazník zavolal znova a povedal, že ručičky hodín sa očividne zbláznili a blúdia po ciferníku, ako sa im zachce. Majstrovský učeň pribehol k zákazníkovi. Hodiny ukazovali začiatok ôsmej. Keď skontroloval čas na hodinkách, vážne sa nahneval:
- Ty sa mi smeješ! Vaše hodinky ukazujú presný čas!
Hodiny naozaj ukazovali presný čas. Majstrov rozhorčený žiak chcel hneď odísť, ale majster ho zadržal. A po niekoľkých minútach našli príčinu takýchto neuveriteľných incidentov.
Neuhádli ste, čo sa tu deje?
31. Tri za sebou
Na stôl umiestnite 9 gombíkov v tvare štvorca, 3 gombíky na každú stranu a jeden do stredu (obr. 18). Všimnite si, že ak sú dve alebo viac tlačidiel umiestnených pozdĺž akejkoľvek priamky, potom budeme takéto usporiadanie vždy nazývať „vedľa seba“. Takže AB a CD sú riadky, z ktorých každý má 3 tlačidlá, a EF je riadok obsahujúci dve tlačidlá.
Ryža. 18. Koľko je tam riadkov?
Určte, koľko riadkov je na obrázku, každý s 3 tlačidlami, a koľko riadkov je, každý len s 2 tlačidlami.
Teraz odstráňte ľubovoľné 3 tlačidlá a zvyšných 6 usporiadajte do 3 radov tak, aby v každom rade boli 3 tlačidlá.
32. Desať riadkov
Nie je ťažké zistiť, ako usporiadať 16 dám v 10 radoch po 4 dámach v každom rade. Oveľa náročnejšie je usporiadať 9 kociek v 10 radoch tak, aby boli v každom rade 3 kociek.
Vyriešte oba problémy.
33. Usporiadanie mincí
Na hárok čistého papiera nakreslite obrázok znázornený na obr. 19, zväčšíte jeho veľkosť 2-3 krát a pripravte 17 mincí nasledujúcej nominálnej hodnoty:
20 kopejok - 5 kusov,
15 kopejok - 3 kusy,
10 kopejok - 3 kusy,
5 kopejok - 6 kusov.
Ryža. 19. Umiestnite mince do štvorcov tohto obrázku.
Umiestnite pripravené mince do štvorcov nakreslenej postavy tak, aby súčet halierov pozdĺž každej priamky znázornenej na obrázku bol 55.
34. Od 1 do 19
V devätnástich kruhoch ryže. 20 je potrebné usporiadať 19 tak, aby súčet čísel v akýchkoľvek troch kruhoch ležiacich na tej istej čiare bol rovný 30.
35. Rýchlo, ale opatrne
Vyriešte nasledujúce 4 problémy „rýchlo“ – kto dá správnu odpoveď rýchlejšie:
Problém 1. Na poludnie odchádza autobus s cestujúcimi z Moskvy do Tuly. O hodinu neskôr odchádza cyklista z Tuly do Moskvy a ide po tej istej diaľnici, ale, samozrejme, oveľa pomalšie ako autobus.
Keď sa stretnú cestujúci v autobuse a cyklista, ktorý z nich bude ďalej od Moskvy?
Úloha 2. Čo je drahšie: kilogram desaťkopiek alebo pol kilogramu dvojkopiek?
Problém 3. O 6 hodín nástenné hodiny odbili 6-krát. Z vreckových hodiniek som si všimol, že od prvého úderu po šiesty uplynul čas presne 30 sekúnd.
Ak trvalo 30 sekúnd, kým hodiny odbili 6-krát, ako dlho vydržia hodiny odbiť na poludnie alebo o polnoci, keď hodiny odbijú 12-krát?
Úloha 4. Z jedného bodu vyleteli 3 lastovičky. Kedy budú v rovnakom lietadle?
Teraz s pokojným uvažovaním skontrolujte svoje riešenia a pozrite sa na sekciu „Odpovede“.
- No, ako? Dostali ste sa do malých pascí obsiahnutých v týchto jednoduchých úlohách?
Takéto úlohy sú príťažlivé, pretože zbystrujú pozornosť a učia obozretnosti pri bežnom myšlienkovom chode.
všetky celé čísla od 1 do
Ryža. 20. Umiestnite čísla od 1 do 19 do kruhov.
36. Vyobrazená rakovina
Vyobrazená rakovina znázornená na obr. 21, zložený zo 17 kusov.
Zložte kúsky tejto rakoviny do dvoch tvarov naraz: kruh a štvorec vedľa neho.
37. Náklady na knihu
Za knihu zaplatili 1 rubeľ a ďalšiu polovicu z ceny knihy. Koľko stojí kniha?
38. Nepokojná mucha
Na diaľnici Moskva-Simferopol dvaja športovci súčasne začali tréningovú jazdu na bicykli smerom k sebe.
V tom momente, keď medzi cyklistami zostávalo už len 300 km, sa o beh začala veľmi zaujímať mucha. Vyletela z ramena jedného cyklistu a pred ním sa rútila k druhému. Keď stretla druhého cyklistu a uistila sa, že je všetko v poriadku, okamžite sa otočila. Mucha priletela k prvému pretekárovi a opäť sa otočila k druhému.
Letela teda medzi približujúcich sa cyklistov, až kým sa cyklisti nestretli. Potom sa mucha upokojila a sadla si na nos jedného z nich.
Mucha preletela medzi cyklistov rýchlosťou 100 km za hodinu a po celý tento čas išli cyklisti rýchlosťou 50 km za hodinu.
Koľko kilometrov preletela mucha?
39. O menej ako 50 rokov neskôr
Bude v tomto storočí taký rok, že ak sa zapíše číslicami a papierik sa obráti hore nohami, tak číslo vytvorené na otočenom papieriku bude vyjadrovať ten istý rok?
40. Dva vtipy
Prvý vtip. Otec zavolal svojej dcére, požiadal ju, aby mu kúpila nejaké veci, ktoré potreboval na odchod, a povedal, že peniaze má v obálke na stole. Dievča, ktoré krátko pozrelo na obálku, videlo na nej napísané číslo 98, vybralo peniaze a bez počítania ich vložilo.
tašku, pokrčil obálku a zahodil ju.
V obchode si kúpila veci za 90 rubľov, a keď chcela zaplatiť, ukázalo sa, že jej nielenže nezostalo osem rubľov, ako očakávala, ale dokonca jej chýbali štyri ruble.
Doma o tom povedala otcovi a spýtala sa, či sa nepomýlil, keď počítal peniaze. Otec odpovedal, že peniaze spočítal správne, no ona sama sa pomýlila a so smiechom ju na chybu upozornila. Aká bola chyba dievčaťa?
Druhý vtip. Pripravte si 8 papierikov s číslami 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 a 9 a usporiadajte ich do dvoch stĺpcov ako na obr. 22.
Presunutím iba dvoch kusov papiera zabezpečte, aby súčty čísel v oboch stĺpcoch boli rovnaké.
Ryža. 22. Vyrovnajte nerovnaké sumy.
41. Koľko mám rokov?
Keď mal môj otec 31 rokov, mal som 8 rokov a teraz je môj otec dvakrát starší ako ja. Koľko mám teraz rokov?
42. Zhodnoťte „na prvý pohľad“
Tu sú dva stĺpce čísel:
123456789 1
12345678 21
1234567 321
123456 4321
12345 54321
1234 654321
123 7654321
12 87654321
1 987654321
Pozrime sa bližšie: čísla v druhom stĺpci sú tvorené rovnakými číslami ako čísla v prvom stĺpci, ale v opačnom poradí. (Na zvýšenie prehľadnosti boli nuly v ľavom stĺpci vynechané.)
Ktorý stĺpec po pridaní poskytne lepší výsledok?
Najprv porovnajte tieto sumy „na prvý pohľad“, to znamená bez vykonania sčítania, skúste určiť, či by mali byť rovnaké alebo či by jeden mal byť väčší ako druhý, a potom skontrolujte sčítaním.
43. Pridanie rýchlosti
Osem šesťciferných výrazov (...) je vybraných tak, že ich inteligentným zoskupením „v hlave“ nájdete súčet za 8 sekúnd. Zvládnete túto rýchlosť?
V sekcii Odpovede sú pokyny, ale... ich nájdenie vám bude trvať dlhšie.
A ukážte svojim priateľom dva triky, ktoré môžete vtipne nazvať aj „pridávanie rýchlosti“.
Prvé zameranie. Povedzte: „Bez toho, aby ste mi to ukázali, napíšte do stĺpca toľko viacciferných čísel, koľko chcete. Potom prídem] a veľmi rýchlo napíšem rovnaký počet čísel a všetky ich okamžite spočítam.“
Povedzme, že priatelia napísali:
7621
3057
2794
4518
A zapíšete si také čísla, z ktorých každé dopĺňa všetky zapísané čísla po sebe na 9999. Tieto čísla budú:
5481
7205
6942
2378
Naozaj: (...)
Teraz nie je ťažké zistiť, ako rýchlo vypočítať celú sumu: (...)
Musíte vziať 9999 4-krát, to znamená 9999X4, a takéto násobenie sa rýchlo vykoná v mysli. Vynásobte 10 000 4 a odpočítajte ďalšie 4 jednotky. Ukázalo sa:
10 000 X 4 – 4 = 40 000 – 4 = 39 996.
To je celé tajomstvo triku!
Druhé zameranie. Napíšte jedno pod druhé ľubovoľné 2 čísla ľubovoľnej veľkosti. Sčítam tretie a vzápätí zľava doprava napíšem súčet všetkých troch čísel.
Povedzme, že ste napísali:
72 603 294
51 273 081
Napríklad pridám toto číslo: 48 726 918 a hneď vám poviem sumu.
Zvážte sami, ktoré číslo by malo byť pridelené a ako rýchlo nájsť sumu v tomto prípade!
44. V ktorej ruke? (zameranie na matematiku)
Dajte svojmu priateľovi dve mince: jednu s párnym počtom kopejok a druhú s nepárnym počtom (napríklad dvojkopec a trojkopec). Nechajte ho bez toho, aby vám to ukázal, vziať jednu z týchto mincí (akúkoľvek) do pravej ruky a druhú do ľavej. Môžete ľahko uhádnuť, ktorú ruku má akú mincu.
Vyzvite ho, aby strojnásobil počet grošov obsiahnutých v minci držanej v pravej ruke a zdvojnásobil počet grošov obsiahnutých v minci držanej v ľavej ruke. Nechajte ho sčítať získané výsledky a povie vám len výslednú sumu.
Ak je pomenovaná suma párna, potom sú v pravej ruke 2 kopejky, ak je nepárne, potom 2 kopejky v ľavej ruke.
Vysvetlite, prečo sa to vždy deje, a zistite, ako môžete toto zameranie diverzifikovať.
45. Koľko ich je?
Chlapec má toľko sestier ako bratov a jeho sestra má o polovicu menej sestier ako bratov.
Koľko bratov a koľko sestier je v tejto rodine?
46. Rovnaké čísla
Iba sčítaním napíšte číslo 28 pomocou piatich dvojiek a číslo 1000 pomocou ôsmich osmičiek.
47. Sto
Pomocou ľubovoľných aritmetických operácií vytvorte číslo 100 buď z piatich jednotiek, alebo z piatich pätiek, a z piatich pätiek 100 môžete urobiť dvoma spôsobmi.
48. Aritmetický súboj
Kedysi bol na našej škole taký zvyk v matematickom krúžku. Predseda krúžku ponúkol každému novému členovi krúžku jednoduchý problém – akýsi matematický oriešok. Ak problém vyriešite, okamžite sa stávate členom krúžku a ak si neporadíte s orieškom, môžete sa krúžku zúčastniť ako dobrovoľník.
Pamätám si, ako raz náš predseda navrhol jednému nováčikovi, Vitovi, nasledovný problém: (...)
49. Dvadsať
Zo štyroch nepárnych čísel je ľahké vytvoriť súčet rovný 10, a to:
1 + 1+3 + 5=10,
alebo takto:
1 + 1 + 1+7 = 10.
Možné je aj tretie riešenie:
1 + 3 + 3 + 3= 10.
Iné riešenia neexistujú (zmeny v poradí termínov samozrejme nevytvárajú nové riešenia).
Nasledujúci problém má podstatne viac odlišných riešení:
Zložte číslo 20 tak, že sčítate presne osem nepárnych čísel, medzi ktorými môžete mať aj rovnaké výrazy.
Nájdite všetko rôzne riešenia tento problém a určiť, koľko medzi nimi bude súm, ktoré obsahujú najväčší počet nerovnakých výrazov?
Malá rada. Ak náhodne vyberiete čísla, stále narazíte na niekoľko riešení, ale náhodné pokusy vám nedajú istotu, že ste vyčerpali všetky riešenia. Ak do „skúšobnej metódy“ zavediete nejaký poriadok a systém, neunikne vám jediné možné riešenie.
50. Koľko trás?
Z listu od školákov: „Počas štúdia na matematickom krúžku sme si nakreslili plán šestnástich blokov nášho mesta. Na priloženom pôdoryse (obr. 23) sú všetky bloky konvenčne znázornené ako identické štvorce.
Zaujala nás nasledujúca otázka:
Koľko rôznych trás môžete zmapovať z bodu A do bodu C, ak sa pohybujete po našich uliciach
Ryža. 23. Koľko trás vedie z L do N?
mesta len dopredu a doprava, doprava a dopredu? Niektoré časti trás sa môžu zhodovať (pozri bodkované čiary na pláne).
Máme dojem, že to nie je ľahká úloha. Vyriešili sme to správne, ak sme napočítali 70 rôznych trás?“
Ako by ste mali odpovedať na tento list?
52. Rôzne akcie, rovnaký výsledok
Ak sa medzi dvoma dvojkami znamienko sčítania nahradí znamienkom násobenia, výsledok sa nezmení. Skutočne: 2+ 2 = 2X2. Nie je ťažké ho vyzdvihnúť a... 3 čísla, ktoré majú rovnakú vlastnosť, a to: 1+2 + 3 = = 1X2X3. Existujú aj 4 jednociferné čísla, ktoré po sčítaní alebo vynásobení dávajú rovnaký výsledok.
Kto nájde tieto čísla rýchlejšie? pripravený? Pokračujte v súťaži! Nájdite 5, potom 6, potom 7 atď. jednociferné čísla, ktoré majú rovnakú vlastnosť. Majte na pamäti, že od skupiny 5 čísel sa odpovede môžu líšiť.
53. Deväťdesiatdeväť a sto
Koľko znamienok plus (+) musí byť umiestnených medzi číslicami 987 654 321, aby ich bolo celkovo 99?
Sú dve možné riešenia. Nájsť aspoň jedno z nich nie je jednoduché, ale získate skúsenosti, ktoré vám pomôžu rýchlo umiestniť znamienka plus medzi sedem čísel 1 2 3 4 5 6 7 tak, aby súčet bol 100. (Usporiadanie čísel nie je povolené zmeniť). Školáčka z Kemerova tvrdí, že aj tu sú možné dve riešenia.
54. Skladacia šachovnica
Veselý šachista rozrezal svoju kartónovú šachovnicu na 14 dielikov, ako je znázornené na obr. 25. Výsledkom je rozkladacia šachovnica. Súdruhom, ktorí si prišli zahrať šach, ponúkol najskôr hádanku: z daných 14 dielov vytvoriť šachovnicu. Vystrihnite si rovnaké figúrky z kockovaného papiera a presvedčte sa sami, či je ťažké alebo ľahké z nich vyrobiť šachovnicu.
60. Zmätený vodič
Na čo myslel vodič, keď sa pozrel na tachometer svojho auta (obr. 29)? Počítadlo ukazovalo číslo 15951. Vodič si všimol, že počet kilometrov, ktoré auto prešlo, je vyjadrené ako symetrické číslo, teda také, ktoré číta rovnako zľava doprava aj sprava doľava:
15951.
"Zaujímavé!" zamrmlal vodič. - Teraz sa pravdepodobne čoskoro na pulte objaví ďalšie číslo s rovnakou funkciou.
Presne o 2 hodiny však počítadlo ukázalo nové číslo, ktoré tiež čítalo rovnako v oboch smeroch.
Zistite, ako rýchlo šofér jazdil počas týchto 2 hodín?
61. Pre hydroelektrický komplex Tsimlyansky
Na plnení urgentnej zákazky na výrobu meracích prístrojov pre hydroelektrický komplex Tsimlyansky sa podieľal kvalitný tím zložený z majstra - starého skúseného robotníka a 9 mladých robotníkov, ktorí práve skončili odborné učilište.
Počas dňa každý z mladých pracovníkov zostavil 15 zariadení a majster - o 9 zariadení viac, ako je priemer každého z 10 členov tímu.
Koľko meracích prístrojov nainštaloval tím za jeden pracovný deň?
62. Dodávka obilia včas
Po spustení dodávky obilia do štátu sa predstavenstvo JZD rozhodlo dopraviť vlak obilia do mesta presne o 11:00 ráno. Ak autá jazdia rýchlosťou 30 km/h, tak kolóna príde do mesta o 10. hodine a ak rýchlosťou 20 km/h, tak o 12. hodine.
Ako ďaleko je to z JZD do mesta a akou rýchlosťou by ste mali jazdiť, aby ste prišli včas?
63. Vo vidieckom vlaku
Dve kamarátky-školáčky cestovali z mesta na daču v električke.
"Všimol som si," povedal jeden z mojich priateľov, "že spiatočné vlaky stretávame každých 5 minút." Čo myslíte, koľko vidieckych vlakov príde do mesta v priebehu jednej hodiny, ak sú rýchlosti vlakov v oboch smeroch rovnaké?
"Samozrejme, 12, pretože 60:5 = 12," povedal druhý priateľ.
Školáčka, ktorá položila otázku, však nesúhlasila s rozhodnutím svojej kamarátky a vyjadrila jej vlastný názor.
Čo si o tom myslíš?
65. Nočná mora futbalového fanúšika
„Fanúšik“, rozrušený porážkou „svojho“ tímu, nepokojne spal. Sníval o veľkej štvorcovej izbe bez nábytku. Brankár trénoval v pokoji. Narazil futbalovou loptou o stenu a potom ju chytil.
Zrazu sa brankár začal zmenšovať a nakoniec sa zmenil na malú celuloidovú loptičku na stolný tenis a z futbalovej lopty sa stala liatinová loptička. Lopta sa divoko otáčala po hladkej podlahe miestnosti a snažila sa rozdrviť malú celuloidovú guľu. Chudák loptička si zúfalo pohadzovala zo strany na stranu, vyčerpaná a neschopná skákať.
Mohol by sa bez toho, aby vzhliadol z podlahy, stále niekde skrývať pred prenasledovaním liatinovej gule?
Ryža. 30. Lopta sa snažila rozdrviť loptu.
Riešenie úloh v druhej časti si vyžaduje oboznámenie sa s operáciami s jednoduchými a desatinnými zlomkami.
Čitateľ, ktorý ešte neštudoval zlomky, môže úlohy v tejto časti dočasne preskočiť a prejsť na nasledujúce kapitoly.
66. Hodiny
Cestou po našej veľkej a nádhernej vlasti som sa ocitol na miestach, kde bol rozdiel teplôt vzduchu vo dne a v noci taký veľký, že keď som trávil dni a noci pod holým nebom, začalo to ovplyvňovať hodiny. Všimol som si, že vplyvom teplotných zmien počas dňa sa hodiny posunuli o minútu dopredu a v noci o minútu zaostali.
1. mája ráno ešte hodiny ukazovali správny čas. K akému dátumu budú mať náskok 5 minút?
67. Schody
Dom má 6 poschodí. Povedzte mi, koľkokrát je cesta po schodoch na šieste poschodie dlhšia ako cesta po tých istých schodoch na tretie poschodie, ak majú rozpätia medzi poschodiami rovnaký počet schodov?
68. Hádanka
Aké znamienko treba umiestniť medzi čísla 2 a 3 napísané vedľa seba, aby bolo číslo väčšie ako dva, ale menšie ako tri?
69. Zaujímavé zlomky
Ak k čitateľovi a menovateľovi zlomku 1/3 pridáte menovateľa, zlomok sa zdvojnásobí.
Nájdite zlomok, ktorý by pripočítaním menovateľa k jeho čitateľovi a menovateľovi vzrástol: a) trikrát, b) štyrikrát.
(Tí, ktorí poznajú algebru, môžu zovšeobecniť problém a vyriešiť ho pomocou rovnice.)
70; Aké číslo?
2:30. Čo je to za číslo?
71. Cesta školáka
Borya každé ráno cestuje pomerne dlhú cestu do školy.
V diaľke pozdĺž trasy z domu do školy je budova MTS s elektrickými hodinami na fasáde a v diaľke pozdĺž celej trasy je železničná stanica. Keď prešiel okolo MTS, hodiny zvyčajne ukazovali 7:30 a keď dorazil na stanicu, hodiny ukazovali 25 minút až 8 hodín.
Kedy odišiel Borya z domu a kedy prišiel do školy?
72. Na štadióne
Pozdĺž bežeckej dráhy je rozmiestnených 12 vlajok v rovnakej vzdialenosti od seba. Začnite pri prvej vlajke. Atlét dosiahol ôsmu vlajku 8 sekúnd po začiatku behu. Za koľko sekúnd dosiahne konštantnou rýchlosťou dvanástu vlajku? Nedostaňte sa do problémov!
73. Vyhrali ste?
Ostap sa vracal domov z Kyjeva. Prvú polovicu cesty cestoval vlakom 15-krát rýchlejšie, ako keby išiel pešo. Druhú polovicu cesty však musel absolvovať na voloch – 2-krát pomalšie, ako keby išiel pešo.
Získal Ostap nejaký čas v porovnaní s chôdzou?
74. Budík
Budík mešká o 4 minúty. o jednej hodine; Pred 3,5 hodinami bolo doručené presne. Teraz hodiny ukazujú presný čas presne 12.
Za koľko minút budík ukáže 12?
75. Namiesto malých akcií veľké
V strojárskych továrňach je veľmi vzrušujúca profesia; volá sa to marker. Značka označuje na obrobku čiary, pozdĺž ktorých by sa tento obrobok mal spracovať, aby mu dal požadovaný tvar.
Značkovač musí riešiť zaujímavé a niekedy zložité geometrické úlohy, vykonávať aritmetické výpočty atď.
Bolo potrebné nejako rozdeliť 7 rovnakých obdĺžnikových dosiek v rovnakých podieloch medzi 12 častí. Týchto 7 tanierov priniesli k označovačovi a požiadali ho, aby, ak je to možné, taniere označil, aby nemuseli ani jeden rozdeľovať na veľmi malé časti. To znamená, že najjednoduchšie riešenie - rozrezanie každej dosky na 12 rovnakých častí - nebolo vhodné, pretože by to viedlo k mnohým malým častiam. Ako byť?
Je možné tieto taniere rozdeliť na väčšie časti? Marker sa zamyslel, urobil nejaké aritmetické výpočty so zlomkami a nakoniec našiel najhospodárnejší spôsob, ako tieto dosky rozdeliť.
Následne ľahko rozdrvil 5 tanierov, aby ich rovnomerne rozdelil medzi šesť dielov, 13 tanierov na 12 dielov, 13 tanierov na 36 dielov, 26 na 21 dielov atď.
Ako pôsobil marker?
76. Mydlo
Na jednu misku váhy sa položí mydlo, na druhú to isté a ďalšie kg. Váhy sú v rovnováhe.
Koľko váži blok?
79. Mišove mačiatka
Ak Miška niekde uvidí opustené mačiatko, určite si ho vyzdvihne a prinesie domov. Vždy vychová niekoľko mačiatok, no nerád povedal koľko presne, aby sa mu nesmiali.
Niekedy sa ho pýtali:
- Koľko mačiatok máte teraz?
"Trochu," odpovie. - Tri štvrtiny ich počtu a tiež tri štvrtiny jedného mačiatka.
Jeho kamaráti si mysleli, že len žartuje. Misha im medzitým dala problém, ktorý nebolo vôbec ťažké vyriešiť. Skús to!
80. Priemerná rýchlosť
Polovicu cesty išiel kôň naprázdno rýchlosťou 12 km/h. Zvyšok cesty išla s vozíkom rýchlosťou 4 km/h.
Aká je priemerná rýchlosť, teda akou konštantnou rýchlosťou by sa kôň potreboval pohybovať, aby zabral rovnaký čas na celú cestu?
81. Spiaci cestujúci
Keď cestujúci prekonal polovicu vzdialenosti, ľahol si do postele a spal, kým mu nezostávala len polovica vzdialenosti, ktorú prekonal počas spánku. Koľko z celej cesty precestoval, keď spal?
82. Aká je dĺžka vlaku?
Dva vlaky idú proti sebe po paralelných koľajach; jeden pri 36 km/h, druhý pri 45 km/h. Cestujúci sediaci v druhom vlaku si všimol, že prvý vlak okolo neho prešiel do 6 sekúnd. Aká je dĺžka prvého vlaku?
83. Cyklista
Keď cyklista prešiel 2/3 cesty, pneumatika praskla.
Zvyšok cesty trávil chôdzou dvakrát toľko času ako bicyklovaním.
Koľkokrát rýchlejšie išiel cyklista ako kráčal?
84. Konkurencia
Turners Volodya A. a Kostya B., študenti odbornej školy obrábačov kovov, ktorí dostali od majstra rovnaké oblečenie na výrobu série dielov, chceli svoje úlohy dokončiť v rovnakom čase a pred plánovaným termínom.
Po nejakom čase sa však ukázalo, že Kosťa urobil len polovicu toho, čo Voloďa ostalo urobiť, a Voloďa musel urobiť polovicu toho, čo už urobil.
Koľkokrát by teraz Kosťa musel zvýšiť svoj denný výkon v porovnaní s Voloďom, aby v rovnakom čase dokončil svoju úlohu?
Kapitola druhá
OTÁZKY
87. Vynaliezavosť kováča Hecha
Na cestách po Gruzínsku sme sa minulé leto občas zabávali vymýšľaním najrôznejších nevšedných príbehov inšpirovaných nejakou starodávnou pamiatkou.
Jedného dňa sme sa priblížili k osamelej starodávnej veži. Vyšetrili sme ju a posadili sa na odpočinok. A medzi nami bol študent matematiky; Okamžite prišiel so zaujímavým problémom:
„Pred 300 rokmi tu žil zlý a arogantný princ. Princ mal dcéru-nevestu menom Darijan. Princ sľúbil svoju Darijan za ženu bohatému susedovi a ona sa zaľúbila do jednoduchého chlapíka, kováča Khecho. Darijan a Khecho sa pokúsili utiecť do hôr zo zajatia, ale služobníci Knyazevy ich chytili.
Princ sa rozzúril a rozhodol sa na druhý deň ich oboch popraviť a na noc ich prikázal zavrieť do tejto vysokej, ponurej, opustenej, nedokončenej veže a s nimi aj slúžku Darijan, dospievajúce dievča, ktoré pomáhalo utekajú.
Vo veži Khecho sa nezmiatol, rozhliadol sa, vyliezol po schodoch na vrchol veže, pozrel sa von oknom - nie je možné skočiť, zrútite sa. Potom Khecho zbadal pri okne lano zabudnuté staviteľmi, prehodené cez hrdzavý kváder, opevnené vyššie.
okno. Na konce povrazu boli priviazané prázdne koše, na každý koniec košík. Khecho si pamätal, že pomocou týchto košov murári dvíhali tehly hore a drvený kameň dole, a ak hmotnosť bremena v jednom koši prevyšovala hmotnosť bremena v druhom asi o 5 - 6 kg (preložené do moderných mier) , potom kôš celkom hladko klesol na zem; v tom čase sa k oknu dvíhal ďalší kôš.
Khecho okom určil, že Darijan vážil asi 50 kg, slúžka nie viac ako 40 kg. Khecho poznal svoju váhu - asi 90 kg. Okrem toho našiel vo veži reťaz s hmotnosťou 30 kg. Keďže do každého koša sa zmestil človek a reťaz, prípadne aj 2 ľudia, podarilo sa všetkým trom zostúpiť na zem a zostúpili tak, že ani raz váha klesajúceho koša s človekom nepresiahla váhu. stúpacieho koša o viac ako 10 kg.
Ako sa dostali z veže?
88. Mačka a myši
Mačka Purr práve „pomáhala“ svojej mladej pani vyriešiť problémy. Teraz sladko spí a vo sne sa vidí obklopený trinástimi myšami. Dvanásť myší je sivých a jedna biela. A mačka počuje, ako niekto hovorí známym hlasom: „Pur, musíš zjesť každú trinástu myš, počítať ju do kruhu stále jedným smerom, aby biela myš bola zjedená posledná.“
S akou myšou by ste však mali začať, aby ste problém správne vyriešili?
Pomôžte Purr.
89. Zápasy okolo mince
Nahraďme mačku mincou a myši zápalkami. Je potrebné odstrániť všetky zápalky, okrem tej, ktorej hlavička smeruje k minci (obr. 35), pričom treba dodržať nasledujúcu podmienku: najprv odstráňte jednu zápalku a potom pohybom doprava v kruhu odstráňte každú trinástu zápalku.
Zistite, ktorú zhodu je potrebné odstrániť ako prvú.
90. Los padol na siskinu a červienku
Na konci letného tábora sa pionieri rozhodli vypustiť operených obyvateľov polí a hájov odchytených lapačmi mláďat. Celkovo bolo 20 vtákov, každý v samostatnej klietke. Poradca navrhol nasledovné poradie:
- Všetky klietky s vtákmi umiestnite do jedného radu a počnúc zľava doprava otvorte každú piatu klietku. Po dosiahnutí konca riadku preneste počet na začiatok riadku, ale už nepočítajte otvorené bunky, a tak pokračujte, kým nie sú otvorené všetky bunky, okrem posledných dvoch. Vtáky v týchto klietkach si môžete vziať so sebou do mesta.
Návrh bol prijatý.
Väčšine chlapov bolo jedno, ktoré dva vtáky si zobrať so sebou (ak ich nemohli vziať všetky), ale Tanya a Alik chceli, aby los padol na šišku a červienku. Keď pomohli usporiadať bunky do radu, spomenuli si na problém o mačke a myšiach (problém 88). Rýchlo vypočítali, na aké miesta by mali byť klietky so šiškou a červiou umiestnené, aby tieto konkrétne klietky zostali neotvorené, a umiestnili ich na...
Kam Tanya a Alik umiestnili klietky so šiškou a červienky si však môžete ľahko určiť sami.
91. Usporiadaj mince
Pripravte si 7 zápaliek a 6 mincí. Umiestnite zápalky na stôl podľa vzoru hviezdičiek, ako je znázornené na obr. 36. Počnúc ľubovoľnou zápalkou spočítajte tretiu zápalku podľa pohybu ručičky hodín a umiestnite mincu blízko jej hlavy. Potom znova spočítajte tretiu zápalku v tom istom smere, počnúc od ktorejkoľvek zápalky, proti ktorej minca ešte neleží, a tiež umiestnite mincu blízko hlavy.
Týmto spôsobom sa pokúste umiestniť všetkých 6 mincí k hlavám šiestich zápaliek. Pri počítaní zápaliek by ste nemali preskočiť tie, v blízkosti ktorých už bola minca umiestnená;
Je potrebné začať odpočítavanie od zápasu, ktorý nemá v blízkosti mincu; Nedávajte dve mince na jedno miesto.
Aké pravidlo by ste mali dodržiavať, aby ste problém definitívne vyriešili?
92. Prejdite spolujazdca!
Vlak pozostávajúci z parnej lokomotívy a piatich vagónov zastavil na zastávke na jednokoľajnej železnici a priviezol tím pracovníkov na výstavbu novej pobočky. Na tejto zastávke bola zatiaľ len malá úvrať, do ktorej sa v prípade potreby ledva zmestil parný rušeň s dvoma vozňami.
Ryža. 37. Ako pustiť cestujúceho?
Čoskoro po vlaku so stavebnou čatou sa k tej istej zastávke blížil osobný vlak.
Ako pustiť cestujúceho?
93. Problém, ktorý vznikol z rozmaru troch dievčat
Téma tohto problému je dosť stará. Kráčali tri dievčatá, každé so svojím otcom. Všetci šiesti sa priblížili k riečke a chceli prejsť z jedného brehu na druhý. K dispozícii mali len jeden čln bez veslára, ktorý dvíhal len dvoch ľudí. Preplávanie by, samozrejme, nebolo ťažké, keby dievčatá z rozmaru alebo z hravosti nevyhlásili, že žiadne z nich nesúhlasí s tým, že sa bude voziť na člne, alebo že bude na brehu s jedným alebo dvoma otcami iných ľudí. bez ich otca. Dievčatá boli malé, ale nie veľmi malé, takže každá z nich mohla riadiť čln samostatne.
Nečakane tak vznikli dodatočné podmienky na prejazd, no zo zábavy sa cestovatelia rozhodli, že sa ich pokúsia splniť. Ako konali?
94. Ďalší vývoj problému
Veselá spoločnosť bezpečne prešla na opačný breh rieky a sadla si k odpočinku. Vyvstala otázka: bolo by možné za rovnakých podmienok zorganizovať kríženie štyroch párov? Čoskoro sa ukázalo, že ak sa zachovajú podmienky, ktoré si dievčatá nastolili (pozri predchádzajúci problém), kríženie štyroch párov by sa dalo uskutočniť len vtedy, ak by existovala loď, ktorá by mohla zdvihnúť troch ľudí, a to iba v 5 krokoch.
Ako?
Keď sme tému problému rozvinuli ešte ďalej, naši cestovatelia zistili, že na lodi, do ktorej sa zmestia len dvaja ľudia, je možné prejsť štyri dievčatá s ich otcami z jedného brehu na druhý, ak je v strede ostrovček. rieku, kde môžu urobiť medzizastávku a vystúpiť. V tomto prípade je pre konečný prechod potrebné vykonať aspoň 12 prechodov za rovnakých podmienok, to znamená, že ani jedno dievča nebude na lodi, na ostrove alebo na brehu s niekým iným. otec bez jej otca.
Nájdite aj vy toto riešenie.
95. Skákajúca dáma
Na polia 1, 2, 3 (obr. 38) položte 3 biele kocky a na polia 5, 6, 7 3 čierne. Pomocou voľného poľa 4 presuňte biele kocky na miesto čiernych a čierne jedných na miesto bielych; Zároveň dodržujte nasledujúce pravidlo: dámu je možné presunúť na susedné voľné pole; Je tiež dovolené preskočiť susednú šachovnicu, ak je za ňou voľné pole. Biela a čierna dáma sa môžu pohybovať smerom k sebe. Pohyby v opačnom smere nie sú povolené. Úloha je vyriešená v 15 ťahoch.
96. Biela a čierna
Vezmite štyri biele a štyri čierne kocky (alebo 4 medené a 4 strieborné mince) a položte ich na stôl v rade, pričom striedajte farby: biela, čierna, biela, čierna atď. Vľavo alebo vpravo ponechajte také voľné miesto, aby sa doň nezmestili viac ako 2 šachy (mince). Pomocou voľného miesta môžete vždy miešať iba dve susedné dámy (mince) bez toho, aby ste zmenili ich vzájomnú polohu.
Stačí urobiť 4 také pohyby párov kociek tak, aby sa v rade objavili všetky čierne a po nich všetky biele.
Presvedčte sa o tom!
97. Komplikovanie úlohy
S rastúcim počtom pôvodne získaných dám (mincí) sa úloha stáva zložitejšou.
Ak teda položíte 5 bielych a 5 čiernych kociek do radu, pričom budete striedať ich farbu, bude trvať 5 ťahov, kým umiestnite čiernu kocku k čiernej a bielu k bielym.
V prípade šiestich párov dám bude potrebných 6 pohybov; v prípade siedmich párov - 7 pohybov atď. Nájdite riešenia úlohy pre päť, šesť a sedem párov dám.
Pamätajte, že pri počiatočnom usporiadaní dám by ste mali nechať voľné miesto vľavo (alebo vpravo) pre maximálne dve dámy a zakaždým presunúť 2 šachy bez toho, aby ste zmenili ich vzájomnú polohu.
98. Karty sa ukladajú v číselnom poradí
Vystrihnite 10 kariet veľkosti 4X0 z kartónu a očíslujte ich od 1 do 10. Po zložení kariet na kôpku ich vezmite do ruky. Začnite hornou kartou, položte prvú kartu na stôl, druhú na spodok kôpky, tretiu kartu na stôl a štvrtú na spodok kôpky. Robte to stále, kým nevyložíte všetky karty na stôl.
Dá sa s istotou povedať, že karty nebudú usporiadané v číselnom poradí.
Zamyslite sa nad poradím, v akom by ste mali na začiatku poukladať karty tak, aby pri zadanom rozložení boli usporiadané v číselnom poradí od 1 do 10.
99. Dve lokačné hádanky
Prvá hádanka. Dvanásť kociek (mince, papieriky a pod.) sa dá jednoducho umiestniť na stôl v tvare štvorcového rámu, 4 ks na každej strane. Ale skúste umiestniť tieto kocky tak, aby ich bolo 5 pozdĺž každej strany štvorca.
Druhá hádanka. Položte na stôl 12 kociek tak, aby boli 3 rady vodorovne a 3 rady zvislo a aby každý z týchto riadkov obsahoval 4 kocky.
100. Tajomná schránka
Misha v lete dovolenkoval v Arteku a priniesol odtiaľ krásnu škatuľku zdobenú 36 mušľami ako darček svojej mladšej sestre Irochke. Do veka krabičky sú vypálené čiary tak, že veko rozdeľujú na 8 sekcií.
Irochka ešte nechodí do školy, ale vie počítať do 10. Na Miškinom darčeku sa jej najviac páčilo, že na vrchnáku škatuľky bolo na každej strane presne 10 mušlí (obr. 40). Pri počítaní škrupín pozdĺž strany Ira berie do úvahy všetky škrupiny nachádzajúce sa v časti susediacej s touto stranou. Irochka počíta škrupiny umiestnené v rohových častiach na oboch stranách.
Jedného dňa mama pri utieraní škatule handrou náhodou rozdrvila 4 mušle. Teraz už nie je na každej strane veka 10 škrupín. Aká nepríjemnosť! Irochka bude pochádzať z MATERSKÁ ŠKOLA a bude veľmi naštvaný.
Ryža. 40. Pozdĺž každej strany veka škatule je 10 mušlí.
Ryža. 39. Ako umiestniť tieto kocky, 5 na každú stranu?
"Problémy nie sú veľké," upokojila Misha svoju matku.
Zo zvyšných 32 opatrne odlúpol niekoľko škrupín a tak zručne ich prilepil späť na veko škatuľky, že na každej strane bolo opäť 10 škrupín.
Prešlo niekoľko dní. Opäť problémy. Krabička spadla a rozbilo sa ďalších 6 nábojov; Zostalo ich len 26. Misha však aj tentoraz vymyslela, ako zvyšných 26 mušlí usporiadať na vrchnáku tak, aby Irochka mala po každej strane ešte 10 mušlí. Je pravda, že zostávajúce škrupiny v druhom prípade nemohli byť rozmiestnené na veku škatule tak symetricky, ako sa doteraz nachádzali, ale Ira tomu nevenovala pozornosť.
Nájdite obe Mišove riešenia.
101. Odvážna „posádka“
Snehová pevnosť je chránená statočnou „posádkou“. Chlapci odrazili 5 útokov, ale nevzdali sa. Na začiatku hry „posádka“ pozostávala zo 40 ľudí. „Veliteľ“ snehovej pevnosti spočiatku rozmiestnil svoje sily podľa schémy znázornenej v štvorcovom rámčeku vpravo (v centrálnom štvorci je celkový počet „posádky“).
„Nepriateľ“ videl, že každú zo 4 strán pevnosti bránilo 11 ľudí. Podľa pravidiel hry počas prvého, druhého, tretieho a štvrtého útoku „posádka“ „stratila“ zakaždým 4 ľudí. Pri poslednom, piatom, útoku „nepriateľ“ zneškodnil svojimi snehovými guľami ďalších dvoch ľudí. Napriek stratám však po každom útoku obe strany snehovej pevnosti naďalej bránilo 11 ľudí.
Ako „veliteľ“ snehovej pevnosti usporiadal sily svojej posádky po každom útoku?
104. Príprava na dovolenku
Geometrický význam predchádzajúcich piatich úloh spočíval v usporiadaní predmetov pozdĺž štyroch rovných čiar (strany obdĺžnika alebo štvorca) tak, aby počet predmetov pozdĺž každej priamky zostal rovnaký, keď sa ich celkový počet zmenil.
Toto usporiadanie bolo dosiahnuté vďaka skutočnosti, že všetky objekty nachádzajúce sa v rohoch boli považované za patriace každej zo strán uhla, rovnako ako bod priesečníka dvoch priamok patrí každej z nich.
Ak predpokladáme, že každý z predmetov umiestnených po stranách obrazca zaberá určitý bod na zodpovedajúcej strane, potom si všetky predmety umiestnené v rohoch treba predstaviť sústredené v jednom bode (na vrchole rohu).
Zanechajme teraz možnosť čo i len pomyselného hromadenia objektov v jednom geometrickom bode.
Budeme predpokladať, že každý jednotlivý objekt (kameň, žiarovka, strom atď.) spomedzi tých, ktoré sa nachádzajú v určitej rovine, zaberá samostatný bod tejto roviny a neobmedzíme sa na požiadavku umiestniť tieto objekty iba pozdĺž štyroch rovné čiary
linky. Ak sa tieto podmienky doplnia požiadavkou, aby bolo riešenie v určitom zmysle symetrické, problémy s umiestňovaním objektov pozdĺž priamych línií získajú ďalší geometrický význam. Riešenie takýchto úloh zvyčajne vedie ku konštrukcii nejakého geometrického útvaru.
Napríklad, ako by ste mohli pri výrobe sviatočných svetiel krásne umiestniť 10 žiaroviek v 5 radoch po 4 žiarovky v každom rade?
Odpoveď na túto otázku dáva päťcípa hviezda znázornená na obr. 44.
Precvičte si riešenie podobných problémov; Pokúste sa dosiahnuť symetriu v požadovanom mieste.
Úloha 1. Ako usporiadať 12 žiaroviek v 6 radoch so 4 žiarovkami v každom rade? (Tento problém má dve riešenia.)
Úloha 2. Zasaďte 13 okrasných kríkov do 12 radov s 3 kríkmi v každom rade.
Úloha 3. Na trojuholníkovej ploche (obr. 45) pestoval záhradník 16 ruží usporiadaných v 12 rovných radoch po 4 ruže v každom rade. Potom pripravil záhon a presadil všetkých 16 ruží do 15 radov po 4 ruže? ako sa mu to podarilo?
Úloha 4. Umiestnite 25 stromov do 12 radov s 5 stromami v každom rade.
Ryža. 44. 5 riadkov po 4.
Ryža. 45. Ako urobiť 15 riadkov po 4.
105. Vysádzajte duby inak
27 dubov bolo krásne vysadených podľa znázornenej schémy
na obr. 46, v 9 radoch so 6 dubmi v každom rade, ale lesník by takéto usporiadanie nepochybne odmietol. Dub potrebuje slnko iba zhora a po stranách, aby bola zeleň.
Miluje, ako sa hovorí, vyrastať v kožuchu, ale bez klobúka, a potom 3 duby odskočili niekam nabok a vystrčili osamelo!
Skúste zasadiť týchto 27 dubov iným spôsobom, tiež v 9 radoch a tiež 6 dubov v každom rade, ale tak, aby všetky stromy boli usporiadané do troch skupín a nie oddelené od svojej vlastnej skupiny; uložiť a
symetria v usporiadaní sa od nich neodrazila.
109. Puzzle darček
Existuje taká hračka: krabica; otvoríte ho a vo vnútri je stále krabica; Keď ho otvoríte, vo vnútri je opäť krabica.
Vyrobte si takúto hračku zo štyroch krabíc. Do najmenšej vnútornej škatuľky umiestnite 4 cukríky, do každej z nasledujúcich dvoch škatúľ pridajte 4 cukríky a do najväčšej 9 cukríkov.
Do štyroch škatúľ sa teda umiestni 21 cukríkov (obr. 53).
Darujte túto bonboniéru svojmu priateľovi k narodeninám s podmienkou, že nezje bonbóny, kým „oslavenec dňa“ nerozdelí 21 bonbónov tak, aby každá krabička obsahovala párny počet párov bonbónov a ešte jeden.
Samozrejme, predtým, ako urobíte tento darček, musíte túto hádanku „rozlúštiť“ sami. Majte na pamäti, že tu nepomôžu žiadne pravidlá aritmetiky, stačí ukázať vynaliezavosť a malú dávku dôvtipu.
110. Pohybom koňa
Na vyriešenie tohto zábavného šachového problému nie sú potrebné žiadne šachové zručnosti. Stačí vedieť, ako sa rytier pohybuje na šachovnici. Čierni pešiaci sú umiestnení na šachovnici (pozri schému na obr. 54). Umiestnite bieleho jazdca na ľubovoľné voľné pole šachovnice tak, aby ste s týmto jazdcom odstránili všetkých čiernych pešiakov zo šachovnice a zároveň s jazdcom urobili čo najmenší počet ťahov.
113. Osem hviezd
V jednej z bielych buniek na obr. 57 Dal som tomu hviezdičku.
Umiestnite ďalších 7 hviezd do bielych políčok tak, aby žiadne 2 hviezdy (z ôsmich) neboli na rovnakej horizontálnej, vertikálnej alebo akejkoľvek uhlopriečke.
Problém, samozrejme, musí byť vyriešený pokusom, takže ďalší záujem o problém spočíva v zavedení známeho systému do procesu potrebného testovania.
114. Dva problémy na usporiadanie listov
Prvá úloha. V štvorci rozdelenom na 16 rovnakých štvorcov usporiadajte 4 písmená tak, aby v každom vodorovnom rade, v každom zvislom rade a v každej z dvoch uhlopriečok veľkého štvorca bolo len jedno písmeno. Aký veľký je počet riešení tohto problému v prípade, keď sú umiestnené písmená rovnaké av prípade, že sa líšia?
Druhá úloha. V štvorci rozdelenom na 16 rovnakých štvorcov usporiadajte každé zo štyroch písmen a, b, c a d 4-krát tak, aby v žiadnom vodorovnom rade, v každom zvislom rade a v každej z dvoch uhlopriečok veľkého písmena neboli žiadne rovnaké písmená. námestie. Aký veľký je počet riešení tohto problému?
115. Rozloženie viacfarebných štvorcov
Pripravte si 16 rovnako veľkých štvorcov, ale štyroch rôznych farieb, povedzme biely, čierny, červený a zelený – 4 štvorce z každej farby. Skončíte so štyrmi sadami viacfarebných štvorcov. Na každé políčko prvej sady napíšte číslo 1, na každé políčko druhej sady - 2, na štvorce tretej sady - 3 a na štvorce štvrtej sady - 4.
Týchto 16 viacfarebných štvorcov je potrebné usporiadať tiež do tvaru štvorca a to tak, aby v každom vodorovnom rade, v každom zvislom rade a v každej z dvoch uhlopriečok boli štvorce s číslami 1, 2, 3 a 4 v nejakom náhodnom poradí a navyše bez problémov rôznych farieb.
Problém umožňuje mnoho riešení. Zvážte systém na získanie požadovaných miest.
119. Vtipná úloha
Stredoškolák 4. ročníka Kolja Siničkin sa usilovne snaží presunúť šachového rytiera z ľavého dolného rohu šachovnice (z poľa a\) do pravého horného rohu (na pole h8), aby rytier navštívil každé pole šachovnice raz. . Zatiaľ sa mu to nepodarilo. Snaží sa však vyriešiť nemožný problém?
Pochopte to teoreticky a vysvetlite Kolju Sinichkinovi, o čo ide.
120. Stoštyridsaťpäť dverí (puzzle)
Stredovekí feudáli niekedy premenili suterény svojich hradov na väznice - labyrinty s najrôznejšími trikmi a tajomstvami: s posuvnými celami, tajnými chodbami a rôznymi pascami.
Pozeráte sa na taký starobylý hrad a mimovoľne cítite túžbu snívať.
Predstavme si, že do jednej z týchto pivníc, ktorej plán je znázornený na obrázku 62, hodia muža, jedného z tých, ktorí bojovali s feudálnym pánom. Predstavme si takéto tajomstvo v štruktúre tohto suterénu. Zo 145 dverí je len 9 zamknutých (na obr. 62 sú označené hrubými pruhmi) a všetky ostatné sú otvorené dokorán. Zdá sa také ľahké prejsť k dverám vedúcim von a pokúsiť sa ich otvoriť. Nie tak. Zamknuté dvere nie je možné otvoriť, ale otvoria sa samé, ak sú to presne deviate dvere v rade, teda ak pred tým prešlo 8 minút. otvorené dvere. V tomto prípade musia byť všetky zamknuté dvere žalára otvorené a cez ne prejsť; každý z nich sa otvorí aj sám, ak predtým prešlo presne osem otvorených dverí. Taktiež nebude možné opraviť chybu a prejsť 2 - 3 ďalšími dverami v susedstve, aby sa počet prechádzajúcich dverí zvýšil na osem: akonáhle prejde komorou, všetky predtým otvorené dvere v nej sú tesne zatvorené. a zamknuté - nemôžete prejsť komorou druhýkrát. Feudáli to takto zámerne zariadili.
Väzeň o tomto tajomstve žalára vedel a na stene svojej cely (označenej na pláne hviezdičkou) našiel klincom poškrabaný presný plán žalára. Dlho si lámal hlavu nad tým, ako zmapovať správnu cestu, aby každé zamknuté dvere boli vlastne deviate. Nakoniec tento problém vyriešil a bol prepustený.
Aké riešenie našiel väzeň?
121. Ako sa dostal väzeň na slobodu?
Záujemcovia sa môžu zamyslieť nad touto verziou predchádzajúceho problému.
Predstavte si, že kazemata, v ktorej väzeň chradne, pozostáva zo 49 ciel.
V siedmich komorách, označených na pôdoryse žalára (obr. 63) písmenami A, B, C, D, D, E a G, sú po jedny dvere, ktoré sa dajú otvoriť len kľúčom, a kľúč do dvere komory A sú v komore a, kľúč od dverí cely B sa nachádza v cele b, kľúče od dverí cely C, D, D, E a G sú v uvedenom poradí v bunkách c, d, e, f a g.
Zostávajúce dvere sa otvárajú jednoduchým stlačením kľučky, ale na každých dverách je kľučka len na jednej strane a po prejdení sa dvere automaticky zabuchnú. Na druhej strane dverí nie je žiadna kľučka.
Plán kobky ukazuje, akým spôsobom prejsť cez každé bezkľúčové dvere, ale poradie, v ktorom by sa mali zamknuté dvere otvárať, nie je známe. Tými istými dverami môžete prejsť ľubovoľný počet krát, samozrejme, pri dodržaní podmienok, za ktorých sa otvárajú.
Väzeň je v cele O. Ukážte mu cestu vedúcu na slobodu.
KONIEC 2. KAPITOLY A FRAGMENT KNIHY
Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia
Stredná škola Saranpaul
Výskum matematiky
Pripravené:
Žiak 3. ročníka Nikolay Frolov,
vedúci:
Arteeva Antonina Andreevna,
učiteľka na základnej škole.
Saranpaul, 2017
ObsahStránka
Úvod
Dôležitosť úloh vynaliezavosti
Leonardo Fibonacci- matematik, ktorý prispel k riešeniu problémov vynaliezavosti
Klasifikácia úloh na základe „vynaliezavosti“
Logické problémy
Krížové úlohy
Transfúzne úlohy
Rozprávkové úlohy
Úlohy pre vynaliezavosť a vynaliezavosť
Číselné rady, hádanky
Záver
Bibliografia
Úvod
Kreatívna činnosť– najsilnejší impulz vo vývoji dieťaťa. Potenciálny génius žije v každom človeku, no nie vždy človek cíti prítomnosť génia. S rozvojom tvorivých schopností je potrebné začať čo najskôr.
Akýkoľvek matematický problém pre vynaliezavosť, bez ohľadu na to, pre aký vek je určený, so sebou nesie určitú duševnú záťaž, ktorá sa najčastejšie skrýva zábavnou zápletkou, externými údajmi, podmienkami úlohy atď. V úlohách rôzneho stupňa zložitosti priťahuje zábava pozornosť detí a aktivuje myslenie, vzbudzuje trvalý záujem o nadchádzajúce hľadanie riešenia. Povaha materiálu určuje jeho účel: rozvíjať všeobecné duševné a matematické schopnosti detí, zaujímať ich o predmet matematiky, baviť sa, čo, samozrejme, nie je to hlavné.Rozvoj vynaliezavosti, vynaliezavosti a iniciatívy sa uskutočňuje aktívne duševnej činnosti na základe okamžitého záujmu.
To, čo robí matematický materiál zaujímavým, sú herné prvky obsiahnuté v každom probléme, logickom cvičení a zábave, či už ide o šach alebo najzákladnejšiu hádanku. Napríklad v otázke: „Ako urobiť štvorec na stole pomocou dvoch tyčiniek? – nezvyčajnosť jeho výroby vás núti zamyslieť sa pri hľadaní odpovede, nechať sa vtiahnuť do hry fantázie.
Rôznorodosť zábavného materiálu - hry, úlohy, hádanky - dáva základ ich klasifikácii, aj keď je dosť ťažké rozdeliť tak rôznorodý materiál vytvorený matematikmi do skupín.
Dá sa klasifikovať podľa rôzne znamenia: obsahom a významom, povahou duševných operácií, ako aj znakom všeobecnosti, zamerať sa na rozvoj určitých zručností. Základom identifikácie takýchto skupín je povaha a účel materiálu jedného alebo druhého typu.
Cieľ: Štúdium metód riešenia problémov pomocou vynaliezavosti.
Úlohy:
1. Preštudujte si tému „Riešenie problémov s vynaliezavosťou“, typy problémov s vynaliezavosťou a spôsoby ich riešenia.
2. Vyriešte niekoľko typov problémov pomocou vynaliezavosti a nezávisle vytvorte algoritmus na riešenie takýchto problémov.
Dôležitosť úloh vynaliezavosti
Tvorivá činnosť študentov v procese štúdia matematiky spočíva predovšetkým v riešení úloh. Schopnosť riešiť problémy je jedným z kritérií úrovne matematického rozvoja študentov, charakterizuje predovšetkým schopnosť študentov aplikovať svoje teoretické vedomosti v konkrétnej situácii.
Pri riešení tradičných školských problémov využívajú na ich riešenie určité vedomosti, zručnosti a schopnosti z úzkeho okruhu problematiky programového materiálu. Známe riešenia zároveň obmedzujú tvorivé hľadanie študentov. 
Úlohu vynaliezavosti, na rozdiel od tej tradičnej, nemožno priamo riešiť podľa žiadneho zákona. Problémy s vynaliezavosťou sú také, pre ktoré kurz matematiky nemá všeobecné pravidlá a predpisy, ktoré určujú presný program na ich riešenie. Preto je potrebné nájsť riešenie, ktoré si vyžaduje kreatívne myslenie a prispieva k jeho rozvoju.
Riešenie problémov s vynaliezavosťou generuje intenzitu hľadania a radosť z objavovania – najdôležitejšie faktory rozvoja a tvorivého úspechu.
Dôležitosť úloh vynaliezavosti je veľmi vysoká - schopnosť študentov riešiť neštandardné problémy ukazuje:
1. Schopnosť myslieť originálne a tiež má veľký význam pri formovaní a rozvoji ich tvorivosť;
2. Schopnosť zovšeobecňovať matematický materiál, izolovať to hlavné, odvádzať pozornosť od nedôležitého, vidieť spoločné v tom, čo je zjavne odlišné;
3. Schopnosť ovládať číselné a symbolické symboly;
4. Schopnosť „konzistentného, logického uvažovania“ spojená s potrebou dôkazov, odôvodnení, záverov;
5. Schopnosť skrátiť proces uvažovania, myslieť v zrútených štruktúrach;
6. Schopnosť zvrátiť myšlienkový proces (prejsť z priameho na spätný zdvih myšlienky);
7. Flexibilita myslenia, schopnosť prejsť z jednej mentálnej operácie do druhej, oslobodenie od obmedzujúceho vplyvu šablón a šablón. Táto vlastnosť myslenia je dôležitá v tvorivá práca matematici;
8. Schopnosť rozvíjať matematickú pamäť... to je pamäť na zovšeobecňovanie, logické schémy;
9. Schopnosť priestorových zobrazení.
K.D. Ushinsky tiež napísal, že „...učenie, bez akéhokoľvek záujmu a brané len z nátlaku... zabíja túžbu študenta po učení, bez ktorého to ďaleko nezájde“.
Záujem je silným stimulátorom aktivity, pod jeho vplyvom prebiehajú všetky duševné procesy obzvlášť intenzívne a aktivita sa stáva vzrušujúcou a produktívnou. Jeho podstata spočíva v túžbe študenta hlbšie a dôkladnejšie preniknúť do poznanej oblasti, v neustálom nutkaní venovať sa predmetu svojho záujmu.
Z histórie vzniku invenčných úloh
Nie je prekvapujúce, že úlohy vynaliezavosti sa stali zábavou „pre všetky časy a národy“.Prvá učebnica matematiky, ktorá sa k nám dostala, alebo skôr jej ku 5 metrov dlhá miazga, známa po celom svete ako „Londýnsky papyrus“ alebo „Ahmesov papyrus“, obsahuje 84 problémov sprevádzaných riešeniami. Slúžil na vyučovanie tried na škole štátnych pisárov. Už starí Egypťania pochopili dôležitú úlohu v procese učenia hrá prvok zábavy a medzi tie, ktoré sú súčasťou „papi“ Rus Ahmes" takých úloh bolo veľa. Takže po tisíce rokov z jednej zbierky prezývka zábavných matematických problémov sa zatúla k inému „problému o sebe“ "Mi mačky" z tohto papyrusu. Napriek existencii trinásťzväzkových „Princípov“ Euklida (III. storočie pred n. l.), ktoré sa na viac ako dve tisícročia stali vzorom vedeckej prísnosti a v r. Staroveké Grécko zábavný prvok v matematike nezmizol a najzreteľnejšie je zastúpený v „Aritmetike“ Diofanta Alexandrijského (pravdepodobne 3. storočie). V stredoveku najhlbšie stopy pri riešení problémov pomocou vynaliezavosti zanechali Taliani Leonardo (Fibonacci) z Pisy (XIII. storočie) a Niccolò Tartaglia (XVI. storočie).
V 17. storočí sa začali objavovať zbierky matematickej zábavy podobné tým moderným. Medzi nimi „Príjemné a zábavné úlohy, uvažované v číslach“ od matematika a básnika Gasparda Clauda Bache Sieur de Meziriac a „Matematické a fyzikálne zábavy“ od ďalšieho francúzskeho matematika a spisovateľa Jacquesa Ozanama.
V 19. storočí Francúzsky matematik a špecialista na teóriu čísel Edouard Lucas vydal štvorzväzkové dielo o zábavnej matematike, ktoré sa stalo klasikou. Na prelome 19. a 20. stor. Veľkým prínosom do pokladnice zábavnej matematiky boli vynikajúci vynálezcovia hier a hlavolamov – talentovaný samouk Američan Sam Loyd a Angličan Henry Ernest Dudeney. Zábavná matematika druhej polovice 20. storočia. Nie je možné si to predstaviť bez celej série úžasných kníh, ktoré napísal slávny americký matematik Martin Gardner. Práve jeho rôznorodé matematické eseje, harmonicky spájajúce vedeckú hĺbku a schopnosť pobaviť, priviedli milióny ľudí na celom svete (vrátane mňa) do exaktných vied a, samozrejme, aj do zábavnej matematiky.
V Rusku sú také zbierky problémov ako „Aritmetika“ od L. F. Magnitského, „V kráľovstve vynaliezavosti“ od E. I. Ignatieva, „Živá matematika“, „Zábavná aritmetika“, „Zábavná algebra“ a „Zábavná geometria“ od Ya. I. Perelman a „Matematická vynaliezavosť“ od B. A. Kordemského
Leonardo Fibonacci - matematik, ktorý prispel k riešeniu problémov s vynaliezavosťou.
Leonardo Fibonacci
narodil sa a žil v Taliansku v meste Pisa v 12.-13. Jeho otec bol obchodník, a preto mladý Leonardo veľa cestoval. Na východe sa zoznámil s arabskou číselnou sústavou; následne ju analyzoval, opísal a predstavil európskej spoločnosti vo svojej slávnej knihe „Liber Abaci
» («
Účtovná kniha
"). Pripomeňme, že v Európe sa v tom čase používali rímske číslice, ktoré boli strašne nepohodlné pracovať tak pri zložitých matematických a fyzikálnych výpočtoch, ako aj pri práci s a účtovníctvo.
Leonardo Fibonacci zaviedol do Európy arabské číslice , ktoré používa takmer celý západný svet dodnes.Prechod z rímskeho systému na arabčinu spôsobil revolúciu v matematike a iných vedách , s tým úzko súvisí.
Je ťažké si predstaviť, aký by bol svet, keby vtedy, v 13. storočí, Fibonacci nevydal svoju knihu a nepredstavil Európanom arabské číslice. Je zaujímavé, že vy a ja používame arabské číslice bez premýšľania a považujeme ich za samozrejmosť. Ale keby nebolo Leonarda Fibonacciho, ktovie, ako by sa beh dejín vyvíjal. Koniec koncov, výkon apojednanie o arabských číslach výrazne zmenilo stredovekú matematiku V lepšia strana; posunul ju a s ňou aj ďalšie vedy ako fyzika, mechanika, elektronika atď. Upozorňujeme, že práve tieto vedy vedú pokrok vpred. To je dôvod, prečo v mnohých ohľadoch chod dejíno rozvoj európskej civilizácie a vedy ako celku sa zaslúžil Leonard Fibonacci .
Fibonacciho číselný rad
Druhým výnimočným úspechom Leonarda Fibonacciho jeFibonacciho číselný rad . Verí sa, že táto séria bola známa na východe, ale bol to Leonardo Fibonacci, ktorý publikoval túto sériu čísel vo vyššie uvedenej knihe „Liber Abaci“ (urobil to, aby demonštroval reprodukciu králičej populácie).
Následne sa ukázalo, žetáto postupnosť čísel je dôležitá nielen v matematike, ekonómii, a finančníctvo, ale aj v botanike, zoológii, fyziológii, medicíne, umení, ako aj vo filozofii, estetike a mnoho ďalších. pretože civilizácie, tento rad čísel sa stal známym od Leonarda Fibonacciho a dostal prezývku „Fibonacciho séria" alebo "Fibonacciho čísla ».
Vzorec a príklad radu Fibonacciho čísel
Vo Fibonacciho sekvenciikaždý prvok, počnúc tretím, je súčtom dvoch predchádzajúcich prvkov
, napriek tomu, že séria začína číslami 0 a 1. Súčet je: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025
…
Fibonacci - legendárna postava v matematike, ekonómii a financiách ; vyhlásil arabské čísla a zaviedol magický rad čísel.
Problém vymyslel taliansky vedec Fibonacci, ktorý žil v 13. storočí.
„Niekto kúpil pár králikov a umiestnil ich do ohrady oplotenej zo všetkých strán. Koľko králikov bude za rok, ak predpokladáme, že každý mesiac sa páru narodí nový pár králikov, ktorí od druhého mesiaca života tiež začínajú rodiť potomstvo?
odpoveď: 377 ods. V prvom mesiaci už budú 2 páry králikov: 1 počiatočný pár, ktorý porodil, a 1 narodený pár. V druhom mesiaci budú 3 páry králikov: 1 počiatočný, opäť rodiaci, 1 rastúci a 1 narodený. V treťom mesiaci - 5 párov: 2 páry, ktoré porodili, 1 rastúci a 2 narodené. Vo štvrtom mesiaci - 8 párov: 3 páry, ktoré porodili, 2 rastúce páry, 3 narodené páry. Pokračovaním vo vyšetrovaní po mesiacoch môžeme nadviazať spojenie medzi počtom králikov v aktuálnom mesiaci a v predchádzajúcich dvoch. Ak označíme počet párov N a m poradové číslo mesiaca, potom N m = N m-1 +N m-2 . Pomocou tohto výrazu sa počet králikov vypočíta podľa mesiaca v roku: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,55, 89, 144, 233, 377.
Klasifikácia úloh na základe vynaliezavosti
Problémy s vážením a nalievanímPri takýchto problémoch sa od riešiteľa vyžaduje, aby pri obmedzenom počte vážení lokalizoval predmet, ktorý sa svojou hmotnosťou líši od iných predmetov. Táto časť sa zaoberá aj problémami s transfúziou, pri ktorých je potrebné získať určité množstvo tekutiny pomocou nádob daného objemu.
Nájdenie toho nepárneho
Vyžaduje schopnosť kombinovať skupiny predmetov podľa určitých vlastností.
Slovné úlohy pre výpočty
Jednoduché životné procesy, schopnosť aplikovať matematické poznatky v živote.
Problémy s hľadaním logických chýb, problémy s trikom
Rozvíjajú cennú a veľmi potrebnú vlastnosť úspešného človeka – kritické myslenie. Naučme sa analyzovať stav. Niekedy je odpoveď obsiahnutá v samotnom probléme.
Priradenie vlastností čísel a operácie s nimi
Vlastnosti párnych a nepárnych čísel, správne umiestnenie zátvoriek, usporiadanie číslic v čísle, ktoré spĺňa určité podmienky. Deliteľnosť čísel. Operácie s číslami.
kryptaritmy
Matematický hlavolam, ktorý obsahuje zašifrovaný príklad na vykonanie jednej z aritmetických operácií. V tomto prípade sú rovnaké čísla zašifrované rovnakým písmenom a rôzne čísla zodpovedajú rôznym písmenám.
Problémy s logikou a uvažovaním
Úlohy, ktoré priamo nesúvisia s výpočtami, ale aktívne rozvíjajú myslenie.
O čase
Vypočítajte dátum pomocou indícií, zapamätajte si vzor hodín alebo určte vek niekoho iba pomocou tipov.
Na postupnosti čísel
V týchto úlohách je potrebné rozlúštiť princíp, ktorým je nastavená určitá postupnosť a pokračovať v nej.
Problémy so zápasmi
Manipuláciou so zápalkami je potrebné dosiahnuť požadovaný výsledok. Väčšina z týchto úloh je klasifikovaná ako „neštandardná“, vyžadujúca si zručnosť „zhodnotiť situáciu z uhla pohľadu, ktorý je pre väčšinu neočakávaný, alebo vidieť v situácii možnosť použitia nezrejmých údajov“.
Rébusy
Hra, v ktorej sú slová, frázy alebo celé výroky šifrované pomocou obrázkov kombinovaných s písmenami a znakmi.
šach
Každá úroveň kurzu spravidla obsahuje niekoľko lekcií (minimálne 2) šachu. Základné postavy. Učíme sa budovať efektívne stratégie, myslieť, robiť informované a racionálne rozhodnutia
Logické problémy
Pri riešení logických problémov týkajúcich sa korešpondencie jedna k jednej je vhodné zapisovať údaje do tabuľky, kde na priesečník riadku a stĺpca vložíme znamienko „+“ alebo znamienko „-“.
1. Piati spolužiaci - Irena, Timur, Camilla, Eldar a Zalim - sa stali víťazmi školských olympiád z fyziky, matematiky, informatiky, literatúry a geografie. To je známe
Víťaz počítačovej olympiády učí Irenu a Timura ovládať počítač;
Camilla a Eldar sa začali zaujímať aj o informatiku;
Timur sa vždy bál fyziky;
Camilla, Timur a víťaz literárnej olympiády plávajú;
Timur a Camilla zablahoželali víťazovi matematickej olympiády;
Irena ľutuje, že má málo času na literatúru.
Akú olympiádu vyhral každý z týchto chlapcov?
1 spôsob riešenia pomocou tabuľky
2 spôsoby riešenia pomocou grafovI T K E Z
F M I L G
odpoveď: Irena je víťazkou matematickej olympiády. Timur - v geografii.
Camilla - vo fyzike Eldar - v literatúre. Zalim – v informatike
2. Tri dievčatá - Rose, Margarita a Anyuta - predstavili na súťaži košíky ruží, sedmokrások a macešek, ktoré si vypestovali. Dievča, ktoré pestovalo sedmokrásky, upozornilo Rose na skutočnosť, že žiadne z dievčat nemá rovnaké meno ako ich obľúbené kvety. Aké kvety vypestovalo každé z dievčat?
Riešenie: Prostredníctvom uvažovania
a) Anya nezvýšila macešky. b) Margarita nepestovala sedmokrásky c) Ruža nepestovala ruže. Rose mohla pestovať buď ruže alebo macešky. Rose nepestovala ruže. Záver: Rose pestovala macešky. Margarita pestovala ruže. Anya pestovala sedmokrásky.
3. Štyria priatelia - Zhenya, Kostya, Dima a Vadim - vyrobili dekorácie na dovolenku. Niekto vyrábal girlandy zo zlatého papiera, niekto červené gule, niekto girlandy zo strieborného papiera a niekto krekry zo zlatého papiera. Kostya a Dima pracovali s papierom rovnakej farby, Zhenya a Kostya vyrábali rovnaké hračky. Kto vyrobil aké dekorácie?
odpoveď:
Je vhodné riešiť logické problémy spájania prvkov troch množín do vzájomnej korešpondencie pomocou trojrozmernej tabuľky4. Máša, Lida, Zhenya a Katya hrajú na rôzne nástroje – akordeón, klavír, gitara, husle, ale každá hrá na jeden. Hovoria cudzími jazykmi - anglicky, francúzsky, nemecky, španielsky, ale každý z nich hovorí rovnako Kto hrá na aký nástroj a akým cudzím jazykom hovorí?
Krížové úlohy
V úlohách prechodu je potrebné uviesť postupnosť akcií, pri ktorých sa požadovaný prechod vykonáva a sú splnené všetky podmienky úlohy.
Vlk, koza a kapusta. Na brehu rieky stojí sedliak s člnom a vedľa neho vlk, koza a kapusta. Roľník musí sám prejsť cez rieku a preniesť vlka, kozu a kapustu na druhú stranu. Do člna sa však okrem sedliaka dáva buď len vlk, alebo len koza, alebo len kapusta. Nemôžete nechať vlka s kozou alebo kozu s kapustou bez dozoru - vlk môže zjesť kozu a koza môže zjesť kapustu. Ako sa má roľník správať?
Odpoveď: Roľník môže postupovať podľa jedného z dvoch algoritmov:
2. Dvaja vojaci sa priblížili k rieke, po ktorej išli dvaja chlapci na člne. Ako môžu vojaci prejsť na druhú stranu, ak sa do člna zmestí len jeden vojak alebo dvaja chlapci, ale vojak s chlapcom sa už nezmestí?Odpoveď: Nech sú M1 a M2 chlapci, C1 a C2 sú vojaci. Algoritmus kríženia môže byť takýto:
1. M1 a M2 –>
2. M1<–
3. C1 –>
4. M2<–
5. M1 a M2 –>
6. M1<–
7. C2 –>
8. M2<–
Transfúzne úlohy
Títoúlohy sú praktického charakteru. Riešenie takýchto problémov rozvíja logické myslenie, núti vás premýšľať, pristupovať k riešeniu problému z rôznych uhlov pohľadu a vybrať si z množstva riešení ten najjednoduchší a najjednoduchší spôsob. Aby ste to dosiahli, pomocou nádob známych nádob musíte odmerať určité množstvo kvapaliny. Najjednoduchším spôsobom riešenia problémov tejto triedy je vymenovať možné možnosti.A musíte uviesť postupnosť akcií, v ktorých sa vykonáva požadovaná transfúzia a sú splnené všetky podmienky.
1. Ako s dvoma vedrami s objemom 3 a 5 litrov načerpať 7 litrov vody z vodovodného kohútika?
odpoveď:
V dvoch vedrách je len 7 litrov vody.2. Zlá macocha poslala svoju nevlastnú dcéru k prameňu po vodu a povedala: „V našich vedrách je 5 a 9 litrov vody. Vezmite ich a prineste presne 3 litre vody.“ Ako by mala nevlastná dcéra postupovať, aby splnila túto úlohu?
odpoveď:
Pri diskutovaných problémoch s transfúziou boli podané dve nádoby a voda bola vyliata z vodovodného kohútika.Sú tam náročnejšie úlohy, nie dve plavidlá, ale tri a viac. Voda sa NEBERIE z kohútika. Pri takýchto problémoch je voda už v niektorej nádobe, napríklad v tej najväčšej. A budeme nalievať vodu do malých nádob. Nemôžete vylievať vodu. Ak je potrebné nádobu vyprázdniť, prebytočná voda sa naleje do inej nádoby. Väčšia nádoba je zvyčajne sklad, z ktorého sa odoberá voda a prebytočná sa do nej nalieva.
Rozprávkové úlohy
Riešenie takýchto problémov oživuje matematiku. Túžba pomôcť hrdinovi v ťažkostiach stimuluje duševnú aktivitu a následne spôsobuje túžbu čítať dielo. Sympatie pri takýchto úlohách sú na strane kladného hrdinu. Dobro víťazí, zlo je potrestané, negatívne vlastnosti sú zosmiešňované.
na jednom z nich stretneš svoju smrť,
na druhej strane sa ti nič nestane,
tretia cesta vás dovedie k Vasilise Krásnej.
Upozorňujeme, že všetky tri nápisy vytvoril Koshchei Nesmrteľný. Ivan hodil loptu na zem. Odkotúľal sa, Ivan za ním. Ivan išiel dlho alebo krátko, prišiel k obrovskému kameňu. Na kameni je napísané:
"Ak pôjdeš doľava, stretneš svoju smrť,"
"Ak pôjdeš doprava, zachrániš Vasilisu Krásnu zo zajatia," "Ak pôjdeš rovno, niečo sa ti stane."
Riešenie: Tretí údaj je nesprávny – Ivanovi sa cestou rovno nič nestane. Nesprávny je aj druhý zápis, t.j. na ceste doprava Ivan Vasilisu Krásnu nezachráni. To znamená, že na zostávajúcej ceste (ceste vľavo) Ivan zachráni Vasilisu Krásnu.
2. Šesť lupičov okradlo kráľa Dadona. Korisť sa ukázala ako bohatá – necelých sto rovnakých barov. Lupiči si korisť začali deliť rovným dielom, no jeden zliatok sa ukázal byť priveľa. Lupiči sa pobili a jeden z nich bol v boji zabitý. Tí, čo zostali, začali opäť deliť zlato a opäť sa ukázal jeden kus navyše. A opäť jeden z lupičov zomrel v boji. A tak ďalej: zakaždým, keď bolo jedného ingotu príliš veľa a jeden z lupičov zomrel v boji. Nakoniec zostal len jeden lupič, ktorý na následky zranení zomrel. Koľko tam bolo barov?
Riešenie:ak by na začiatku bolo o jeden ingot menej, potom by došlo k deleniu. Číslo, ktoré je menšie ako 100 a deliteľné 2, 3, 4, 5, 6, je 60. To znamená, že spolu je 60+1=61 taktov.
Spravodajské úlohy
1. Dve matky, dve dcéry a stará mama s vnučkou. Koľkí tam sú?
2. Byt mal 3 izby. Z jedného urobili dva. Koľko izieb je v byte?
3. Ako usporiadať 8 stoličiek pozdĺž štyroch stien miestnosti tak, aby každá stena mala 3 stoličky?
Výzvy pre vynaliezavosť
Koľko hodín je spolu deň a noc?
Na stole bolo jablko. Bola rozdelená na 4 časti. Koľko jabĺk je na stole?
Úlohy na zmenu postavenej postavy
Rozvíja sa schopnosť modelovať rovinné geometrické útvary. 1. Z tyčiniek vytvorte rovnaký tvar ako na obrázku. Usporiadajte 2 tyčinky, aby ste vytvorili 2 štvorce.2. Z tyčiniek vytvorte rovnaký tvar ako na obrázku. Odstráňte 2 tyčinky a vytvorte 6 štvorcov.
Číselný rad
1,2,3,4,5,6…
1,4,16…
45,39,33,27…
0,3,8,15,24…
112,56,28,14…
Rébusy
Nahraďte hviezdičky číslami tak, aby boli splnené rovnosti vo všetkých riadkoch a každé číslo v poslednom riadku sa rovnalo súčtu čísel v stĺpci, pod ktorým sa nachádza. Riešenie:
*1 x **= **011x10=110
6* : *7 = *
68:17 = 4
** +** =20
10+10= 20
* 2 -* = *
12- 4 = 8
*** +**=1**
101 +41+142
Problémy s geometrickým obsahom (unikátne postavy)
Existuje známe podobenstvo: niekto dal milión rubľov každému, kto nakreslil ďalšiu postavu. No pri kreslení bola stanovená jedna podmienka. Požadovalo sa, aby táto postava bola nakreslená jedným súvislým ťahom, to znamená bez odstránenia pera alebo ceruzky z papiera a bez zdvojenia jedinej čiary, inými slovami, nebolo možné prejsť cez čiaru nakreslenú druhýkrát.
Záver
V matematike existujú rôzne typy problémov s vynaliezavosťou:
Na váženie a transfúziu,
Logické problémy,
Transfúzne úlohy
Krížové úlohy
Problémy s geometrickým obsahom,
Hádanky, číselné rady.
Metódy riešenia takýchto problémov zahŕňajú logickú analýzu podmienok, výber vhodných matematických zákonov a optimálnu cestu riešenia.
Neexistuje univerzálny spôsob, ako vyriešiť všetky typy problémov s vynaliezavosťou, každý problém sa rieši vlastným spôsobom.
Úlohy vynaliezavosti vám pomôžu naučiť sa samostatne myslieť, rozvíjať logiku a záujem o matematiku. S ich pomocou môžete pocítiť prepojenie medzi matematikou a problémami zo skutočného života.
Problémy, ktorým čelí autor práce, boli vyriešené, a to:
Preštudujte si tému „Riešenie problémov s vynaliezavosťou“, typy problémov s vynaliezavosťou a spôsoby ich riešenia;
Vyriešte niekoľko typov problémov pomocou vynaliezavosti, vytvorte si algoritmus na riešenie takýchto problémov sami.
Bibliografia
1. T.D. Gavrilova: "Zábavná matematika." Vydavateľstvo "Učiteľ" 2008
2. NAPR. Kozlová: "Rozprávky a tipy." Vydavateľstvo "Miros" 1995
3. B. A. Kordemsky: „Matematická vynaliezavosť.“ Vydavateľstvo „Štátne nakladateľstvo technickej a teoretickej literatúry“ 1958
4. Ya. I. Perelman: „Zábavná algebra.“ Vydavateľstvo "Storočie" 1994
5. R. M. Smullyan "Ako sa volá táto kniha?" Vydavateľstvo "Dom Meshcheryakov"
2007
7. .http://matematika.gyn
8.www.smekalka.pp
